Course Syllabus

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Istituzioni di matematiche

MOLTO IMPORTANTE

L'insegnamento di Istituzioni di matematiche prevede la suddivisione degli studenti nei gruppi AL (docente Daniela Bertacchi) e MZ (docente Pablo Spiga), a seconda dell'iniziale del vostro cognome. 

Il docente del vostro gruppo è quello a cui dovete sempre fare riferimento. Indirizzate perciò solo al vostro docente eventuali e-mail o comunicazioni.

La password di iscrizione è
mateal per gli studenti AL
matemz per gli studenti MZ.

Il corso intende presentare alcuni risultati di base di aritmetica. Inoltre, nel corso discuteremo insiemi numerici quali i naturali, gli interi, i razionali e i reali. Daremo inoltre un'introduzione alla teoria degli insiemi, delle funzioni e della probabilita'.

  • Teoria degli insiemi. Insiemi e operazioni fra insiemi.
  • Funzioni, funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Insiemi infiniti.
  • Relazioni binarie. Relazioni d’ordine. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e partizioni.
  • I numeri naturali. Introduzione assiomatica dei numeri naturali secondo Peano. Somma, prodotto e ordinamento dei naturali. Principio di induzione. Scrittura decimale e in altre basi dei naturali.
  • I numeri interi. Introduzione dei numeri interi a partire dai numeri naturali. Divisibilità nell’insieme degli interi. Esistenza e unicità di quoziente e resto. La congruenza modulo n. Classi di resto. Numeri primi; teorema fondamentale dell’aritmetica. Crivello di Eratostene. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due numeri interi. Algoritmo euclideo delle divisioni successive.
  • I numeri razionali. La costruzione dei numeri razionali, l'insieme dei razionali come estensione dell'insieme dei numeri interi. Operazioni fra razionali e proprietà di densità.
  • Alcuni elementi di probabilità elementare. Eventi dipendenti e eventi indipendenti, probabilita'condizionata. Calcolo elementare di probabilita'.
  • Cenni all'estensione dei numeri razionali ai numeri reali.

Al completamento del corso lo studente è in grado di

  • fare uso consapevole dell'argomentazione ipotetico deduttiva e di alcuni elementi di logica
  • conoscere e illustrare i concetti dell'aritmetica di base da un punto di vista non scolastico
  • trattare situazioni di calcolo delle probabilità elementare.

Lezioni frontali 42 ore; durante l'emergenza Covid-19 tali lezioni saranno suddivise in registrazioni di lezioni sugli aspetti fondamentali (fornite in modo asincrono) e in incontri in diretta che da attuali disposizioni per emergenza COVID saranno a rotazione in presenza (gli incontri saranno videoregistrati e messi a disposizione in piattaforma per garantire l'accesso anche agli studenti non presenti).

Esercitazioni a piccoli gruppi: 7 incontri per un totale di 14 ore di lavoro (per partecipare, è obbligatoria l'iscrizione ad uno dei gruppi all'inizio del corso sulla piattaforma elearning). Tali ore saranno svolte da remoto in modalità asincrona più eventuali momenti in videoconferenza. Verranno assegnati degli esercizi durante ogni incontro remoto di esercitazioni;  gli studenti sono invitati a risolvere tali esercizi e consegnare la loro soluzione. La consegna delle soluzioni entro i termini di tempo e nella modalità che verrà stabilita conta come presenza e partecipazione all'esercitazione.

Piattaforma interattiva di esercizi online (wims).

Sono previsti incontri di tutorato a piccoli gruppi durante l'anno, per studenti in difficoltà. (Tali incontri potranno svolgersi da remoto a causa dell'emergenza Covid-19).

Libri di testo, libri consigliati (si veda bibliografia).

Online: lista di esercizi proposti per risoluzione cartacea più esercizi interattivi sulla piattaforma wims.

PROGRAMMA

Teoria degli insiemi. Insiemi e operazioni fra insiemi.

Funzioni, funzioni iniettive, suriettive e biiettive. Insiemi infiniti.

Relazioni binarie. Relazioni d’ordine. Relazioni di equivalenza, classi di equivalenza e partizioni.

I numeri naturali. Introduzione assiomatica dei numeri naturali secondo Peano. Somma, prodotto e ordinamento dei naturali. Principio di induzione. Scrittura decimale e in altre basi dei naturali.

I numeri interi. Introduzione dei numeri interi a partire dai numeri naturali. Divisibilità nell’insieme degli interi. Esistenza e unicità di quoziente e resto. La congruenza modulo n. Classi di resto. Numeri primi; teorema fondamentale dell’aritmetica. Crivello di Eratostene. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo di due numeri interi. Algoritmo euclideo delle divisioni successive.

I numeri razionali. La costruzione dei numeri razionali, l'insieme dei razionali come estensione dell'insieme dei numeri interi. Operazioni fra razionali e proprietà di densità.

Alcuni elementi di probabilità elementare. Eventi dipendenti e eventi indipendenti, probabilita'condizionata. Calcolo elementare di probabilita'.

Cenni all'estensione dei numeri razionali ai numeri reali.

Testo di riferimento
M. Cazzola, Matematica per scienze della formazione primaria

Ulteriore materiale didattico 
  • G. Caiati - A. Castellano, In equilibrio su una linea di numeri, Mimesis, 2007
  • A. Cerasoli, Io conto, Feltrinelli, 2010
  • A. Cerasoli, Sono il numero 1, Feltrinelli, 2008
  • P. Cereda et al, L'aritmetica del Pirata Newton, Mimesis, 2010
  • P. Cereda – G.Dimitolo, La ciurma del Pirata Newton, Mimesis, 2008
  • H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi

Come per frequentanti

  • Tipologia di prova

L'esame consiste in due prove informatizzate (la prima denotata come Aritmetica zero e la seconda denotata Prova d'esame) più una eventuale prova orale. 

Durante l'emergenza Covid-19 gli esami avvengono da remoto. Per i dettagli tecnici dell'esame da remoto, gli studenti interessati sono invitati a leggere gli avvisi relativi nella pagina del corso.

  1. Prova di Aritmetica zero: è una prova sulle capacità di calcolo aritmetico che dovrebbero essere acquisite fin dalla scuola dell'obbligo. Durante il suo svolgimento non è consentito l'uso di calcolatrici. L'iscrizione avviene tramite la piattaforma http://wims.matapp.unimib.it/  e lo svolgimento è tramite la stessa piattaforma (tipologia: DOMANDE APERTE CON RISPOSTA NUMERICA). Tale prova deve essere superata con esito positivo (voto maggiore o uguale a 21/30) in data antecedente a quella dell'esame scritto (o nella stessa data dell'esame scritto se in quel giorno è attivata anche una sessione di Aritmetica zero). La prova va solo superata, il voto non fa media. Si invitano gli studenti a superarla quanto prima durante l'anno accademico (controllate sul portale wims le date di appello disponibili, alla voce "Questionari" dove si procede anche alla propria iscrizione). 
    Il mancato superamento di Aritmetica zero prima della data della prova scritta comporta la non ammissione all'esame scritto. La prova di Aritmetica zero ha validità un anno accademico. Dunque se superata nell'anno accademico 2020/21 ha validità fino al 30/9/2021. (La regola sulla durata di validità non si applica a chi ha sostenuto la prova prima dell'1/10/2015). Maggiori informazioni sulla prova di Aritmetica zero si trovano nel sito http://wims.matapp.unimib.it/

  2. Prova d'esame: l'iscrizione avviene obbligatoriamente su s3w.si.unimib.it. L'iscrizione su s3 vale anche per la prova orale/verbalizzazione.  La prova d'esame consiste sia di esercizi simili a quelli visti a esercitazioni, sia di quesiti a contenuto più teorico. La prova è informatizzata sulla piattaforma http://wims.matapp.unimib.it/ (dove gli studenti sono invitati ad esercitarsi), più una parte di domande/esercizi da svolgere su carta. Tipologia di quesiti: DOMANDE A RISPOSTA MULTIPLA e DOMANDE A RISPOSTA APERTA NUMERICA per la parte su wims; ESERCIZI e/o DOMANDE APERTE per quanto riguarda il cartaceo. La durata della prova è di 2 ore circa e durante di essa NON è consentito l'utilizzo di libri di testo o appunti e dispense. L'uso di calcolatrici non è consentito. Durante l'emergenza Covid-19, la parte cartacea potrà avvenire in modalità differenti o venire soppressa.

  3. Prova orale/verbalizzazione:  La prova orale è un colloquio sugli argomenti del corso.

    - La prova orale è obbligatoria per coloro che ottengano nella prova scritta una votazione compresa tra 16 e 20 (estremi inclusi). 

    - La prova orale deve inoltre essere sostenuta in tutti quei casi che viene richiesta o dal docente o dallo studente, si veda anche la parte relativa alle prove parziali). 

    - Per chi ottiene un voto nella prova scritta maggiore o uguale a 26, la prova orale è richiesta per ottenere un voto maggiore di 26 (fermo restando che la prova orale, se insoddisfacente, può portare ad un abbassamento della votazione finale). In pratica se uno studente ottiene 27 nella prova scritta può decidere di verbalizzare il voto senza sostenere la prova orale: in tal caso verrà registrato il voto 26. Altrimenti, lo studente può decidere di sostenere una prova orale: a seconda dell'andamento della prova orale il voto 27 può essere abbassato, confermato, o alzato. 

    - In tutti gli altri casi è previsto un breve incontro di verbalizzazione tramite WebEx o Google Meet.

    - La prova orale, va sostenuta nello stesso appello della prova scritta. In pratica, se uno studente intende sostenere la prova scritta al secondo appello di Febbraio, allora è tenuto a sostenere anche la (eventuale) prova orale nel secondo appello di Febbraio e non oltre. Nel caso in cui non sosterrà la prova orale in tale appello, la prova scritta viene considerata cancellata.

  4. Prove parziali: lo studente di qualsiasi anno di corso può scegliere di sostenere, al posto della prova scritta, due prove parziali (denotate come primo e secondo compitino) calendarizzate di norma il primo in novembre e il secondo in coincidenza col primo appello (in gennaio). Le prove parziali hanno la stessa modalità della prova d'esame. Per essere ammessi alle prove parziali è obbligatoria la frequenza dei 7 incontri di esercitazione, nell'anno accademico in corso.

  5. Superamento dei compitini: è ammesso al secondo compitino chi ottiene nel primo una votazione maggiore o uguale a 14. Il secondo compitino è superato se si ottiene una votazione maggiore o uguale a 16 e la media aritmetica tra i voti del primo e del secondo compitino è maggiore o uguale a 16. Qualora la differenza di votazione fra i due compitini superi 8 punti, è obbligatoria la prova orale. In pratica se uno studente ottiene 17 al primo compitino e 24 al secondo allora la prova scritta viene considerata superata. Se uno studente ottiene 16 al primo compitino e 25 al secondo compitino allora la prova scritta viene considerata superata, ma viene richiesta obbligatoriamente una prova orale visto che la differenza 25-16=9 è maggiore di 8. Se uno studente ottiene 16 al primo compitino e 20 al secondo compitino, allora la prova scritta viene considerata superata, ma viene richiesta obbligatoriamente una prova orale visto che la media aritmetica tra 16 e 20 è 18 e 18 è compreso tra 16 e 20.

  6. Scelta fra secondo compitino e primo appello: la data del primo appello in gennaio coincide con quella del secondo compitino. Pertanto, coloro che superino il primo compitino possono decidere, autonomamente, se sostenere in tale data il secondo compitino o la prova totale del primo appello. (Controllare nel forum avvisi in dicembre se, quando e come la decisione va comunicata).

  7. Sessioni d'esame. Le sessioni di esame sono 3: una a gennaio-febbraio con tre appelli, una a giugno-luglio con tre appelli, e una a settembre con un appello. 

  8. Esercitazioni: sono istituiti turni di esercitazioni, con cadenza settimanale, per un totale di 7 incontri ciascuno. Tutti gli studenti interessati alla frequenza sono invitati ad iscriversi nelle date previste, tramite l'attività di scelta della pagina elearning dell'insegnamento. La frequenza è obbligatoria per l'ammissione alle prove parziali.

  • Criteri di valutazione: vengono valutati la correttezza delle risposte, la completezza e la capacità di argomentare con chiarezza e precisione gli argomenti del corso.

Il ricevimento è su prenotazione tramite email al docente di riferimento:

studenti AL: Daniela Bertacchi daniela.bertacchi@unimib.it

studenti MZ: Pablo Spiga pablo.spiga@unimib.it

I programmi valgono per l'anno accademico in corso.

Maurizio Dini

Margherita Montonati

Andrea Proserpio

Paola Riva

Claudio Vailati

Fabio Zucca



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Foundations of mathematics


VERY IMPORTANT

The students of the course Istituzioni di matematiche are subdivided into groups AL (professor Daniela Bertacchi) and MZ (professor Pablo Spiga), according to the initial of the surname. The professor of your group is the one you must refer to for any question.

The professor of your group is the person you must always refer to, addressing any e-mail or communications to Daniela Bertacchi if you are in the AL group, to PabloSpiga if you are in the MZ group.

The enrollment password is
mateal for students AL
matemz for students MZ.


This course introduces the basic results in arithmetics and in some other number fields. Moreover, we introduce some elements on sets and on functions and in probability theory.

  • Elements of set theory: operations among sets.
  • Functions, injective, surjective and bijective functions. Infinite sets.
  • Binary relations. Equivalence relations and order relations: equivalence classes and partitions.
  • The set of natural numbers. Introduction to the natural numbers via the Peano axioms. Sum, product and order in the natural numbers. Induction principle. Representation of natural numbers in base 10 and in other bases.
  • The integers. Construction of the integers from the natural numbers. Divisibility: quotient and remainder. Congruences mod n, and some modular arithmetic. Prime numbers, fundamental theorem of arithmetic. Eratostene's sieve. Greatest common divisor and minimal common multiple via Euclide's algorithm.
  • Rational numbers. Construction of the rational numbers from the integers. Elementary properties of rationals: algebraic and topological properties.
  • Basic introduction to probability theory. Independent events and conditional probability. Elementary computation of probabilities.A brief introduction to the construction of the real field from the rationals.



At the end of the course the student is familiar with the classical mathematical deduction and with some arguments in logic. Moreover, the student is able to present the basic concept in arithmetic from a university level perspective. The student can also deal with elementary probability theory situations.

Lectures 42 hours; during the Covid-19 Emergency the lectures will be subdivided in recorded videos on the fundamental aspects (given in asyncronous mode) and live sessions that will be with a fraction of the students in presence (the live sessions will be recorded and made available on elearning to grant access also to the students which are not in the classroom).

Exercise classes in small groups: 7 encounters for a total of 14 hours (to attend one of these groups, it is compulsory to enrol at the beginning of the semester). Those hours will be remotely taught in asyncronous mode plus eventually live sessions through videoconference. Some exercises will be assigned during every of the seven encounters; students must solve those exercises and deliver them to the teachers. Students who deliver the solutions in the scheduled time will be counted as present during the class.

Exercises on interacting online platform (wims).

Some meetings in small groups to tutor students take place during the year. (Those meetings may be through videoconference due to the Covid-19 emergency).

Books (see bibliography).

Online: a list of exercises to be solved on paper, and interactive exercises on the platform wims.

PROGRAMME

Elements of set theory: operations among sets.

Functions, injective, surjective and bijective functions. Infinite sets.

Binary relations. Equivalence relations and order relations: equivalence classes and partitions.

The set of natural numbers. Introduction to the natural numbers via the Peano axioms. Sum, product and order in the natural numbers. Induction principle. Representation of natural numbers in base 10 and in other bases.

The integers. Construction of the integers from the natural numbers. Divisibility: quotient and remainder. Congruences mod n, and some modular arithmetic. Prime numbers, fundamental theorem of arithmetic. Eratostene's sieve. Greatest common divisor and minimal common multiple via Euclide's algorithm.

Textbook
M. Cazzola, Matematica per scienze della formazione primaria

Further material 
  • G. Caiati - A. Castellano, In equilibrio su una linea di numeri, Mimesis, 2007
  • A. Cerasoli, Io conto, Feltrinelli, 2010
  • A. Cerasoli, Sono il numero 1, Feltrinelli, 2008
  • P. Cereda et al, L'aritmetica del Pirata Newton, Mimesis, 2010
  • P. Cereda – G.Dimitolo, La ciurma del Pirata Newton, Mimesis, 2008
  • H. M. Enzensberger, Il mago dei numeri, Einaudi




As for attending students

  • Type of test 

The exam consists of two computerized tests (the first denoted as Arithmetic zero and the second denoted Exam test) plus a possible oral test. 

During the Covid-19 emergency the exams are remotely assigned. For technical details, see the notices in the course's page.

  1. Aritmetica Zero Test: it is a test on arithmetic skills that should be acquired from elementary school. During the test, the use of calculators is not allowed. Registration takes place via the platform http://wims.matapp.unimib.it/ and the test takes place on the same platform (type of test: OPEN QUESTIONS WITH NUMERICAL ANSWERS). This test must be successfully passed (grade greater than or equal to 21/30) on a date prior to that of the written exam (or on the same date as the written exam if a zero arithmetic session is also activated on that day). The test must be passed, the mark is not evaluated in the final mark of the exam. Students are invited to pass it as soon as possible during the academic year (check for the available dates on the wims portal, under "Questionari" where you can also register). Failure to pass Arithmetic zero before the date of the written test involves not admitting to the written exam. The Arithmetic zero test is valid for one academic year. So if passed in the academic year 2020/21 it is valid until 30/9/2021. (The term of validity rule does not apply to those who took the test before 1/10/2015). More information on the test of Arithmetic zero can be found on the site http://wims.matapp.unimib.it/ 
  2. Exam test: registration is compulsory on s3w.si.unimib.it. Registration on s3 is also valid for the oral test/registration of the outcome. The exam consists both of exercises similar to those seen in exercise classess and more theoretical questions. The test is computerized on the platform http://wims.matapp.unimib.it/ (where students are invited to practice), plus a part of questions / exercises to be carried out on paper. Type of questions: MULTIPLE CHOICE QUESTIONS and OPEN QUESTIONS WITH NUMERICAL ANSWERS for the part on the wims platform; EXERCISES and/or OPEN QUESTIONS for the part on paper. The duration of the test is approximately 2 hours and during it the use of textbooks or notes and handouts is NOT allowed. The use of calculators is not allowed. During the Covid-19 emergency, the part on paper may take place in different modalities or be suppressed.
  3. Oral test/verbalization: The oral exam focuses on the course topics.

    - The oral exam is compulsory for those who obtain a mark between 16 and 20 in the written test (including extremes).
    - Those who obtain a mark in the written test greater than or equal to 26: these students can choose whether to accept a mark of 26 or take an oral test in order to obtain a higher mark (it being understood that the oral test, if unsatisfactory, it can lead to a lowering of the final vote). In practice, if a student obtains 27 in the written test, he can decide to record the mark without taking the oral test: in this case the mark 26 will be recorded. Otherwise, the student can decide to take an oral test: depending on the progress of the test Oral, grade 27 can be lowered, confirmed, or raised.
    - The oral test must also be taken in all those cases that are requested either by the teacher or by the student, see also the part related to the partial tests.
    - In all other cases there will be a brief virtual meeting to record the mark, through WebEx or Google Meet.
    - The oral test, where applicable, must be taken in the same session as the written test. In practice, if a student intends to take the written test on the second session of February, then he is also required to take the (possible) oral test in the second session of February and no later. If the oral test does not take place in this appeal, the written test is considered canceled.
  4. Partial tests: the student of any year of the course can choose to take, in place of the written test, two partial tests (denoted as the first and second "compitino") normally scheduled the first in November and the second coinciding with the first exam session (in January). Partial tests have the same modality as the exam. To be admitted to the partial tests, attendance of the 7 training sessions is mandatory, in the current academic year.
  5. Passing the partial tests: those who obtain in the first partial test a grade greater than or equal to 14 are admitted to the second partial test. The second partial test is passed if a grade greater than or equal to 16 is obtained and the arithmetic mean between the marks of the first and second tests is greater than or equal to 16. If the difference in marks between the two assignments exceeds 8 points, the oral exam is mandatory. In practice, if for instance a student gets 17 at the first test and 24 at the second, then the written test is considered passed. If a student gets 16 on the first test and 25 on the second test, then the written test is considered passed, but an oral test is compulsorily required since the difference 25-16 = 9 is greater than 8. If a student gets 16 on the first partial test and 20 at the second, then the written test is considered passed, but an oral test is required as the arithmetic average between 16 and 20 is 18 and 18 is between 16 and 20.
  6. Choice between second partial test and first exam: the date of the first session in January coincides with that of the second partial test. Therefore, those who pass the first assignment can decide whether to take the second partial or the total test on that date. (Check with the notice forum in December if, when and how you must tell the decision).
    7. Exam sessions. The exam sessions are 3: one in January-February with three dates,
      one in June-July with three dates, and one in September with one date. 
    8. Exercise sessions: rounds of exercise sessions are set up, on a weekly basis, for a total of 7 meetings each. All students interested in attendance are invited to register on the scheduled dates, through the elearning page of the course. Attendance is mandatory  for admission to partial tests.

  9. Evaluation criteria: the correctness of the answers, the completeness and the ability to
    clearly and precisely argue  the course topics are assessed.

Office hours by appointment (send an email to your professor):

students AL: Daniela Bertacchi daniela.bertacchi@unimib.it

students MZ: Pablo Spiga pablo.spiga@unimib.it


One year.

Maurizio Dini

Margherita Montonati

Andrea Proserpio

Paola Riva

Claudio Vailati

Fabio Zucca


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Key information

Field of research
MAT/02
ECTS
8
Term
First semester
Activity type
Mandatory
Course Length (Hours)
56
Degree Course Type
5-year single cycle Master Degree

Staff

    Teacher

  • Daniela Bertacchi
    Daniela Bertacchi
  • PS
    Pablo Spiga

    • Assistant

  • Maurizio Ulisse Dini
    Maurizio Ulisse Dini
  • MM
    Margherita Montonati
  • AP
    Andrea Proserpio
  • CV
    Claudio Vailati
  • FZ
    Fabio Zucca

Students' opinion

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Bibliography

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Enrolment methods

Manual enrolments