- Teoria della Misura
- Introduzione
Syllabus del corso
Obiettivi
Obiettivi formativi
Competenze: Gli studenti devono acquisire una buona conoscenza di base delle idee, delle tecniche e delle applicazioni della teoria della misura e dell'integrazione.
Capacità: Gli studenti dovranno capire e saper esporre, con proprietà di linguaggio e rigore, le definizioni, i teoremi e le dimostrazioni principali. Dovranno inoltre saper usare quanto appreso per risolvere gli esercizi e i problemi proposti durante il corso e all'esame. Infine dovranno essere pronti ad applicare le idee e le tecniche imparate in questo corso ai numerosi altri ambiti matematici e scientifici in cui esse giocano un ruolo.
Contenuti sintetici
- Problemi dell'integrale di Riemann rispetto al passaggio al limite.
- Algebre, sigma-algebre e misure. Funzioni misurabili.
- Misure esterne, premisure, teorema di estensione. Misure di Borel e Lebesgue.
- Integrazione astratta. Teoremi di convergenza
- Integrazione in più variabili. Teorema di Fubini-Tonelli. Cambio di variabili.
- Completezza di L1.
Programma esteso
- Integrale di Riemann (richiami). Sue limitazioni e i problemi con il passaggio al limite. Necessità di un integrale più adatto alle operazioni di limite. Una strategia e un ostacolo, l'insieme di Vitali.
- Teoria della misura astratta. Algebre, sigma-algebre e misure. Proprietà di base ed esempi. Misure complete. La sigma-algebra di Borel. Sigma-algebra prodotto. Funzioni misurabili. Funzioni semplici. Misurabilità del limite puntuale di una successione di funzioni misurabili. Funzioni misurabili come limite puntuale di funzioni semplici.
- Come costruire le misure "importanti". Misure esterne. Una procedura standard per costruire misure esterne. Condizione e teorema di Caratheodory. Premisure e teorema di estensione. Misure di Borel e di Lebesgue.
- Integrazione astratta. Definizione di integrale per le funzioni non negative. Teorema di convergenza monotona, Lemma di Fatou. Integrazione delle funzioni a valori complessi. Teorema di convergenza dominata.
- Integrazione in più variabili. Teorema di Fubini-Tonelli. Cambio di variabili.
- Completezza di L1.
Prerequisiti
I corsi di Analisi I e II. È utile una buona conoscenza della topologia generale e una certa familiarità con l'algebra.
Modalità didattica
Lezioni frontali.
Materiale didattico
Appunti del docente, temi d'esame e materiale didattico degli anni precedenti.
Principale testo di riferimento: Folland, Real Analysis, Wiley
Altri testi:
- Ambrosio - Da Prato - Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale.
- Rudin, Real and Complex Analysis,
- Stein - Shakarchi, Real Analysis, Measure Theory, Integration and Hilbert spaces, Princeton
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre. Marzo-Giugno 2019.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste di uno scritto composto da esercizi il cui scopo è di verificare la conoscenza della disciplina e la capacità di utilizzarla per risolvere problemi, e di un orale in cui si discuterà lo scritto, si verificherà la conoscenza dei teoremi principali e delle loro dimostrazioni nonché la capacità di esporli in modo chiaro. E' necessario superare lo scritto per essere ammessi all'orale. Lo scritto si considera superato se si ottiene un voto almeno pari a 18. In tal caso si può sostenere la prova orale anche in un appello successivo, purchè all'interno dell'anno accademico. Si viene ammessi all'orale anche con i voti 15, 16, 17, ma in tal caso si dovrà affrontare la prova orale nello stesso appello.
Per superare l'esame lo studente dovrà conoscere e saper usare i teoremi , avere un quadro sufficientemente chiaro e preciso della teoria astratta della misura e dell'integrazione e delle misure di Borel e Lebesgue in una e più dimensioni. Il voto sarà tanto più alto quanto meglio lo studente saprà enunciare, usare e dimostrare i teoremi più importanti.
La prova scritta e quella orale concorrono in uguale misura nella determinazione del voto finale.
Nel corso dell' anno accademico sono previsti sei appelli d'esame: giugno, luglio. settembre, novembre, febbraio/marzo, aprile.
Orario di ricevimento
Per appuntamento, preferibilmente il giovedì dalle 14.00 alle 16.00
Aims
The students will learn the theoretical aspects and the basic analytic applications of Measure and Intrgration Theory.
They will have to understand and be able to present with clarity and rigour the main definitions, theorems and proofs. They also should be able to use what they have learned to solve exercises and problems given during class and at the exam.
Finally they should be ready to apply the ideas and techniques of Measure Theory to the various mathematical and scientific fields where they play a role.
Contents
- The Riemann integral and the problems with passing to the limit.
- Algebras, sigma-algebras and measures. Measurable functions.
- Outer measures, premeasures, extension theorem. Borel and Lebesgue measures.
- Abstract integration. Convergence theorems
- Integration in several variables. Fubini-Tonelli theorem. Change of variables.
- Completeness of L1.
Detailed program
- The Riemann integral (an overview) and the problems with passing to the limit. Need of an integral better suited to deal with pointwise convergence of sequences of functions. A possible approach and an obstacle: Vitali's set.
- Abstract measure theory. Algebras, sigma-algebras and measures. Basic properties and examples. Complete measures. Borel sigma-algebra. Product of sigma-algebras. Measurable functions. Simple functions. Measurability of the pointwise limit of a sequence of measurable functions. Measurable functions as pointwise limit of simple functions.
- How to construct relevant measures. Outer measures and a way to generate some of them. Caratheodory condition and theorem. Premeasures and the extension theorem. Borel and Lebesgue measures.
- Abstract integration. Integration of non negative functions. Monotone convergence theorem, Fatou's Lemma. Integration of complex valued functions. The dominated convergence theorem.
- Integration in several variables. Fubini-Tonelli theorem. Change of variables.
- Completeness of L1.
Prerequisites
The basic courses in Analysis of one and several real variables. A good knowledge of general topology and to be familiar with abstract algebra is also recommended.
Teaching form
Frontal teaching.
Textbook and teaching resource
Notes from the instructor, collections of previous written tests, teaching resource from past years.
Main reference text: Folland, Real Analysis, Wiley
Other texts:
- Ambrosio - Da Prato - Mennucci, Introduction to Measure Theory and Integration, Edizioni della Normale.
- Rudin, Real and Complex Analysis,
- Stein - Shakarchi, Real Analysis, Measure Theory, Integration and Hilbert spaces, Princeton
Semester
Spring semester. March-June 2019.
Assessment method
The exam consists of a written part and an oral part. The written part tests how well the student can use in problem solving what he/she has learned in the course. During the oral test, there will be a discussion of the written test and then the student will be asked to present with clarity and rigour some definitions and theorems with their proofs. Passing the written test is mandatory to be admitted to the oral test. The written test is past if the grade obtained is at least 18. In that case the student can choose in which session, within the same academic year, he/she prefers to take the oral test.
The student is admitted to the oral test also with grades 15, 16, 17, but in such a case, he/she MUST take it in the current session.
To pass the exam is required: knowledge and correct use of the convergence theorems; a clear and precise picture of the abstract theory of measure and integration; a good understanding of Borel and Lebesgue measures in one and higher dimensions. The grade will depend on how the student can state, use and prove the main theorems.
The written and oral tests have the same weight in determining the final grade.
There will be six exam sessions in one academic year: june, july, september, november, february/march, april.
Office hours
By appointment, mostly on thursdays 14.00 - 16.00.
Scheda del corso
Staff
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Luigi Fontana