Course Syllabus
Obiettivi
Lo scopo dell'insegnamento è introdurre la teoria e l'utilizzo delle forme differenziali e della loro integrazione nel contesto degli spazi euclidei e dei loro sottoinsiemi aperti, come premessa della generalizzazione alle varietà differenziali.
Le forme differenziali sono uno strumento pervasivo e di importanza fondamentale in Geometria, Topologia Differenziale e Analisi; sono inoltre uno strumento imprescindibile nella formulazione della Fisica moderna. In particolare, la teoria conduce all'introduzione dei gruppi di coomologia di de Rahm, che legano le proprietà topologiche di uno spazio alle sue proprietà differenziali.
La teoria verrà sviluppata dai suoi principi primi algebrici, ossia dalla nozione di tensore in algebra lineare.
A tale scopo, nella prima parte del corso si insisterà su alcuni contenuti fondazionali di algebra lineare e tensoriale, quali per esempio la dualità, il ruolo del del determinante nella teoria dei tensori alternanti, l'orientazione di uno spazio vettoriale reale, gli elementi di volume in uno spazio vettoriale orientato euclideo. Questi concetti, oltre a essere pervasivi in Geometria, illustrano, arrichiscono e approfondiscono il bagaglio delle conoscenze di Algebra Lineare del primo anno.
La seconda parte del corso introdurrà la teoria delle forme differenziali su un aperto Euclideo, intese come tensori alternanti che dipendono in modo liscio da un punto base. In questa seconda parte i concetti algebrici introdotti nella prima verranno messi a contatto con gli strumenti dell'Analisi, introducendo in particolare il differenziale esterno e le sue proprietà funtoriali, l'integrazione di una k-forma differenziale su certi sottoinsiemi parametrizzati e gli spazi di coomologia di de Rham.
Particolare enfasi verrà data al concetto di forma d'area e alle tecniche di calcolo dell'area, di spazio tangente e alla sua determinazione.
L'approdo del corso è il Teorema di Stokes, anche noto come Teorema della Divergenza, che è cruciale in moltissimi ambiti della Matematica (e della Fisica).
I concetti introdotti in questo insegnamento saranno inoltre ulteriormente sviluppati in Geometria III (nell'ambito delle varietà differenziali), nonché in svariati insegnamenti della Laurea Magistrale in Matematica.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate nella teoria delle forme differenziali; la conoscenza e la comprensione di alcune sue applicazioni, in particolare allo studio di mappe lisce proprie tra aperti in spazi euclidei e del loro grado; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria. Tali conoscenze verranno sviluppate attraverso la discussione approfondita dei concetti e degli enunciati chiave della teoria, nonché l'analisi critica delle relative dimostrazioni e delle tecniche soggiacenti.
- Capacità: la capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di semplici esercizi di calcolo e problemi teorici, richiamando in modo corretto e conseguente i risultati utilizzati; la capacità di maneggiare il calcolo algebrico, differenziale e integrale delle forme differenziali e di utilizzarlo nello studio di alcune semplici situazioni concrete, quali lo studio di mappe proprie; la capacità di applicare il bagaglio concettuale appreso alla costruzione e discussione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro, pertinente e preciso i contenuti teorici del corso. Predette capacità verranno acquisite attraverso la discussione di esempi salienti in cui i risultati teorici appresi verranno messi in luce in modo operativo, oltre alla soluzione di esercizi suggeriti agli studenti, sia di natura teorica che computazionale.
- Competenze trasversali: autonomia di giudizio, capacità comunicative e capacità di apprendere. Queste competenze verranno stimolate e sviluppate evidenziando i collegamenti concettuali e tecnici con i contenuti di altri insegnamenti (di algebra, algebra lineare e analisi) e valorizzando la chiarezza espositiva sia dei contenuti teorici che delle applicazioni computazionali (esercizi).
Contenuti sintetici
Algebra multilineare alternante; forme differenziali sullo spazio euclideo e loro operazioni; Teorema di Gauss-Green; coomologia di de Rahm; aree e integrazione di forme differenziali; orientazione; teorema di Stokes.
Programma esteso
Algebra esterna di uno spazio vettoriale e sue operazioni; prodotto esterno e contrazioni; spazi vettoriali orientati euclidei e loro elementi di volume; campi vettoriali e forme differenziali; differenziale esterno; forme chiuse e forme esatte; ; gradiente, rotore, divergenza; forme differenziali e mappe lisce: tirato-indietro; integrazione; integrazione e omotopia; formula del cambiamento di variabili; integrazione su sottovarietà orientate; Teoremi di Gauss-Green e Stokes.
Prerequisiti
Il contenuto dei corsi di Geometria I, di Analisi I e (in parte) II, di Algebra Lineare e Geometria.
Modalità didattica
Normalmente questo insegnamento viene impartito in modalità interamente erogativa in presenza, mediante lezioni ed esercitazioni frontali alla lavagna, che vengono anche videoregistrate e rese disponibili agli studenti sulla piattaforma elearning; la ripartizione per CFU è:
lezioni frontali alla lavagna (6 CFU)
esercitazioni frontali alla lavagna (2 CFU).
L'insegnamento viene erogato in lingua italiana.
Materiale didattico
Testi di riferimento: appunti del docente su e-learning
Letture consigliate:
un testo particolarmente attinente al contenuto del corso è il seguente:
- V. Guillemin and P. Haine, Differential forms, World Scientific 2019
Altre letture consigliate sono:
- M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag 1996;
- V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology 1974;
- W. Fulton, Differential Topology, a first course, Springer Verlag 1995.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame può sostenuto o utilizzando le due prove parziali in itinere, ovvero negli appelli regolari.
Le prove parziali scritte consistono in una combinazione flessibile di esercizi e di domande teoriche, ciascuna delle quali verte su una parte del programma (la prima e la seconda). L'esatta suddivisione per argomenti verrà comunicata con congruo anticipo durante lo svolgimento del corso. Quando opportuno, in casi specifici e a discrezione dei docenti, le prove parziali potranno essere integrate da una prova orale.
L'esame negli appelli regolari consiste sempre di due prove scritte, ma di tipologia diversa: una prova 'pratica' e una prova 'teorica'; quando opportuno, in casi specifici e a discrezione dei docenti, le prove scritte potranno essere integrate da una prova orale.
La prova pratica è propedeutica alla prova teorica.
Ciascuna delle due prove scritte di ogni appello regolare verte sull'intero programma del corso. Nella prova pratica verranno sottoposti agli studenti degli esercizi computazionali, mentre nella prova teorica verranno proposte delle domande su definizioni, enunciati di teoremi, dimostrazioni, costruzione di esempi e controesempi e semplici problemi teorici.
Sia nel caso delle prove parziali in itinere sia in quello degli appelli regolari, lo scopo della discussione conclusiva è di norma esporre allo studente la correzione dei suoi elaborati; in casi particolari, in cui lo svolgimento non permetta di evincere appieno la qualità della preparazione dello studente, la discussione può concorrere anch'essa alla valutazione finale.
Nelle prove pratiche verrà valutata la capacità dello studente di maneggiare con padronanza e precisione il formalismo introdotto e di utilizzarlo per eseguire semplici calcoli, nonché di mettere all'opera le conoscenze teoriche trasmesse, richiamandole in modo preciso e pertinente.
Nelle prove teoriche verranno valutate la conoscenza e la comprensione dell'impianto concettuale del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un'esposizione coerente e puntuale.
Per superare l'esame, lo studente deve prima sostenere una prova pratica, ottenendo una votazione di almeno 18/30, quindi ottenere la sufficienza di 18/30 anche nella prova teorica del medesimo appello ovvero, a sua scelta, dell'appello immediatamente successivo. La prova pratica e quella teorica concorrono in egual misura al voto finale.
A ogni esercizio/quesito (o problema) teorico di ciascuna prova verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in corrispondenza di ogni esercizio/quesito (o problema) teorico non superiore a quello massimo previsto, in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento.
Gli studenti, prima della verbalizzazione, hanno la facoltà di chiedere una discussione orale delle prove scritte.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of the course is to introduce the theoretical foundations and the use of differential forms on open sets of Euclidean spaces, as a basis for the more general treatment in the context of differentiable manifolds.
Differential forms play a pervasive and foudational role in Geometry, Differential Topology, and Analysis; they are furthermore unavoidable in the coordinate free formulation of physical laws. In particuar, they lead to the introduction of de Rahm cohomology groups, which relate the topological and differentiable properties of a space.
The theory will be developed from its algebraic first principles, that is, from the basic notion of a tensor in linear algebra.
To this end, the first part of the course will dwell on some foundational contents from linear and tensor algebra, such as duality, the determinant and its role in the theory of alternating tensors, orientations of a real vector space, and the volume element of a Euclidean oriented vector space. These concepts,
besides being pervasive in Geometry, illustrate, enrich and complete the previous background from linear algebra.
Differential forms on open sets in Euclidean spaces will be introduced in the second part, as the assignment of an alternating tensor varying smoothly with the base point. The algebraic concepts from the former part will be brought into contact with the tools of Analysis, leading to the discussion of the exterior differential and its functorial properties, to the integration of a differential k-form on certain parametrized subsets, and the introduction of de Rahm cohomology groups.
Special emphasis will be given to the concept of area form and the computation of areas of geometrical loci, and to the concept of tangent space and its determination.
The climax of the course is given by Stokes'Theorem, also known as the divergence Theorem, which plays a crucial conceptual and technical role in several mathematical (and physical) contexts.
The expected learning outcomes include the following:
- The knowledge and understanding of the basic definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in the theory of differential forms; the knowledge and understanding of some of the most relevant basic applications, notably to the study of smooth proper maps between opens sets of Euclidean spaces; the knowledge and understanding of some of the key foundational examples of the theory. This knowledge and understanding will be developed through an in-depth discussion of the key concepts and statements of the theory, and a critical analysis of the proofs and their techniques.
- The ability to apply the acquired abstract knowledge to the solution of simple computational exercises and theoretical problems, referring in a precise and well-organized manner to the pertinent results being used; the ability to master the algebraic, differential and integral calculus of differential forms, and to use it in the some simple practical situations, such as the study of proper maps between open sets of Euclidean spaces; the ability to apply the theoretical background to the construction and discussion of simple examples and solution of exercises; the ability to expose and communicate effectively and clearly the theoretical content of the course. This ability will be acquired through the discussion of salient examples shedding light on the theory, as well as by the solution of exercises suggested to the students, both of theoretical and computational type.
- Soft skills: autonomy of judgment, communication skills and ability to learn. These skills will be stimulated and developed by emphasizing the technical and conceptual sinergy with the content of other courses (of algebra, linear algebra and mathematical analysis), and placing great value on expository clarity of both theoretical results and computational applications.
Contents
Alternating multilinear algebra; differential forms on Euclidean space and their operations; Gauss-Green Theorem; de Rahm cohomology; area and integration of differential forms; orientation; Stokes' theorem.
Detailed program
Exterior algebra of a vector space and its operations: exterior product, contractions; oriented Euclidean vector spaces and their volume elements; vector fields and differential forms; exterior differential; closed and exact forms; gradient, rotor and divergence; pull-back of differential forms under smooth maps: integration; integration and homotopy; change of variable formula; Poincaré Lemma; Poincaré Lemma with compact support; integration on oriented parametrized varieties; Theorems of Gauss-Green and Stokes.
Prerequisites
The content of the courses of Analysis I and (in part) II, Linear Algebra and Geometry, Geometry I.
Teaching form
This course will be normally be taught entirely by live lectures at the blackboard, which will also video-recorded and made available to the students through the elearning platform.
The precise subdivision is as follows:
live lessons at the blackboard (6 CFU)
live exercise sessions at the blackboard (2 CFU).
The course is taught in Italian.
Textbook and teaching resource
Reference text: teacher's notes on e-learning
Recommended reading:
the following book is especially pertinent to the content of this course:
- V. Guillemin and P. Haine, Differential forms, World Scientific 2019
Further recommended textbooks are:
- M. Do Carmo, Differential forms and applications, Springer Verlag 1996;
- V. Guillemin, A. Pollack, Differential Topology 1974;
- W. Fulton, Differential Topology, a first course, Springer Verlag 1995.
Semester
2nd semester
Assessment method
The exam may be passed either by taking two written partial tests during the course, or in the regular exam sessions following the course.
The partial tests consist in a flexible combination of exercises and theoretical questions, and each only covers a part of the program; the exact subdivsion will be comminicated well in advance during the course. To pass the exam, a minimum passing grade of 18 is required in both parts. In specific cases, however, students may be required to integrate the written tests with an oral examination (see below).
The regular exam sessions, on the other hand, comprise two written tests, a practical and a theoretical one, each referred to the whole course; again, in specific cases students may be required to integrate the written tests with an oral examination. In the practical test, the student will be asked to solve various computational exercises, while in the theoretical test there will be questions involving definitions, statement's of theorems, proofs, construction of examples and counterexamples, and simple theoretical problems.
The aim of the final discussion is typically to expose the evaluation of the student's script; only in special cases, where the student's competence can't be clearly assessed by the scripts, will the discussion contribute to the final evaluation.
The practical tests will measure the student's ability to master the acquired formalism and apply it to some simple computations, to build on the acquired theoretical knowledge, and to invoke it in a pertinent and precise manner.
The theoretical tests will evaluate the knowledge and understanding of the conceptual framework of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized, consistent and effective manner.
In order to successfully complete the exam, the student needs to first pass the practical test, thus obtaining a grade of at least 18/30, and then to also obtain the passing grade in the theoretical test of the same session or, upon his/her choice, of the session immediately following.
To each exercise/theoretical question (or problem) a maximum partial grade will be assigned by the commission, depending on its difficulty and length; in the evaluation, every student will be given a grade in correspondence to each exercise/theoretical question (or problem) up to the maximum one, measuring the exactness, the completeness, the rigour, the clarity and the overall coherence of the development.
Office hours
Upon appointment.
