Syllabus del corso
Obiettivi
Questo corso di Matematica per l'insegnamento – Algebra si rivolge principalmente ai futuri insegnanti di matematica e scienze. L'insegnamento si propone di rivisitare in modo rigoroso, con particolare attenzione alle dimostrazioni, i principali temi della matematica scolastica, evidenziandone gli aspetti teorici, storici e didattici.
1. Conoscenza e capacità di comprensione
- Acquisizione dei concetti fondamentali di algebra e aritmetica.
- Comprensione del concetto di numero e della sua evoluzione storica.
- Comprensione delle dimostrazioni di alcuni risultati classici della matematica e del loro significato nell'evoluzione del pensiero matematico.
- Conoscenza delle principali difficoltà concettuali e didattiche connesse agli argomenti trattati.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
- Capacità di distinguere tra definizioni, teoremi, dimostrazioni, esempi e controesempi.
- Capacità di utilizzare esempi e controesempi per analizzare la validità di affermazioni matematiche.
- Capacità di interpretare gli argomenti del corso anche in una prospettiva didattica, individuandone gli aspetti essenziali per l'insegnamento.
3. Autonomia di giudizio
- Sviluppo della capacità di valutare criticamente la correttezza di un ragionamento matematico.
- Capacità di analizzare diverse modalità di presentazione degli stessi contenuti matematici, valutandone efficacia, rigore e adeguatezza ai fini dell'insegnamento.
4. Abilità comunicative
- Capacità di esporre i concetti matematici in modo preciso, rigoroso e privo di ambiguità.
- Capacità di comunicare efficacemente definizioni, teoremi e dimostrazioni, adattando il linguaggio al livello di preparazione degli interlocutori senza rinunciare al rigore matematico.
5. Capacità di apprendimento
Al termine dell'insegnamento, lo studente sarà in grado di approfondire autonomamente gli argomenti trattati nel corso e di affrontare lo studio di ulteriori temi della matematica scolastica con metodo rigoroso, sapendone cogliere gli aspetti teorici, storici e didattici.
Contenuti sintetici
1 - Logica elementare
2 - Numeri interi
3 - Aritmetica modulare
4 - Numeri razionali e reali
5 - Polinomi
Programma esteso
I. Logica elementare
1. Tavole di verità
2. Dimostrazioni
3. Insiemi
4. Funzioni
5. Relazioni di equivalenza
6. I numeri naturali
7. Cardinalità
II. Numeri interi
1. Calcolo in Z
2. Divisibilità
3. Numeri primi
4. Valutazione p-adica
5. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo
6. L’equazione ax + by = c
7. Numerazione posizionale
III. Aritmetica modulare
1. Gruppi
2. Anelli
3. L’anello delle classi di resti
IV. Numeri razionali e reali
1. Numeri razionali
2. Sviluppo in base b di numeri razionali
3. Numeri reali
4. Frazioni continue (tempo permettendo)
V. Polinomi
1. L’anello dei polinomi
2. Aritmetica dei polinomi
3. Radici
4. Molteplicità
5. Interpolazione polinomiale
Prerequisiti
La matematica di base oggetto dell’insegnamento della scuola primaria e secondaria. Nessuna propedeuticità.
Modalità didattica
42 ore di lezioni frontali. Il corso è previsto in lingua italiana ma potrebbe essere tenuto in lingua inglese in presenza di studenti stranieri.
Materiale didattico
Sarano forniti appunti delle lezioni in formato pdf.
Note del Prof. Colzani.
R.Courant, H.Robbins “Che cos’è la matematica?”.
C.B.Boyer “Storia della matematica”.
G.Chrystal "Algebra: An elementary text-book".
Euclide “Elementi”.
L.Euler “Elements of algebra”.
G.H.Hardy, E.M.Wright “An introduction to the theory of numbers”.
G.Polya "How to solve it".
G.Polya "Mathematics and plausible reasoning".
G.Polya "Mathematical discovery".
H.Steinhaus “Matematica per istantanee”.
J.Stillwell “Elements of Mathematics: From Euclid to Gödel”.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale dopo la fine delle lezioni. Il voto viene espresso in trentesimi. Lo studente dovrà dimostrare di essere in grado di esporre con chiarezza e proprietà di linguaggio le conoscenze acquisite, dimostrando la loro completa comprensione.
Non ci sono prove in itinere.
Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
Mathematics for Teaching – Algebra is primarily intended for prospective teachers of mathematics and science. The course aims to revisit the main topics of school mathematics from a rigorous perspective, with particular emphasis on mathematical proofs, highlighting their theoretical, historical, and educational aspects.
1. Knowledge and understanding
- Acquire a solid understanding of the fundamental concepts of algebra and arithmetic.
- Understand the concept of number and its historical development.
- Understand the proofs of selected classical mathematical results and their significance in the development of mathematical thought.
- Become familiar with the main conceptual and educational challenges associated with the topics covered in the course.
2. Applying knowledge and understanding
- Distinguish between definitions, theorems, proofs, examples, and counterexamples.
- Use examples and counterexamples to assess the validity of mathematical statements.
- Interpret the course material from an educational perspective, identifying the essential concepts and methods for effective mathematics teaching.
3. Making judgements
- Develop the ability to critically assess the correctness of mathematical arguments.
- Analyze different ways of presenting the same mathematical content, evaluating their effectiveness, rigor, and suitability for teaching.
4. Communication skills
- Present mathematical concepts clearly, precisely, and rigorously.
- Communicate definitions, theorems, and proofs effectively, adapting the level of exposition to the intended audience while maintaining mathematical rigor.
5. Learning skills
By the end of the course, students will be able to pursue further study of the topics covered independently and to approach additional topics in school mathematics using a rigorous methodology, while appreciating their theoretical, historical, and educational significance.
Contents
1 - Elemetary logic
2 - Integral numbers
3 - Modular aritmetic
4 - Rational numbers, real numbers
5 - Polynomials
Detailed program
I. Elementary logic
1. Truth tables
2. Proofs
3. Sets
4. Functions
5. Equivalence relations
6. Natural numbers
7. Cardinality
II. Integers
1. Computations in Z
2. Divisibility
3. Prime numbers
4. p-adic valuation
5. Greatest Common Divisor and Least Common Multiple
6. The equation ax + by = c
7. Positional mumbering
III. Modular arithmetic
1. Groups
2. Rings
3. The congruence-class ring
IV. Rational and real numbers
1. Rational numbers
2. Base b expansion of rational numbers
3. Real numbers
4. Continued fractions (time permitting)
V. Polynomials
1. The ring of polynomials
2. Arithmetic of polynomials
3. Roots
4. Multiplicity
5. Polynomial interpolation
Prerequisites
Background: Basic mathematics of the elementary and secondary schools. Prerequisites: None.
Teaching form
42 hours of classroom lectures. The course is scheduled in Italian but could be held in English in the presence of foreign students.
Textbook and teaching resource
Lecture notes for the course will be provided in pdf format.
Notes of the Prof. Colzani.
R.Courant, H.Robbins “What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods”.
C.B.Boyer “A history of mathematics”.
G.Chrystal "Algebra: An elementary text-book".
Euclid “Elements”.
L.Euler “Elements of algebra”.
G.H.Hardy, E.M.Wright “An introduction to the theory of numbers”.
G.Polya "How to solve it".
G.Polya "Mathematics and plausible reasoning".
G.Polya "Mathematical discovery".
H.Steinhaus “Mathematical snapshots”.
J.Stillwell “Elements of Mathematics: From Euclid to Gödel”.
Semester
Second semester.
Assessment method
Oral examination after the end of the lectures. The maximal grade is thirty. The student will have to demonstrate adequate understanding of the content of the course, and be able to expose clearly the knowledge acquired during the course.
There are no partial examanitions during the lectures.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Olivier Jean-Laurent Haution
