Syllabus del corso
Obiettivi
- Conoscere e comprendere i concetti di base e la teoria, sviluppata in modo rigoroso, dell'Analisi Matematica moderna per funzioni di una variabile reale.
- Acquisire una padronanza dei contenuti e delle tecniche tale da permettere la soluzione di problemi e la loro applicazione a contesti diversi.
- Acquisire la capacità di elaborazione critica e autonoma dei concetti fondamentali appresi.
- Essere in grado di esporre in modo preciso, rigoroso ad esaustivo sia le conoscenze teoriche acquisite che le soluzioni, sviluppate in autonomia, di esercizi e problemi.
- Acquisire i prerequisiti necessari per la comprensione dei contenuti dei successivi corsi erogati all'interno del Corso di Laurea in Matematica.
Contenuti sintetici
Numeri reali e complessi. Funzioni reali di
variabile reale: limiti, continuità, calcolo differenziale, calcolo integrale.
Successioni e serie numeriche.
Programma esteso
- I numeri naturali. Assiomi di Peano e il principio di induzione matematica. Simboli di sommatoria, produttoria e fattoriale, coefficienti binomiali, sviluppo della potenza n–esima del binomio (formula del binomio di Newton).
- I numeri reali. Campi, campi ordinati e i numeri razionali. Completezza e assioma di continuità. Incompletezza dei numeri razionali. Definizione assiomatica dei numeri reali. Cenni alle sezioni di Dedekind. I numeri naturali come sottoinsieme dei numeri reali. Proprietà archimedea. Estremo superiore/inferiore e loro proprietà. Esistenza dell’estremo superiore/inferiore. Esistenza e unicità delle radici n–esime. Rappresentazione binaria e rappresentazione decimale. Parte intera e modulo di un numero reale. Definizione
di potenza con esponente naturale, intero, razionale e reale.
- I numeri complessi. Definizione, forma algebrica, modulo, complesso coniugato, parte reale e parte immaginaria, disuguaglianza triangolare. Forma trigonometrica ed esponenziale di un numero
complesso, prodotto e potenza in forma trigonometrica/esponenziale. Funzione esponenziale ed esponenziale complesso. Radici di un numero complesso. Teorema fondamentale dell’algebra (solo enunciato).
- Topologia della retta reale. Definizione di distanza
sulla retta reale, intorni, punti interni, esterni e di frontiera. Insiemi aperti e chiusi. Punti di accumulazione e isolati. Densità dei numeri razionali nei numeri reali. Teorema di Bolzano–Weierstrass.
- Funzioni. Definizione, dominio, codominio, immagine
e controimmagine. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Funzione composta, funzione inversa, restrizione. Insiemi numerabili. Numerabilità dei numeri razionali e non numerabilità dei numeri reali. Funzioni reali di variabile reale e loro grafico.
Funzioni monotone, estremo superiore e inferiore, massimo e minimo, punti di massimo e di minimo. Funzioni elementari e loro grafici (richiami sulle potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e le loro inverse, valore assoluto, parte
intera, parte frazionaria, segno).
- Limiti. Definizione di limite, esempi e proprietà: unicità del limite, teorema della permanenza del segno, teorema del confronto (dei due carabinieri). Limite della somma, del prodotto, del rapporto e della funzione
composta. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Limiti destri e sinistri. Teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Asintotico, simboli di o piccolo e O grande. Infiniti, infinitesimi e loro confronto.
- Successioni in campo reale. Successioni
e limiti di successioni. Limitatezza delle successioni convergenti. Sottosuccessioni. Ogni successione limitata ha una una sottosuccessione convergente. Insiemi compatti. Compattezza degli insiemi chiusi e limitati (Heine-Borel). Successioni monotone
e definizione del numero e (costante di Nepero). Criterio di Cauchy, limite inferiore, limite superiore e loro proprietà.
- Continuità. Definizione di funzione continua. Continuità della funzione composta. Teorema della permanenza del segno. Teorema
degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Continuità della funzione inversa. Continuità delle funzioni elementari: potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche e funzioni trigonometriche inverse. Teorema ponte. Teorema di Weierstrass.
Continuità uniforme. Continuità uniforme di funzioni continue su compatti (Heine–Cantor). Punti di discontinuità. Funzioni Lipschitziane.
- Serie. Definizione. Serie convergenti, divergenti e indeterminate. Serie geometrica e
serie telescopiche. Condizione necessaria per la convergenza. Serie assolutamente convergenti e criterio della convergenza assoluta. Serie a termini positivi: criterio del confronto e del confronto asintotico, criterio della radice e criterio del rapporto.
Serie a termini di segno alterno: criterio di Leibniz.
- Calcolo differenziale. Retta tangente al grafico di una funzione. Derivabilità. Derivata destra e sinistra. Punti angolosi, punti a tangente verticale e cuspidi. Continuità delle funzioni derivabili.
Regole di derivazione: somma, prodotto, quoziente e derivata della funzione composta. Derivata della funzione inversa. Derivata delle funzioni elementari. Punti di massimo e di minimo, relativi e assoluti. Teoremi di Fermat e di Rolle. Teorema di Lagrange
e suoi corollari: le funzioni a derivata nulla su intervalli sono costanti, lipschitzianità delle funzioni a derivata limitata, relazioni tra monotonia di una funzione e segno della sua derivata. Teorema di Cauchy. Teorema di De l’Hôpital. Teorema del
limite della derivata. Convessità/concavità di una funzione. Relazione tra il segno della derivata seconda e concavità/convessità di una funzione. Posizione del grafico rispetto alle sue rette tangenti. Punti di flesso. Formule di Taylor e di Maclaurin
con resto in forma di Peano ed esempi. Formula di Taylor con resto in forma di Lagrange.
- Calcolo integrale. Funzioni a scala (o costanti a tratti o semplici) e integrale di funzioni a scala. Proprietà dell’integrale delle funzioni a scala. Integrale inferiore
e integrale superiore su un intervallo limitato. Definizione di integrabilità secondo Riemann. Condizione necessaria e sufficiente per l’integrabilità. Linearità e monotonia (confronto) dell’integrale di Riemann. Integrabilità della parte positiva/negativa
e del modulo di una funzione integrabile. Integrabilità della restrizione di una funzione integrabile, integrale su intervalli orientati e additività rispetto al dominio. Integrabilità delle funzioni con un numero finito di punti di discontinuità e delle funzioni monotone. Teorema della media integrale. La funzione integrale. Teorema fondamentale del calcolo. Primitive, integrale indefinito. Integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione di funzioni razionali fratte. Integrali impropri.
Prerequisiti
Algebra,
geometria e trigonometria elementari.
Modalità didattica
Lezioni (8 cfu), Esercitazioni (4 cfu).
Corso erogato in lingua italiana.
Le lezioni in presenza saranno subordinate alle disposizioni delle autorità sanitarie e alla possibilità di svolgerle in condizioni ottimali di tutela di tutti i partecipanti.
Materiale didattico
Testo di riferimento: E. Giusti. Analisi Matematica I. Bollati Boringhieri.
Altri testi consigliati:
- G. De Marco: Analisi Uno, Zanichelli Decibel.
- C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 1, Zanichelli.
Eserciziari consigliati:
- E. Giusti: Esercizi e complementi di analisi matematica, volume 1, Bollati Boringhieri.
- G. De Marco, C. Mariconda: Esercizi di calcolo in una variabile, Zanichelli Decibel.
- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di analisi matematica 1, Zanichelli.
- E. Acerbi, L. Modica, S. Spagnolo: Problemi scelti di analisi matematica. Vol. 1, Liguori.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo anno, primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova scritta e prova teorica/orale. Valutazione con voto in trentesimi 18-30/30.
Nella prova scritta si valuta la conoscenza dei contenuti del corso e la capacità di applicarli alla risoluzione di problemi. Nella prova teorica/orale si richiede la capacità di esporre gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi, le definizioni, gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo introdotte. In entrambe le prove verrà valutata la correttezza delle risposte, l'appropriatezza del linguaggio matematico utilizzato e il rigore e chiarezza dell'esposizione. Nel corso dell’anno sono previsti 5 appelli d’esame nei seguenti periodi: due nel mese di febbraio, uno a giugno, uno a luglio e uno a settembre. Ogni appello d’esame prevede prima una prova scritta e poi, in caso di superamento della prova scritta, una prova teorica/orale a pochi giorni di distanza. Durante il periodo delle lezioni si terranno due prove scritte parziali che, in caso di esito complessivo positivo, permetteranno di sostenere direttamente la prova orale nel mese di febbraio.
Per superare l'esame si deve ottenere un punteggio di almeno 15 sia nella prova pratica che in quella teorica, inoltre la media aritmetica dei due punteggi deve essere di almeno 18. Tale media aritmetica costituisce il voto finale dell'esame.
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria gli appelli d'esame di Analisi Matematica I si svolgeranno da remoto, articolandosi nelle due fasi seguenti.
1) Un esame scritto con solo domande chiuse, che sarà gestito con la Piattaforma Esami Informatizzati Moodle e si avvarrà di un sistema di controllo denominato “e-Proctoring”. Per dettagli potete consultare il punto 2 delle linee guida disponibili al link
https://www.unimib.it/sites/default/files/linee_guida_per_gli_esami_scritti_-_versione_docenti.pdf
2) Una prova orale in videoconferenza sulla piattaforma Webex, che potrà essere sostenuta solo in caso di superamento della prova scritta e di esito positivo della verifica da parte del sistema di proctoring che non ci siano state irregolarità o comportamenti dubbi o scorretti durante la prova.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
- To understand the basic concepts and the rigorously developed theory of modern mathematical analysis for functions of a single real variable.
- To master the contents and the techniques in order to solve mathematical problems and to apply them to different contexts.
- To acquire the ability of independently make judgments in the application of the learned methodologies to the solution of mathematical problems.
- To be able to express in a precise, rigorous and exhaustive way both the acquired theoretical knowledge and the solutions, independently worked out, of exercises and problems.
- To be able to learn the contents of the following courses delivered within the Mathematics Degree Course.
Contents
Real and complex numbers. One-variable calculus:
limits, continuity, differential calculus, integration. Sequences
and series.
Detailed program
- Natural numbers. Peano Axioms, Induction Principle, recursive definitions.
- Real numbers. Field axioms, order axioms, rational numbers, the completeness axiom, Dedekind cuts. The Archimedean property of the real-number system. Supremum and infimum of a set, properties of the supremum and the infimum. Existence of roots of nonnegative real numbers. Rational and real powers. Binary and decimal representation of real numbers.
- Complex numbers. Definition, algebraic form, modulus, conjugate of a complex number, real part and imaginary part, triangle inequality. Trigonometric and exponential form of a complex number, products and power of complex numbers in trigonometric/exponential form. Complex exponentials. Roots of complex numbers. Fundamental theorem of algebra.
- Topology of the Real
Numbers. Distance, neighborhoods, interior points, boundary points. Open sets, closed sets. Accumulations points, isolated points. Density of rational numbers in the real numbers. Bolzano–Weierstrass Theorem.
- Functions. Definition, domain, codomain, and range. Injective and surjective functions, bijections. Composition of functions, inverse functions, restriction. Countable sets. Countability of rational numbers and uncountability of irrational numbers. Real-valued functions of one real variable, the graph of a function. Monotonic functions, supremum and infimum, maximum and minimum. Elementary functions and their graphs (powers, exponentials, logarithms, trigonometric functions and their inverses, absolute value function, integer part, fractional part, sign function).
- Limits. Definitions, examples, properties: uniqueness of the limit, Sign Permanence Theorem, Squeeze Theorem. Limit of sum, product, quotient and composition of functions. Special limits. One-side limits. Limits of monotonic functions. Landau symbols. Comparison of infinitesimals.
- Numerical sequences. Limits of sequences. Boundedness of converging sequences. Subsequences. Existence of a convergent subsequence for a bounded sequence. Heine-Borel theorem. Monotonic sequences. The number e. Cauchy sequences. Upper and lower limits.
- Continuity. The definition of continuity of a function. Composite functions and continuity. Sign Permanence Theorem. Bolzano's theorem. The intermediate-value theorem. Continuity of the inverse function. Continuity of elementary functions: powers, exponentials, logarithms, trigonometric functions and their inverses. Sequential criterion for the continuity of a function. Weierstrass theorem. Uniform continuity. Heine-Cantor theorem. Discontinuities. Lipschitz continuity.
- Series. Definition. Convergent series, divergent series. Telescoping series, geometric series. Necessary condition for convergence of series. Absolute convergence. Series of nonnegative terms: comparison test, root test and ratio test. Alternating series: Leibniz's test.
- Differential calculus. The derivative of a function. Geometric interpretation of the derivative as a slope. Left-hand and right-hand derivatives. Continuity of differentiable functions. The algebra of derivatives. The chain rule for differentiating composite functions. Derivatives of inverse functions. Derivatives of elementary functions. Extreme values of functions. Fermat's theorem. Rolle's theorem. The mean-value theorem for derivatives and applications. Relation between monotonicity and sign of the derivative. Cauchy's generalized mean value theorem. De l’Hôpital's rule. Convex and concave functions. The sign of the second derivative and the convexity/concavity of a function. Inflection points. Taylor's formula with Peano form of the remainder. Taylor's formula with mean-value form of the remainder.
- Integral calculus. Step functions, definition of the integral for step functions. Properties of the integral of a step function. Upper and lower integrals on bounded intervals. Riemann integral. Properties of the Riemann integral (linearity, monotonicity). Integrability of the positive/negative part and of the modulus of an integrable function. Integrability of the restriction of an integrable function, integral over oriented intervals, additivity with respect to the interval of integration. Integrability of monotonic functions and continuous functions. Mean-value theorems for integrals. Fundamental theorem of calculus. Antiderivatives. Integration by parts, change of variable. Integration of rational functions. Improper integrals.
Prerequisites
Elementary
algebra, elementary trigonometry, elementary analytic geometry.
Teaching form
Lessons (8 CFU), exercise classes (4 CFU).
The course is delivered in Italian.
The attendance of the lessons in classroom will be subject to the instructions of the health authorities and the possibility of carrying them out under suitable safety conditions for all participants.
Textbook and teaching resource
Textbook: E.
Giusti, Analisi Matematica I, Bollati Boringhieri.
Suggested readings:
- G. De Marco: Analisi Uno, Zanichelli Decibel.
- C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 1, Zanichelli.
Exercise books:
- E. Giusti: Esercizi e complementi di analisi matematica, volume 1, Bollati Boringhieri.
- G. De Marco, C. Mariconda: Esercizi di calcolo in una variabile, Zanichelli Decibel.
- S. Salsa, A. Squellati: Esercizi di analisi matematica 1, Zanichelli.
- E. Acerbi, L. Modica, S. Spagnolo: Problemi scelti di analisi matematica. Vol. 1, Liguori.
Semester
First year, First semester.
Assessment method
Written and oral examination (18-30/30).
The written examination evaluates the knowledge of the course contents and the ability to apply them to problem solving. The oral examination requires the exposition of statements and proofs of the theorems, the definitions, the examples / counterexamples and the calculation techniques.
In both examinations, the correctness of the answers, the mathematical language as well as the rigor and clarity of the exposition will be evaluated.
During the year there are 5 exam sessions in the following periods: two in February, one in June, one in July and one in September. Each exam session includes a written examination and then, in case of minimal pass grade, an oral examination within a few days. During the teaching period there are two mid-term written tests which, in case of a positive overall result, will allow to be admitted to the oral examination in February.
Until the end of the current medical emergency, the exam will take place remotely, divided into the following two phases.
1) A multiple choice quiz, which will be managed with the Moodle Exam Platform and will make use of a control system called "e-Proctoring". For details, see point 2 of the guidelines available at the link
https://www.unimib.it/sites/default/files/linee_guida_per_gli_esami_scritti_-_versione_docenti.pdf
2) An oral test by videoconference on the Webex platform, which can be taken only in the event of passing the written test and of a positive outcome of the verification by the proctoring system that there were no irregularities or doubtful or incorrect behavior during the test.
Office hours
By appointment.