Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso di Matematica per l'Economia M si propone di fornire agli studenti le competenze fondamentali per l'analisi matematica applicata ai modelli economici, sviluppando capacità di comprensione e applicazione delle tecniche matematiche in contesti economici. In particolare, gli obiettivi formativi includono l'acquisizione di conoscenze sulle equazioni differenziali e sui sistemi dinamici, con particolare attenzione alla risoluzione esplicita, all'analisi qualitativa e alla stabilità delle soluzioni, nonché alla comprensione dei teoremi di esistenza e unicità. Il corso mira inoltre a sviluppare competenze nell'ambito dell'ottimizzazione dinamica e del controllo ottimo, fondamentali per l'analisi di modelli economici complessi, attraverso l'applicazione del principio del massimo di Pontryagin e delle condizioni di ottimalità. Infine, si intende introdurre gli studenti ai concetti di teoria della misura e dell'integrazione, con particolare attenzione alla misura di Lebesgue e alle sue proprietà, per favorire una comprensione approfondita degli strumenti matematici avanzati utilizzati in economia, in finanza quantitativa, e nelle scienze sociali.
Queste competenze si collegano strettamente all’area di apprendimento "Statistica" del corso di laurea magistrale in Scienze Statistiche ed Economiche, poiché forniscono le basi matematiche e analitiche necessarie per l’analisi statistica avanzata, la modellizzazione dei dati e l’interpretazione di fenomeni complessi, favorendo un approccio integrato tra teoria matematica e applicazioni statistiche.
Gli studenti acquisiranno competenze teoriche e pratiche, sviluppando la capacità di applicare tali conoscenze a problemi reali, interpretare criticamente i risultati e proporre soluzioni metodologicamente fondate. Il percorso formativo promuove l’autonomia di giudizio nell’uso di strumenti matematici e statistici, permettendo agli studenti di diventare professionisti più sicuri e indipendenti. Il corso contribuisce inoltre a consolidare le capacità di apprendimento e di aggiornamento nell’ambito dei metodi avanzati di analisi matematica e statistica, in coerenza con l'obiettivo di una formazione permanente.
Contenuti sintetici
Il corso si compone di tre parti. Le prime due sono strettamente interconnesse mentre la terza, oltre a qualche collegamento con la seconda, fornisce elementi utili in corsi come Finanza Matematica M.
Nella Parte I sono esposti gli elementi fondamentali della teoria dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Nella Parte II viene presentato un approccio alla risoluzione di problemi di controllo ottimo (in tempo continuo) e un risultato di esistenza di soluzioni.
Nella Parte III vengono forniti i primi rudimenti della teoria della misura e dell'integrazione e, come caso particolare, viene introdotto l'integrale di Lebesgue, dando enfasi ai risultati di convergenza (monotona e dominata).
Programma esteso
Parte I (ODE):
- Equazioni differenziali in modelli economici, problemi di Cauchy e relativa nozione di soluzione.
- Riduzione di sistemi di ordine superiore al primo a sistemi del primo ordine.
- Risoluzione esplicita di alcune classi di equazioni differenziali: equazioni a variabili separabili, equazioni lineari, equazioni di Bernoulli, equazioni omogeee, equazioni esatte.
- Alcune applicazioni a modelli (evoluzione di prezzi di mercato soggetti ad aggiustamento, modello macroeconomico di crescita di Solow).
- Teoremi di esistenza ed unicità in piccolo ed in grande di soluzioni per problemi di Cauchy.
- Soluzioni d’equilibrio ed alcune nozioni di stabilità (Lyapunov, asintotica locale/globale) per soluzioni d’equilibrio.
- Elementi per l'analisi qualitativa di equazioni differenziali autonome.
- Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodi per la risoluzione esplicita e per l’analisi della stabilità di soluzioni d’equilibrio.
Parte II (Controllo Ottimo):
- Ottimizzazione dinamica: descrizione di problemi di controllo.
- Il principio del massimo di Pontryagin (caso a dinamica lineare e caso generale).
- Condizioni sufficienti di ottimalità (condizione di Mangasarian e condizione di Arrow).
- Applicazioni ad alcuni modelli economici (modello di compravendita ottima, problema di massimizzazione della vendita).
- Il problema più semplice del calcolo delle variazioni come caso particolare di un problema di controllo ottimo e relativa applicazione (modello di investimento/pianificazione del consumo ottimo).
- Una condizione di esistenza di controllo ottimo (teorema di Filippov).
Parte III (Elementi di teoria della misura):
- Algebre e σ-algebre, σ-algebre generate.
- Misure su σ-algebre e loro proprietà.
- Costruzione della misura di Lebesgue in Rⁿ.
- Funzioni misurabili e loro proprietà.
- Integrale in uno spazio di misura e sue proprietà.
- Misure definite a mezzo di integrale ed assolutamente continue.
- Teoremi di convergenza (dominata (Lebesgue) e monotona (B. Levi)).
- L'integrale di Riemann e di Lebesgue a confronto.
Prerequisiti
Nessuna propedeuticità. Tuttavia è consigliato che lo studente ripassi le proprie competenze sui seguenti argomenti di matematica, tipicamente impartiti in corsi di laurea triennali:
- Numeri complessi (nozioni di base);
- Integrazione di funzioni di una variabile reale;
- Calculus per funzioni di più variabili reali;
- Calcolo matriciale, determinante, invertibilità, rango;
- Autovalori e riduzione in forma diagonale di matrici;
- Forme quadratiche;
- Convessità/concavità di insiemi e funzioni.
Metodi didattici
L'intera attività formativa verrà svolta attraverso lezioni. Tutte le lezioni sono svolte in presenza in modalità erogativa:
10 lezioni da 3 ore e 6 lezioni da 2 ore.
Durante lo svolgimento del corso verranno proposti esercizi da risolvere autonomamente in preparazione all'esame, alcuni dei quali verranno poi discussi in apposite sessioni organizzate dal docente.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame si svolgerà in forma scritta e, in caso di superamento della prova scritta con una valutazione sufficiente (>=18/30), in forma orale su richiesta dello studente o del docente. Non sono previste prove parziali in itinere.
Il formato di una prova scritta prevede essenzialmente i seguenti tipi di quesito:
- la risoluzione di 3 esercizi/problemi;
- la discussione in dettaglio di uno tra i modelli presentati nel corso;
- l'esposizione dettagliata di alcuni argomenti della teoria e la loro applicazione in casi specifici (domande aperte).
Nello svolgimento di una prova d'esame saranno valutati la capacità di analisi e di classificazione di un problema proposto, la capacità di scelta ed applicazione delle metodologie di risoluzione prospettate nella teoria, la profondità, la precisione e la completezza espositiva nella discussione di modelli e dell'apparato teorico svolto nel corso.
Il docente del corso rende anche disponibile materiale per la simulazione di una prova d'esame.
La valutazione finale della prova è espressa in trentesimi.
Sia nella prova scritta, sia nell'eventaule prova orale, viene applicata la seguente gradazione di giudizio in relazione ai seguenti parametri:
Conoscenza concettuale e capacità di comprensione
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Capacità comunicative e argomentative
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione.
Votazione < 18
Conoscenza e Comprensione: Lo studente identifica solo parzialmente le caratteristiche dei concetti. Le connessioni tra i concetti risultano frammentarie e scarsamente supportate da conoscenze teoriche.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente individua solo alcuni elementi rilevanti nell'analisi di un problema o di un esercizio, senza riuscire a integrarli in un’analisi organica.
Capacità comunicative e argomentative: Nella prova scritta e orale lo studente elabora un’argomentazione essenziale, priva di articolazione logica e caratterizzata da numerose imprecisioni espositive.
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione: Lo studente riesce a ricostruire solo alcuni aspetti del proprio percorso di apprendimento e sviluppo professionale.
Votazione 18-22
Conoscenza e Comprensione: Lo studente riconosce e restituisce la maggior parte delle caratteristiche concettuali e riesce a fornirne una spiegazione relativamente coerente, sebbene con qualche imprecisione. I riferimenti teorici sono presenti ma non sempre in modo rigoroso.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente è in grado di riconoscere un numero significativo di elementi e di fornire una spiegazione parziale, pur evidenziando alcune lacune nell’analisi.
Capacità comunicative e argomentative: Nella prova orale lo studente costruisce un’argomentazione di base, dotata di una struttura minima ma con alcune imprecisioni.
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione: Lo studente dimostra una consapevolezza di base del proprio percorso di apprendimento, riuscendo a tracciare collegamenti essenziali tra le esperienze formative, sebbene con alcune imprecisioni.
Votazione 23-27
Conoscenza e Comprensione: Lo studente dimostra una comprensione approfondita delle caratteristiche concettuali. Nell'elaborazione della prova scritta o nella discussione orale le spiegazioni risultano ben articolate e supportate da un uso adeguato dei riferimenti teorici.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente individua con precisione gli elementi essenziali di una questione matematica. L’applicazione delle conoscenze avviene con un rigore metodologico non sempre solido.
Capacità comunicative e argomentative: Nella prova scritta lo studente sviluppa un’argomentazione coerente e ben organizzata, dimostrando una buona padronanza del linguaggio e una struttura logico-argomentativa solida. La comunicazione risulta chiara ed efficace.
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione: Lo studente analizza il proprio percorso di apprendimento in modo chiaro e strutturato, mettendo in evidenza relazioni significative tra le diverse tappe evolutive e dimostrando una buona capacità di riflessione critica.
Votazione 28-30
Conoscenza e Comprensione: Lo studente evidenzia una padronanza completa dei concetti, articolando connessioni complesse e fornendo spiegazioni esaustive. I riferimenti teorici sono utilizzati con pertinenza e rigore.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente evidenzia una capacità avanzata di analisi di un problema, individuando e interpretando in modo esaustivo tutti gli elementi salienti. L’applicazione delle conoscenze avviene con rigore metodologico, supportato da un’argomentazione solida e articolata.
Capacità comunicative e argomentative: Nella prova scritta o orale lo studente elabora un’argomentazione solida e articolata, con un impianto logico rigoroso e un elevato livello di coerenza testuale. Il discorso è fluido e ben strutturato.
Capacità di apprendimento, di autovalutazione e di autoregolazione: Lo studente evidenzia una capacità avanzata di autoriflessione, elaborando un’analisi articolata e approfondita del proprio percorso di apprendimento e sviluppo professionale. Le connessioni tra esperienze formative e concetti teorici risultano chiare, coerenti e rigorose.
Testi di riferimento
Appunti delle lezioni e materiale per le esercitazioni a cura del docente del corso.
Letture consigliate per integrare le lezioni:
- A. Guerraggio - S. Salsa, Metodi matematici per l'economia e le scienze sociali, G. Giappichelli Editore, Torino, 1997.
- K. Sydsæter - P. Hammond - A. Seierstad - A. Strøm, Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, Harlow, 2008.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre, secondo ciclo.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Sustainable Development Goals
Learning objectives
The course in Mathematics for Economics M aims to provide students with the fundamental skills for mathematical analysis applied to economic models, developing the ability to understand and apply mathematical techniques in economic contexts. In particular, the educational objectives include the acquisition of knowledge on differential equations and dynamic systems, with particular attention to explicit resolution, qualitative analysis and stability of solutions, as well as the understanding of existence and uniqueness theorems. The course also aims to develop skills in the field of dynamic optimization and optimal control, fundamental for the analysis of complex economic models, through the application of the Pontryagin maximum principle and optimality conditions. Finally, it intends to introduce students to the concepts of measure and integration theory, with particular attention to the Lebesgue measure and its properties, to foster a deep understanding of the advanced mathematical tools used in economics, quantitative finance, and social sciences.
These skills are closely linked to the "Statistics" learning area of the Master's Degree in Statistical and Economic Sciences, as they provide the mathematical and analytical foundations necessary for advanced statistical analysis, data modeling and interpretation of complex phenomena, promoting an integrated approach between mathematical theory and statistical applications.
Students will acquire theoretical and practical skills, developing the ability to apply this knowledge to real problems, critically interpret results and propose methodologically sound solutions. The training path promotes independent judgment in the use of mathematical and statistical tools, allowing students to become more confident and independent professionals. The course also contributes to consolidating learning and updating skills in the field of advanced methods of mathematical and statistical analysis, in line with the objective of lifelong learning.
Contents
The contents consist of three parts. The first and the second one are strictly intertwined, whereas the third one, besides connections with the second part,
provides useful notions for such courses as Finanacial Mathematics M.
In the First Part, basic elements of the theory of ordinary differential equation systems are provided.
In the Second Part, an approach to (continuous time) optimal control problems is presented, along with a solution existence result.
In the Third Part, basic elements of measure theory and of integration theory are provided. As a special case, the Lebesgue integral is considered, with special emphasis to convergence theorems (monotone and dominated).
Detailed program
Part I (ODE):
- Differential equations in mathematical economics, Cauchy problems and related solution notion.
- Reduction to first order ODE of higher order ODE.
- Solving explicitly classes of differential equations: separable equations, linear equations, Bernoulli's equations, homogeneous equations, exact equations.
- Application to specific models (market price dynamics, Solow model of economic growth).
- Global and local solution existence and uniqueness for a Cauchy problem.
- Equilibria and their stability (in the Lyapunov sense, local and global asymptotic).
- Elements for a qualitative analysis of autonomous ODE.
- Linear ODE systems: solution methods and stability.
Part II (Optimal control):
- Problem statement.
- The Pontryagin maximum principle (the linear dynamics case and beyond).
- Sufficient optimality conditions (Mangasarian condition and Arrow condition).
- Applications to economical models (optimal selling strategies, selling maximization).
- The simplest problem of the calculus of variations as a special optimal control problem and its application (an optimal consumption/investment model).
- Existence of an optimal control (Filippov's theorem).
Part III (Selected topics in measure theory):
- Algebra and σ-algebra, generated σ-algebra.
- Measures and their properties.
- The Lebesgue measure on Rn.
- Measurable functions and their properties.
- Integral over a measure space and its properties.
- Integral functions and absolutely continuous functions.
- Convergence theorems (Lebesgue's dominated convergence theorem and B. Levi's monotone convergence theorem).
- Riemann vs Lebesgue integral.
Prerequisites
No official prerequisite. Nevertheless, a refreshement concerning the following topics in Mathematics, typically learnt in basic courses of calculus for undergraduate students, is strongly advised:
- Basic notions about complex numbers;
- Integration of functions of one real variable;
- Multivariable calculus;
- Matrix calculus with basic elements of linear algebra;
- Eigenvalues and matrix diagonalization methods;
- Quadratic forms;
- Convexity/concavity for sets and functions.
Teaching methods
All lessons are held in person in the following delivery mode:
10 lessons of 2 hours and 6 lessons of 2 hours, all delivered in person.
During the teaching period, some exercises will be proposed to be autonomously solved by students, in preparation of the exam. Some of them will be then discussed in special sessions by the teacher.
Assessment methods
The exam will be in written form and, in case of passing the written test with a sufficient grade (>=18/30), in oral form upon request of the student or the teacher. There are no partial tests in progress.
The format of a written test essentially includes the following types of questions:
- the resolution of 3 exercises/problems;
- a detailed discussion of one of the models presented in the course;
- the detailed exposition of some arguments of the theory and their application in specific cases (open questions).
In carrying out an exam, the ability to analyze and classify a proposed problem, the ability to choose and apply the resolution methodologies proposed in the theory, the depth, precision and completeness of the exposition in the discussion of models and of the theoretical apparatus developed during the course will be evaluated.
Specific material for exam simulations will be provided by the teacher.
The final assessment is graded on a 30-point scale.
Both the written examination and oral examination (if any) are assessed according to the following grading criteria, based on these parameters:
Conceptual knowledge and understanding
Ability to apply knowledge and understanding
Communication and argumentation skills
Learning, self-assessment, and self-regulation skills
Grade < 18
Knowledge and Understanding:
The student identifies only some of the characteristics of the concepts. Connections between concepts are fragmented and only weakly supported by theoretical knowledge.
Ability to Apply Knowledge and Understanding:
The student identifies only some relevant elements in the analysis of a problem or exercise, without being able to integrate them into a coherent analysis.
Communication and Argumentation Skills:
In the written and oral examination, the student develops a basic argument lacking logical structure and characterized by numerous inaccuracies in presentation.
Learning, Self-Assessment, and Self-Regulation Skills:
The student is able to reconstruct only some aspects of their learning and professional development process.
Grade 18–22
Knowledge and Understanding:
The student recognizes and describes most conceptual characteristics and is able to provide a relatively coherent explanation, although with some inaccuracies. Theoretical references are present but not always used rigorously.
Ability to Apply Knowledge and Understanding:
The student is able to identify a significant number of relevant elements and provide a partial explanation, while still showing some gaps in the analysis.
Communication and Argumentation Skills:
In the oral examination, the student develops a basic argument with a minimal structure, although some inaccuracies remain.
Learning, Self-Assessment, and Self-Regulation Skills:
The student demonstrates a basic awareness of their learning process and is able to identify essential connections among learning experiences, although with some inaccuracies.
Grade 23–27
Knowledge and Understanding:
The student demonstrates a thorough understanding of the conceptual characteristics. In the written examination or oral discussion, explanations are well articulated and supported by an appropriate use of theoretical references.
Ability to Apply Knowledge and Understanding:
The student accurately identifies the essential elements of a mathematical problem. Knowledge is applied with methodological rigor, although not always consistently.
Communication and Argumentation Skills:
In the written examination, the student develops a coherent and well-organized argument, demonstrating good command of language and a solid logical structure. Communication is clear and effective.
Learning, Self-Assessment, and Self-Regulation Skills:
The student analyzes their learning process in a clear and structured manner, highlighting meaningful relationships among different stages of development and demonstrating good critical reflection skills.
Grade 28–30
Knowledge and Understanding:
The student demonstrates complete mastery of the concepts, establishing complex connections and providing comprehensive explanations. Theoretical references are used appropriately and rigorously.
Ability to Apply Knowledge and Understanding:
The student demonstrates advanced problem-analysis skills, identifying and interpreting all key elements thoroughly. Knowledge is applied with methodological rigor, supported by a solid and well-developed argument.
Communication and Argumentation Skills:
In the written or oral examination, the student develops a strong and sophisticated argument, characterized by rigorous logical organization and a high degree of textual coherence. The presentation is fluent and well structured.
Learning, Self-Assessment, and Self-Regulation Skills:
The student demonstrates advanced self-reflection skills, providing a detailed and in-depth analysis of their learning and professional development process. Connections between learning experiences and theoretical concepts are clear, coherent, and rigorous.
Textbooks and Reading Materials
Lecture notes and exercises are provided during the course.
Some further reading:
- A. Guerraggio - S. Salsa, Metodi matematici per l'economia e le scienze sociali, G. Giappichelli Editore, Torino, 1997.
- K. Sydsæter - P. Hammond - A. Seierstad - A. Strøm, Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, Harlow, 2008.
Semester
The course is scheduled in the second half of the second semester.
Teaching language
Italian.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Amos Uderzo
