Course Syllabus
Obiettivi
Il corso si propone di introdurre lo studente ai concetti e ai metodi fondamentali della Geometria Algebrica classica, fornendo gli strumenti per comprendere il profondo legame tra le proprietà geometriche delle varietà e le proprietà algebriche degli anelli associati.
Più in dettaglio gli obiettivi sono:
(1) Conoscenza e capacità di comprensione: gli studenti al termine del corso avranno acquisito: la struttura delle varietà affini e proiettive; la corrispondenza algebra-geometria basta sul Nullstellensatz di Hilbert; il concetto di trasformazione birazionale; la nozione di dimensione per una varietà algebrica.
(2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: gli studenti saranno in grado di tradurre problemi geometrici nel linguaggio degli ideali e viceversa; fare uno studio delle proprietà locali di una varietà e l'analisi delle singolarità.
(3) Autonomia di giudizio: L'insegnamento mira a sviluppare la capacità di analizzare criticamente e produrre giudizi autonomi sulla base degli strumenti appressi.
(4) Abilità comunicative: Gli strumenti appresi consentiranno agli sudenti di formulare argomenti chiari e rigorosi per descrivere, sia oralmente che per iscritto, proprietà di varietà algebriche.
(5) Capacità di apprendimento: L'insegnamento fornirà gli strumenti teorici e metodologici per affrontare in autonomia lo studio di sviluppi avanzati della Geometria Algebrica.
Contenuti sintetici
- Curve algebriche piane.
- Varietà affini.
- Varietà proiettive.
- Varietà quasiproiettive.
- Singolarità e dimensione.
- Struttura delle mappe birazionali.
Programma esteso
- Curve algebriche piane: curve affini e curve proiettive, curve razionali, punti singolari, classificazione delle coniche proiettive.
- Varietà affini: sottosinsiemi chiusi di uno spazio affine, topologia di Zariski, irriducibilità, Nullstellensatz (Teorema degli zeri di Hilbert), funzioni polinomiali e anello delle coordinate, mappe polinomiali, varietà affini, isomorfismi tra varietà affini, funzioni e mappe razionali.
- Varietà proiettive: sottoinsiemi chiusi di uno spazio proiettivo, topologia di Zariski, versione proiettiva del Nullstellensatz, varietà proiettive, funzioni razionali e regolari, mappe rezionali e morfismi, mappe birazionali, varietà razionali.
- Varietà quasiproiettive: prodotto di varietà, mappe finite, Teorema di Normalizzazione di Noether.
- Singolarità e dimensione: anello locale in un punto, spazio tangente, punti singolari, dimensione, varietà non singolari.
- Struttura delle mappe birazionali: blowup e sottovarietà eccezionali, varietà normali e normalizzazione.
- Varietà complesse e introduzione al principio GAGA: Varietà algebriche sul campo complesso e topologia euclidea. Confronto tra topologia di Zariski e topologia classica. Cenni alle varietà analitiche, Teorema di Chow e corrispondenza tra varietà algebriche proiettive e varietà complesse compatte.
Prerequisiti
Nozioni di base algebra e algebra lineare, topologia generale e calcolo differenziale in più variabili.
Modalità didattica
L' insegnamento prevede lezioni frontali (56 ore pari a 8 CFU) in presenza.
L'attività didattica è svolta prevalentemente in modalità erogativa, nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte.
Al termine di ogni argomento svolto a lezione, verranno proposti alcuni esercizi che saranno pubblicati alla pagina e-learning del corso. La loro risoluzione viene lasciata agli studenti e potrà essere discussa in aula a richiesta degli studenti o durante i ricevimenti.
Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Materiale didattico
Testi consigliati:
-
Miles Reid, "Undergraduate Algebraic Geometry",
London Mathematical Society Student texts 12 -
Igor R. Shafarievich, "Basic Algebraic Geometry 1. Varieties in Projective Space",
Springer -
Joe Harris, "Algebraic Geometry. A first course",
Graduate Texts in Matematics. Springer
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste di una prova orale.
Non sono previste prove in itinere o parziali.
La prova orale si divide in due parti:
-nella prima vengono proposti quesiti di carattere teorico (definizioni, enunciati e dimostrazioni dei risultati discussi a lezione),
-nella seconda vengono proposti quesiti di applicazione della teoria (risoluzione di esercizi simili a quelli proposti durante le lezioni, costruzione di esempi o controesempi).
Le due parti concorrono in egual misura alla determinazione del punteggio finale valutato in trentesimi. Nella prima parte verranno valutate la conoscenza e la comprensione dei concetti presentati nel corso e dei risultati teorici dimostrati in aula, la capacità di organizzare un' esposizione efficace, rigorosa e coerente. Nella seconda parte verranno valutate la padronanza e l'autonomia nell'affrontare lo svolgimento degli esercizi, l'esattezza delle risposte e la proprietà del linguaggio matematico utilizzato.
L'esame è superato se si ottiene una valutazione di almeno 18/30.
Sono previsti 6 appelli d'esame (gennaio, febbraio, aprile, giugno, luglio e settembre).
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The course aims to introduce students to the fundamental concepts and methods of classical Algebraic Geometry, providing the necessary tools to understand the deep connection between the geometric properties of varieties and the algebraic properties of their associated rings.
In further detail, the learning outcomes are:
Knowledge and understanding: By the end of the course, students will have acquired: the structure of affine and projective varieties; the algebra-geometry correspondence based on Hilbert's Nullstellensatz; the concept of birational transformation; and the notion of dimension for an algebraic variety.
Applying knowledge and understanding: Students will be able to translate geometric problems into the language of ideals and vice versa; perform studies on the local properties of a variety; and analyze singularities.
Making judgements (Autonomy of judgement): The course aims to develop the ability to critically analyze and form independent judgements based on the tools learned.
Communication skills: The acquired tools will enable students to formulate clear and rigorous arguments to describe, both orally and in writing, the properties of algebraic varieties.
Learning skills: The course will provide the theoretical and methodological tools necessary to independently pursue the study of advanced topics in Algebraic Geometry.
Contents
- Plane algebraic curves.
- Affine varieties.
- Projective varieties.
- Quasi-projective varieties.
- Singularities and dimension.
- Structure of birational maps.
Detailed program
- Plane algebraic curves: affine and projective curves, rational curves, singular points, classification of projective conics.
- Affine varieties: closed subsets of an affine space, Zariski topology, irreducibility, Nullstellensatz (Hilbert's Nullstellensatz), polynomial functions and coordinate rings, polynomial maps, affine varieties, isomorphisms between affine varieties, rational functions and maps.
- Projective varieties: closed subsets of a projective space, Zariski topology, projective version of the Nullstellensatz, projective varieties, rational and regular functions, rational maps and morphisms, birational maps, rational varieties.
- Quasi-projective varieties: product of varieties, finite maps, Noether Normalization Theorem.
- Singularities and dimension: local ring at a point, tangent space, singular points, dimension, non-singular (smooth) varieties.
- Structure of birational maps: blowups and exceptional subvarieties, normal varieties and normalization.
- Complex varieties and introduction to the GAGA principle: Algebraic varieties over the complex field and the Euclidean topology. Comparison between the Zariski topology and the classical topology. Brief introduction to analytic varieties, Chow's Theorem, and the correspondence between projective algebraic varieties and compact complex manifolds.
Prerequisites
Basic notions of algebra and linear algebra, general topology and differential calculus in several variables.
Teaching form
The course consists of in-person lectures (56 hours, equivalent to 8 CFU/ECTS).
Teaching is delivered primarily through traditional lectures, during which relevant definitions, results, and theorems are presented, along with examples and problem analyses applying the introduced concepts.
At the end of each topic covered in class, exercise sheets will be assigned and published on the course's e-learning platform. Students are expected to solve these exercises independently; they can be discussed in class upon request or during office hours.
The course is scheduled to be taught in Italian; however, it may be held in English if international students are enrolled.
Textbook and teaching resource
Reference books:
-
Miles Reid, "Undergraduate Algebraic Geometry",
London Mathematical Society Student texts 12 -
Igor R. Shafarievich, "Basic Algebraic Geometry 1": Varieties in Projective Space",
Springer -
Joe Harris, "Algebraic Geometry. A first course",
Graduate Texts in Matematics. Springer
Semester
First semester.
Assessment method
The assessment method consists in oral exam.
There are no partial texts.
The exam consists of two parts:
-in the first one there are theorethical questions involving definitions, statements of theorems, proofs,
-in the second one there are computational questions as construction of examples and counterexamples and exercises (similar to those proposed at lectureres).
The two parts will contribute equally to the the final grade (up to 30/30). In the first part, the evaluation will take into account the knowledge and the understanding of conceptual framework of the course, as well the ability to expose it in well-organized manner. In the second part, the evaluation will take into account the ability to perform exercises, the exactness of the answers and the mathematical language used.
In order to successfully complete the exam the students need to obtained a grade of at least 18/30.
There will be 6 exam sessions (january, february, april, june, july and september,).
Office hours
Upon appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Sonia Brivio
