Syllabus del corso
Obiettivi
L’insegnamento si propone di presentare le idee fondamentali della Meccanica Classica, dalla formulazione di Galileo e Newton alle formulazioni lagrangiana e hamiltoniana, e di fornire gli strumenti matematici necessari alla loro comprensione e applicazione nello studio dei sistemi dinamici.
I risultati di apprendimento attesi sono declinati secondo i Descrittori di Dublino.
Conoscenza e capacità di comprensione
Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno conoscere e comprendere:
le definizioni, i principi e gli enunciati fondamentali delle diverse formulazioni della Meccanica Classica;
il rapporto tra formulazione newtoniana, formulazione lagrangiana e formulazione hamiltoniana;
gli strumenti qualitativi elementari per lo studio dei sistemi dinamici, con particolare riferimento a punti di equilibrio, stabilità, linearizzazione e sistemi a un grado di libertà;
alcuni esempi fondamentali, quali sistemi isolati, oscillatore armonico, problema a due corpi, problema di Keplero, corpo rigido e trottola di Lagrange;
il ruolo delle simmetrie e delle leggi di conservazione nella riduzione e nell’analisi dei sistemi meccanici.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Al termine dell’insegnamento gli studenti dovranno essere in grado di:
dedurre le equazioni del moto di sistemi meccanici semplici, sia nella formulazione lagrangiana sia in quella hamiltoniana;
scegliere coordinate generalizzate adeguate alla descrizione di un sistema vincolato;
applicare il principio di D’Alembert e le equazioni di Eulero-Lagrange a sistemi con vincoli olonomi;
utilizzare simmetrie e quantità conservate per ridurre il numero di gradi di libertà;
discutere qualitativamente il moto in esempi significativi, anche mediante curve di livello dell’energia e ritratti di fase;
ridurre, in casi semplici, la soluzione delle equazioni del moto a quadrature;
svolgere esercizi e problemi che richiedono la composizione di strumenti analitici, geometrici e meccanici.
Autonomia di giudizio
L’insegnamento mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente definizioni, enunciati e dimostrazioni; riconoscere la validità di un argomento matematico e la sua interpretazione nel modello meccanico considerato; selezionare autonomamente il metodo risolutivo più adatto al problema affrontato.
Tali competenze saranno sviluppate attraverso la discussione di esempi, il confronto tra diverse formulazioni dello stesso problema, la soluzione guidata di esercizi e la riflessione sulle ipotesi necessarie per applicare correttamente i risultati teorici.
Abilità comunicative
Gli studenti dovranno acquisire la capacità di discutere modelli matematici di sistemi dinamici in modo chiaro e rigoroso, sia oralmente sia per iscritto. Dovranno inoltre essere in grado di esporre una dimostrazione in maniera coerente e comprensibile, motivare i passaggi principali di una soluzione e utilizzare in modo appropriato il linguaggio matematico e meccanico. Quando opportuno, dovranno anche saper tradurre il contenuto matematico di un risultato in una descrizione qualitativa del fenomeno meccanico corrispondente.
Capacità di apprendimento
L’insegnamento intende fornire agli studenti strumenti concettuali e tecnici per proseguire autonomamente lo studio della dinamica dei sistemi classici a livelli più avanzati. Al termine del corso gli studenti dovranno essere in grado di affrontare nuovi argomenti con metodo e rigore, utilizzando conoscenze pregresse, appunti, libri di testo e altro materiale didattico per approfondire e aggiornare le proprie competenze. Il carattere interdisciplinare dell’insegnamento, nel quale strumenti analitici e geometrici vengono utilizzati per studiare sistemi dinamici astratti e concreti, contribuisce alla costruzione di una solida base teorica per il percorso formativo in matematica.
Contenuti sintetici
Contenuti sintetici
Richiami di meccanica newtoniana. Equazioni differenziali ordinarie e studio qualitativo dei sistemi dinamici. Principio di D’Alembert e meccanica lagrangiana. Problema a due corpi e leggi di Keplero. Meccanica del corpo rigido. Meccanica hamiltoniana. Simmetrie, leggi di conservazione e trasformazioni canoniche.
Programma esteso
Richiami di equazioni differenziali e sistemi dinamici
Campi vettoriali e sistemi di equazioni differenziali del primo ordine. Sistemi autonomi. Punti di equilibrio e stabilità. Teorema di Lyapunov. Linearizzazione di sistemi non lineari vicino a un punto di equilibrio. Sistemi a un grado di libertà. Curve di livello dell’energia e studio qualitativo del moto in esempi rilevanti.
Meccanica lagrangiana
Equazioni di Eulero-Lagrange. Punto materiale vincolato a una curva regolare. Punto materiale vincolato a una superficie regolare. Vincoli olonomi e principio di D’Alembert. Punti di equilibrio e piccole oscillazioni. Formulazione variazionale delle equazioni di Eulero-Lagrange. Gruppi a un parametro di diffeomorfismi e simmetrie. Teorema di Noether. Problema a due corpi. Leggi di Keplero.
Corpo rigido
Gruppo delle rotazioni nello spazio tridimensionale e velocità angolare. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Meccanica del corpo rigido. Operatore di inerzia. Teorema di König. Equazioni di Eulero per il corpo rigido. Angoli di Eulero. Trottola di Lagrange.
Meccanica hamiltoniana
Trasformata di Legendre. Equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson e loro proprietà. Struttura di algebra di Lie associata alle parentesi di Poisson. Simmetrie e leggi di conservazione in meccanica hamiltoniana. Formulazione variazionale delle equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche e condizioni equivalenti di canonicità. Teorema di Liouville.
Prerequisiti
Sono richieste conoscenze di base di Analisi I e II, Algebra Lineare e Geometria e Fisica I. In particolare, si presuppone familiarità con calcolo differenziale in una e più variabili, nozioni essenziali di calcolo integrale, algebra lineare elementare, geometria analitica, equazioni differenziali ordinarie di base e nozioni fondamentali di meccanica newtoniana.
Modalità didattica
L’insegnamento prevede 112 ore complessive, corrispondenti a 12 CFU, ed è erogato in lingua italiana.
Le attività didattiche sono organizzate come segue:
64 ore di lezione in presenza, in modalità prevalentemente erogativa (DE), dedicate alla presentazione dei concetti, dei risultati teorici, delle dimostrazioni e degli esempi fondamentali;
48 ore di esercitazione in presenza, in modalità erogativa, dedicate alla risoluzione guidata di esercizi e problemi, alla discussione delle strategie risolutive e al confronto tra metodi alternativi.
Non sono previste ore di didattica da remoto.
Durante le lezioni il docente presenterà i contenuti teorici evidenziando motivazioni, collegamenti e possibili difficoltà concettuali. Saranno inoltre proposte domande e brevi discussioni per favorire la partecipazione attiva degli studenti e verificare progressivamente la comprensione degli argomenti. Le esercitazioni saranno finalizzate all’applicazione degli strumenti teorici a problemi concreti e alla preparazione alla prova scritta.
Materiale didattico
Testi consigliati:
V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.
A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri, 2002.
L. D. Landau, E. M. Lifshits, Meccanica, Editori Riuniti.
N. M. J. Woodhouse, Introduction to Analytical Dynamics, Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1987.
G. Dell’Antonio, Elementi di Meccanica, Liguori, Napoli, 1996.
Altro materiale complementare, incluse eventuali note del docente, sarà reso disponibile attraverso la piattaforma e-learning dell’insegnamento.
Per esempi ed esercitazioni si consigliano inoltre:
F. Talamucci, Esercizi svolti sul formalismo lagrangiano e hamiltoniano con brevi richiami di teoria, Edizioni Nuova Cultura, 2014.
A. Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, Aracne Editrice, 2003.
G. Benettin, Eserciziario per il corso di Fisica Matematica, Padova, 2017, disponibile liberamente dalla pagina web dell’autore.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L’esame è individuale ed è finalizzato a verificare sia la capacità di risolvere esercizi e problemi, sia la conoscenza e la comprensione dei contenuti teorici dell’insegnamento.
La prova finale è costituita da una prova scritta e, di norma, da una prova orale. Nei casi indicati sotto, la prova scritta può essere considerata sufficiente per la registrazione dell’esito complessivo, previa valutazione da parte del docente.
Prova scritta
La prova scritta consiste nello svolgimento di esercizi e problemi. Tipicamente comprende un esercizio di meccanica lagrangiana e un esercizio di meccanica hamiltoniana, oppure problemi che richiedano l’uso integrato di strumenti presentati durante il corso. La durata della prova scritta è di tre ore.
La prova scritta valuta in particolare:
la capacità di impostare correttamente un problema meccanico;
la capacità di scegliere coordinate e variabili adeguate;
la capacità di dedurre le equazioni del moto;
la correttezza dei calcoli e dell’argomentazione;
la capacità di interpretare qualitativamente il risultato ottenuto;
la chiarezza e completezza dell’esposizione scritta.
Risposte corrette ma prive di adeguate spiegazioni, motivazioni o passaggi intermedi non saranno valutate a pieni voti. L’ammissione alla prova orale richiede una valutazione della prova scritta non inferiore a 15/30.
Prova orale
La prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione. Essa richiede la conoscenza delle definizioni, degli enunciati e delle dimostrazioni dei principali risultati del corso, nonché la capacità di illustrarne il significato mediante esempi rilevanti.
La prova orale valuta in particolare:
la conoscenza dei contenuti teorici dell’insegnamento;
la comprensione del significato matematico e meccanico dei risultati;
la capacità di esporre dimostrazioni in modo chiaro e coerente;
la capacità di collegare tra loro argomenti diversi del corso;
l’uso appropriato del linguaggio disciplinare;
la consapevolezza teorica nell’interpretazione degli esercizi e dei modelli.
Rapporto tra prova scritta e prova orale
Se la prova scritta ottiene una valutazione di almeno 18/30, essa potrà essere considerata sufficiente per l’esito complessivo dell’esame e potrà dare luogo alla possibilità di rinunciare alla prova orale, comunque a seguito di valutazione da parte del docente. Il docente può richiedere in ogni caso lo svolgimento della prova orale qualora ritenga necessario un ulteriore accertamento della preparazione. In assenza della prova orale, la votazione finale non potrà superare 25/30, indipendentemente dalla valutazione ottenuta nella prova scritta.
La prova orale deve essere sostenuta nello stesso appello d’esame in cui è stata sostenuta la prova scritta con l'eccezione degli appelli di giugno e luglio, per i quali è consentito di spostare l'esame orale rispettivamente a luglio o settembre
Nel caso in cui sia sostenuta anche la prova orale, il voto finale tiene conto dell’esito di entrambe le prove. La prova scritta valuta principalmente la capacità di applicazione e di problem solving; la prova orale valuta principalmente la conoscenza teorica, la capacità argomentativa e la padronanza concettuale.
Prove in itinere
Durante lo svolgimento del corso saranno offerte due prove scritte in itinere, relative rispettivamente alla prima e alla seconda parte del programma. Le prove in itinere sono individuali e consistono nella risoluzione di esercizi e problemi analoghi, per struttura e finalità, a quelli della prova scritta finale.
Le prove in itinere valutano la comprensione progressiva degli argomenti trattati, la capacità di applicare gli strumenti introdotti a lezione e nelle esercitazioni, la correttezza del procedimento risolutivo e la chiarezza dell’esposizione scritta.
Gli studenti che superano entrambe le prove in itinere con una valutazione non inferiore a 15/30 sono ammessi all’eventuale prova orale. In questo caso la prova orale deve essere sostenuta entro l’appello di luglio compreso.
Come per la prova scritta completa, se le prove in itinere ottengono una valutazione media di almeno 18/30, esse potranno essere considerate sufficienti per l’esito complessivo dell’esame e potranno dare luogo alla possibilità di rinunciare alla prova orale, comunque a seguito di valutazione da parte del docente. Il docente può richiedere in ogni caso lo svolgimento della prova orale. In assenza della prova orale, la votazione finale non potrà superare 25/30, indipendentemente dalla valutazione ottenuta nelle prove scritte.
Criteri di valutazione e graduazione dei voti
La valutazione complessiva tiene conto della correttezza tecnica, della comprensione concettuale, della capacità di applicare i metodi del corso, della chiarezza espositiva e della padronanza del linguaggio matematico e meccanico.
La graduazione indicativa dei voti è la seguente:
18-19: preparazione limitata a un numero ridotto di argomenti del programma; capacità di trattazione e analisi parziali; competenza espositiva e lessico non sempre corretti; limitata capacità di elaborazione autonoma.
20-23: preparazione sufficiente su una parte significativa degli argomenti del programma; capacità di applicazione prevalentemente esecutiva; uso di un lessico generalmente corretto, anche se non sempre preciso; esposizione talvolta incerta.
24-27: preparazione buona su un numero ampio di argomenti trattati nel corso; capacità di svolgere in modo autonomo argomentazioni e analisi; buona capacità di applicare le conoscenze a esercizi e problemi; uso corretto del linguaggio disciplinare.
28-30 e lode: preparazione completa ed esaustiva sugli argomenti del programma; piena padronanza delle tecniche e dei contenuti teorici; capacità di trattazione autonoma e di analisi critica; chiarezza e rigore espositivo; capacità di collegare temi diversi del corso e, quando opportuno, di metterli in relazione con altri ambiti della matematica e della fisica.
Orario di ricevimento
Su appuntamento, da concordare via e-mail. Il ricevimento potrà svolgersi in presenza oppure da remoto mediante piattaforma di Ateneo.
Sustainable Development Goals
Aims
The course aims to present the fundamental ideas of Classical Mechanics, from the formulation of Galileo and Newton to the Lagrangian and Hamiltonian formulations, and to provide the mathematical tools required for their understanding and application to the study of dynamical systems.
The expected learning outcomes are described according to the Dublin Descriptors.
Knowledge and understanding
At the end of the course, students are expected to know and understand:
the basic definitions, principles and fundamental statements of the different formulations of Classical Mechanics;
the relation between the Newtonian, Lagrangian and Hamiltonian formulations;
the elementary qualitative tools for the study of dynamical systems, with particular reference to equilibrium points, stability, linearization and one-degree-of-freedom systems;
some fundamental examples, such as isolated systems, the harmonic oscillator, the two-body problem, the Kepler problem, rigid bodies and the Lagrange top;
the role of symmetries and conservation laws in the reduction and analysis of mechanical systems.
Applying knowledge and understanding
At the end of the course, students are expected to be able to:
derive the equations of motion of simple mechanical systems, both in the Lagrangian and in the Hamiltonian formulation;
choose suitable generalized coordinates for the description of a constrained system;
apply D’Alembert’s principle and the Euler-Lagrange equations to systems with holonomic constraints;
use symmetries and conserved quantities to reduce the number of degrees of freedom;
discuss the motion qualitatively in significant examples, also by means of energy level curves and phase portraits;
reduce, in simple cases, the solution of the equations of motion to quadratures;
solve exercises and problems requiring the combined use of analytical, geometrical and mechanical tools.
Making judgements
The course aims to develop the ability to critically analyse definitions, statements and proofs; to recognize the validity of a mathematical argument and its interpretation within the mechanical model under consideration; and to select independently the most appropriate method for the problem at hand.
These skills will be developed through the discussion of examples, the comparison between different formulations of the same problem, the guided solution of exercises and the analysis of the assumptions required for the correct application of the theoretical results.
Communication skills
Students are expected to acquire the ability to discuss mathematical models of dynamical systems clearly and rigorously, both orally and in writing. They should also be able to present a proof in a coherent and understandable way, justify the main steps of a solution and use mathematical and mechanical terminology appropriately. When relevant, they should also be able to translate the mathematical content of a result into a qualitative description of the corresponding mechanical phenomenon.
Learning skills
The course aims to provide students with the conceptual and technical tools needed to continue studying the dynamics of classical systems independently and at a more advanced level. At the end of the course, students should be able to approach new topics with method and rigour, using previous knowledge, lecture notes, textbooks and other teaching material to deepen and update their skills. The interdisciplinary nature of the course, in which analytical and geometrical tools are used to study both abstract and concrete dynamical systems, contributes to building a solid theoretical basis for the degree programme in Mathematics.
Contents
Review of Newtonian mechanics. Ordinary differential equations and qualitative study of dynamical systems. D’Alembert’s principle and Lagrangian mechanics. The two-body problem and Kepler’s laws. Rigid body mechanics. Hamiltonian mechanics. Symmetries, conservation laws and canonical transformations.
Detailed program
Review of differential equations and dynamical systems
Vector fields and systems of first-order differential equations. Autonomous systems. Equilibrium points and stability. Lyapunov theorem. Linearization of nonlinear systems near an equilibrium point. One-degree-of-freedom systems. Energy level curves and qualitative study of motion in relevant examples.
Lagrangian mechanics
Euler-Lagrange equations. A point particle constrained to a regular curve. A point particle constrained to a regular surface. Holonomic constraints and D’Alembert’s principle. Equilibrium points and small oscillations. Variational formulation of the Euler-Lagrange equations. One-parameter groups of diffeomorphisms and symmetries. Noether’s theorem. The two-body problem. Kepler’s laws.
Rigid body
The group of rotations in three-dimensional space and angular velocity. Inertial and non-inertial reference frames. Rigid body mechanics. Inertia operator. König’s theorem. Euler equations for the rigid body. Euler angles. Lagrange top.
Hamiltonian mechanics
Legendre transform. Hamilton’s equations. Poisson brackets and their properties. Lie algebra structure associated with Poisson brackets. Symmetries and conservation laws in Hamiltonian mechanics. Variational formulation of Hamilton’s equations. Canonical transformations and equivalent conditions for canonicity. Liouville’s theorem.
Prerequisites
Basic knowledge of Mathematical Analysis I and II, Linear Algebra and Geometry, and Physics I is required. In particular, familiarity with differential calculus in one and several variables, basic integral calculus, elementary linear algebra, analytic geometry, basic ordinary differential equations and the fundamental notions of Newtonian mechanics is assumed
Teaching form
The course consists of 112 hours, corresponding to 12 ECTS credits, and is taught in Italian.
Teaching activities are organized as follows:
64 hours of in-person lectures, mainly in delivery mode, devoted to the presentation of concepts, theoretical results, proofs and fundamental examples;
48 hours of in-person exercise sessions, in erogative mode, devoted to the guided solution of exercises and problems, the discussion of solution strategies and the comparison of alternative methods.
No remote teaching hours are planned.
During the lectures, the instructor will present the theoretical contents, emphasizing motivations, connections and possible conceptual difficulties. Questions and short discussions will also be proposed in order to encourage active participation and to check the progressive understanding of the topics. The exercise sessions will be devoted to the application of the theoretical tools to concrete problems and to preparation for the written exam.
Textbook and teaching resource
Recommended textbooks:
V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, Springer.
A. Fasano, S. Marmi, Meccanica Analitica, Bollati Boringhieri, 2002.
L. D. Landau, E. M. Lifshitz, Mechanics, Pergamon Press.
N. M. J. Woodhouse, Introduction to Analytical Dynamics, Oxford Science Publications, Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1987.
G. Dell’Antonio, Elementi di Meccanica, Liguori, Napoli, 1996.
Additional material, including possible lecture notes by the instructor, will be made available through the course e-learning platform.
For examples and exercises, the following texts are also recommended:
F. Talamucci, Esercizi svolti sul formalismo lagrangiano e hamiltoniano con brevi richiami di teoria, Edizioni Nuova Cultura, 2014.
A. Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, Aracne Editrice, 2003.
G. Benettin, Eserciziario per il corso di Fisica Matematica, Padova, 2017, freely available from the author’s webpage.
Semester
Second semester
Assessment method
The exam is individual and is aimed at assessing both the ability to solve exercises and problems and the knowledge and understanding of the theoretical contents of the course.
The final exam consists of a written test and, as a rule, an oral exam. In the cases specified below, the written test may be considered sufficient for the final grade, subject to evaluation by the instructor.
Written test
The written test consists of exercises and problems. It typically includes one exercise in Lagrangian mechanics and one exercise in Hamiltonian mechanics, or problems requiring the integrated use of tools presented during the course. The duration of the written test is three hours.
The written test assesses in particular:
the ability to set up a mechanical problem correctly;
the ability to choose suitable coordinates and variables;
the ability to derive the equations of motion;
the correctness of computations and arguments;
the ability to interpret qualitatively the result obtained;
the clarity and completeness of the written exposition.
Correct answers without adequate explanations, motivations or intermediate steps will not receive full marks. Admission to the oral exam requires a mark in the written test of at least 15/30.
Oral exam
The oral exam consists of an interview on the topics covered in the lectures. It requires knowledge of the definitions, statements and proofs of the main results of the course, as well as the ability to illustrate their meaning through relevant examples.
The oral exam assesses in particular:
knowledge of the theoretical contents of the course;
understanding of the mathematical and mechanical meaning of the results;
the ability to present proofs clearly and coherently;
the ability to connect different topics of the course;
the appropriate use of disciplinary language;
theoretical awareness in the interpretation of exercises and models.
Relation between written test and oral exam
If the written test receives a mark of at least 18/30, it may be considered sufficient for the final outcome of the exam and may allow the student to waive the oral exam, subject in any case to evaluation by the instructor. The instructor may still require the oral exam whenever further assessment of the student’s preparation is considered necessary. If the oral exam is not taken, the final mark cannot exceed 25/30, regardless of the mark obtained in the written test.
The oral exam must be taken in the same exam session in which the written test was taken with the exception of June and July when the oral exam can be postponed respectively to July or September.
If the oral exam is also taken, the final grade takes into account the results of both tests. The written test mainly assesses application skills and problem-solving ability; the oral exam mainly assesses theoretical knowledge, argumentative ability and conceptual mastery.
Midterm tests
During the course, two written midterm tests will be offered, concerning respectively the first and the second part of the programme. The midterm tests are individual and consist of exercises and problems similar, in structure and aims, to those of the final written test.
The midterm tests assess the progressive understanding of the topics covered, the ability to apply the tools introduced in lectures and exercise sessions, the correctness of the solution procedure and the clarity of the written exposition.
Students who pass both midterm tests with a mark of at least 15/30 are admitted to the possible oral exam. In this case, the oral exam must be taken no later than the July exam session.
If the midterm tests obtain an average mark of at least 18/30, they may be considered sufficient for the final outcome of the exam and may allow the student to waive the oral exam, subject in any case to evaluation by the instructor. The instructor may still require the oral exam. If the oral exam is not taken, the final mark cannot exceed 25/30, regardless of the mark obtained in the written tests.
Assessment criteria and grading scale
The overall assessment takes into account technical correctness, conceptual understanding, the ability to apply the methods of the course, clarity of exposition and mastery of mathematical and mechanical language.
The indicative grading scale is as follows:
18-19: preparation limited to a small number of topics in the programme; partial ability to discuss and analyse the material; expository skills and terminology not always correct; limited capacity for independent elaboration.
20-23: sufficient preparation on a significant part of the programme; mainly procedural application skills; generally correct terminology, although not always precise; sometimes uncertain exposition.
24-27: good preparation on a broad range of topics covered in the course; ability to develop arguments and analyses independently; good ability to apply knowledge to exercises and problems; correct use of disciplinary language.
28-30 cum laude: complete and thorough preparation on the topics of the programme; full mastery of techniques and theoretical contents; ability to discuss topics independently and critically; clear and rigorous exposition; ability to connect different topics of the course and, where appropriate, relate them to other areas of mathematics and physics.
Office hours
By appointment, to be arranged by e-mail. Office hours may take place in person or remotely through the University platform.
