Syllabus del corso
Obiettivi
Conoscenza e capacità di comprensione
Lo studente dovrà acquisire le nozioni fondamentali e i concetti di base dell'analisi matematica in una variabile. In particolare, dovrà comprendere e assimilare:
- i principi del calcolo differenziale e integrale;
- le definizioni, i teoremi principali e le proprietà delle funzioni reali di variabile reale.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Al termine del corso, lo studente sarà in grado di utilizzare gli strumenti matematici appresi per
- risolvere problemi ed esercizi di calcolo differenziale e integrale;
- utilizzare i metodi analitici per lo studio, la modellizzazione e l'interpretazione formale di fenomeni fisici e ambientali.
Autonomia di giudizio
L'insegnamento mira a sviluppare nello studente la capacità di
- selezionare autonomamente i metodi e i modelli matematici più adeguati per affrontare e risolvere uno specifico problema;
- valutare la coerenza logica e la correttezza dei passaggi analitici utilizzati e dei risultati ottenuti.
Abilità comunicative
Lo studente dovrà maturare la capacità di:
- esporre in modo chiaro, lineare e con il dovuto rigore logico-matematico i concetti appresi;
- descrivere e comunicare problemi e soluzioni tecniche legati ai fenomeni fisici e ambientali utilizzando il linguaggio formale dell'analisi matematica.
Capacità di apprendimento
Il percorso formativo consentirà allo studente di sviluppare:
- capacità logiche e analitiche utili per l'apprendimento autonomo;
- la flessibilità necessaria per approfondire autonomamente studi successivi e applicare gli strumenti matematici a contesti interdisciplinari più complessi.
Contenuti sintetici
Numeri reali. Disequazioni. Calcolo Combinatorio. Funzioni reali di variabile reale.
Limiti. Continuità. Calcolo differenziale. Formula di Taylor. Studio di funzione. Calcolo integrale.
Programma esteso
Calcolo combinatorio: disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici, permutazioni semplici, formula del binomio di Newton.
Insiemi: sottoinsiemi, relazioni e operazioni fra insiemi; insiemi limitati e illimitati. Numeri razionali. Numeri reali. Successioni. Limiti di successioni. Estremo superiore ed estremo inferiore. Funzioni. Funzioni composte e funzioni inverse. Funzioni esponenziali e trigonometriche. Disequazioni.
Limite di una successione. Successioni monotone e teorema del confronto. Limiti elementari. Il numero e. Limiti di funzioni. Limiti di funzioni e limiti di successioni. Funzioni continue e loro proprietà. Funzioni inverse di funzioni continue. Funzioni e limiti elementari.
Derivata e retta tangente. Derivate elementari. Regole di derivazione e calcolo delle derivate. Massimi e minimi, il teorema del valor medio. Derivate di ordine superiore, convessità. Studio del grafico di una funzione. Formula di Taylor e di Mac Laurin.
L'integrale definito. Funzioni primitive e teorema fondamentale del calcolo. Primitive elementari.
Prerequisiti
Algebra, geometria e trigonometria elementari.
Modalità didattica
20 lezioni da 2 ore svolte in modalità erogativa in presenza.
15 esercitazioni da 2 ore svolte in modalità interattiva in presenza.
Materiale didattico
M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini Analisi matematica. Dal calcolo all’analisi Vol. 1. Editore: Apogeo.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo anno, secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova scritta, costituita da domande aperte e esercizi.
Prova orale facoltativa (su richiesta o dello studente o del docente) a cui si può accedere se si è ottenuto un punteggio di almeno 18 nella prova scritta.
Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30.
Nella prova scritta si valutano la conoscenza dei contenuti del corso e le competenze acquisite, mediante sia la risoluzione di esercizi sia la risposta a quesiti teorici. Saranno valutati la correttezza delle risposte, l'appropriatezza del linguaggio matematico utilizzato e il rigore e la chiarezza dell'esposizione.
La prova orale facoltativa consiste in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione. Saranno valutati la correttezza delle risposte, l'appropriatezza del linguaggio matematico utilizzato, il rigore e la chiarezza dell'esposizione.
Nel corso dell’anno sono previsti 7 appelli d’esame nei seguenti periodi: due nella sessione invernale di gennaio-febbraio, uno ad aprile, uno a giugno, uno a luglio, uno a settembre e uno a novembre.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
Knowledge and understanding
Students must acquire the fundamental notions and basic concepts of mathematical analysis in one variable. In particular, they must understand and assimilate:
- the principles of differential and integral calculus;
- the definitions, main theorems, and properties of real functions of a real variable.
Applying knowledge and understanding
At the end of the course, students will be able to use the acquired mathematical tools to
- solve problems and exercises of differential and integral calculus;
- use analytical methods for the study, modeling, and formal interpretation of physical and environmental phenomena.
Making judgments
The course aims to develop the student's ability to
- independently select the most appropriate mathematical methods and models to approach and solve a specific problem;
- evaluate the logical coherence and correctness of the analytical steps used and the results obtained.
Communication skills
Student must develop the ability to:
- present the learned concepts clearly, linearly, and with the necessary logical-mathematical rigor;
- describe and communicate technical problems and solutions related to physical and environmental phenomena using the formal language of mathematical analysis.
Learning skills
The educational path will allow students to develop:
- logical and analytical skills useful for autonomous learning;
- the necessary flexibility to independently deepen subsequent studies and apply mathematical tools to more complex interdisciplinary contexts.
Contents
Real numbers. Inequalities. Combinatorics. Limits. Continuity. Differential calculus. Functions and their graph. Taylor's formulas. Integration.
Detailed program
Combinatorics: sequences with and without repetitions. Permutations. Combinations. Newton's binomial formula.
Sets: subsets, relations and operations between sets; bounded and unbounded sets. Rational numbers. Real numbers. Sequences. Limits of sequences. Supremum and infimum. Functions. Composition of functions and inverse functions. Exponential and trigonometric functions. Inequalities.
Limit of a sequence: monotone sequences and the squeeze theorem. Elementary limits. The number e. Limits of functions. Limits of functions and limits of sequences. Continuous functions and their properties. Inverse functions of continuous functions. Elementary functions and limits.
Derivative and tangent line. Elementary derivatives. Rules of differentiation and calculation of derivatives. Maxima and minima, the mean value theorem. Higher-order derivatives, convexity. Graph analysis of a function. Taylor and Maclaurin formulas.
The definite integral. Antiderivatives and the fundamental theorem of calculus. Elementary antiderivatives.
Prerequisites
Elementary algebra, elementary trigonometry, elementary analytic geometry.
Teaching form
20 lessons of 2 hours each delivered in person.
15 exercise classes of 2 hours each delivered in person.
Textbook and teaching resource
M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini Analisi matematica. Dal calcolo all’analisi Vol. 1. Editore: Apogeo.
Semester
First year, Second semester.
Assessment method
Written exam, consisting of open-ended questions and exercises. Grading on a scale of 18-30/30.
Optional oral test (upon request of either the student or the instructor), which can be taken if a score of at least 18 is achieved in the written test.
The written exam assesses knowledge of the course content and the skills acquired, both through solving exercises and answering theoretical questions. The correctness of the answers, the appropriateness of the mathematical language used, and the rigor and clarity of the exposition will be evaluated.
The optional oral test consists of an interview on the topics covered in the course. The correctness of the answers, the appropriateness of the mathematical language used, and the rigor and clarity of the exposition will be evaluated.
During the year, 7 exam sessions are scheduled in the following periods: two in the winter session of January-February, one in April, one in June, one in July, one in September, and one in November.
Office hours
By appointment.
Staff
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Veronica Felli
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Roberto Ognibene