Syllabus del corso
Obiettivi
L’insegnamento si prefigge come obiettivi l’acquisizione e la padronanza dei contenuti del corso (calcolo differenziale in più variabili, calcolo integrale in più variabili, curve, superfici, forme differenziali, successioni e serie di funzioni, equazioni differenziali ordinarie, spazi metrici e funzionali), la capacità di elaborare i concetti fondamentali del corso in maniera critica, la capacità di risolvere problemi e di applicare i metodi appresi a contesti diversi.
Contenuti sintetici
Calcolo differenziale in più variabili; calcolo integrale in più variabili; curve, superfici, forme differenziali; successioni e serie di funzioni; equazioni differenziali ordinarie, spazi metrici e funzionali.
Programma esteso
- Spazi metrici euclidei: distanza, norma, intorni, insiemi aperti e chiusi, topologia associata a una metrica, densità, continuità, completezza, compattezza.
- Calcolo differenziale in più variabili: derivate direzionali, funzioni differenziabili, differenziabilità di funzioni composte, derivate successive, formula di Taylor, massimi e minimi di funzioni di più variabili.
- Calcolo integrale in più variabili: definizione di integrale, integrabilità di funzioni continue, riduzione di integrali multipli ad integrali semplici successivi, cambio di variabili, coordinate polari nel piano e nello spazio, calcolo di aree e volumi.
- Curve, superfici, forme differenziali: curve e superfici regolari, lunghezza di una curva e area di una superficie, funzioni implicite, massimi e minimi vincolati e moltiplicatori di Lagrange, forme differenziali, forme esatte e chiuse, formule di Gauss-Green e Stokes.
- Successioni e serie di funzioni: spazi metrici e normati, successioni di Cauchy, convergenza puntuale ed uniforme di successioni e serie di funzioni, completezza dello spazio delle funzioni continue con la norma uniforme, passaggio al limite nell'integrazione e derivazione di successioni di funzioni, serie di potenze, serie di Fourier.
- Equazioni differenziali: il problema di Cauchy, riduzione di un’equazione di ordine n ad un sistema di n equazioni del primo ordine, teorema delle contrazioni e teorema di esistenza ed unicità di soluzioni di equazioni differenziali, equazioni differenziali lineari, equazioni del primo ordine, a variabili separabili, lineari, esatte. Sistemi lineari. Sistemi lineari a coefficienti costanti, esponenziale di una trasformazione lineare, equazioni differenziali lineari di ordine superiore a coefficienti costanti. Prolungabilità delle soluzioni e loro studio qualitativo.
Prerequisiti
I corsi di matematica del primo anno.
Modalità didattica
- Lezioni frontale (8 cfu)
- Esercitazioni (4 cfu)
Le lezioni e le esercitazioni saranno tenute a distanza, fino a che le condizioni sanitarie non consentiranno la presenza in ateneo.
Dettagli, discussioni sulle modalità didattiche, di frequenza e di partecipazione attiva alle lezioni, saranno disponibili sui forum dedicati, nella pagina del corso.
Materiale didattico
- E. Giusti: Analisi matematica 2, terza edizione, Bollati Boringhieri.
- P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, secondo volume, parte prima e seconda.
- N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori Editore.
- E. Giusti: Esercizi e complementi di analisi matematica 2, Bollati Boringhieri.
- G. De Marco: Analisi Due, Zanichelli Decibel.
- G. De Marco, C. Mariconda: Esercizi di Analisi Due, Zanichelli Decibel.
- C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2, Zanichelli.
- V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G, Verzini: Analisi 1 e 2. Apogeo.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo anno, primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in due prove scritte (obbligatorie) e in una prova orale (facoltativa).
La prima prova scritta è costituita da domande a risposta multipla. La seconda richiede la risoluzione di alcuni esercizi e contiene anche domande di natura teorica.
Ulteriori informazioni, dettagli e calendario delle prove si trovano all'interno dello spazio e-learning del corso.
Per motivi di pandemia, gli esami si svolgeranno a distanza, fino a data da destinarsi.
Orario di ricevimento
Ricevimento su appuntamento.
Aims
The course has the following targets:
- Knowledge of the topics (differential and integral calculus in several variables, curves and surfaces, differential forms, sequences and series of functions, ordinary differential equations, metric and functional spaces );
- Development of criticism;
- Problem solving.
Contents
Differential calculus in several variables, integral calculus in several variables,sequences and series of functions, curves and surfaces, differential forms, ordinary differential equations, metric and functional spaces.
Detailed program
- Metric spaces: metrics, neighborhoods, open and closed sets, topology associated to a metric space, density, continuity, completeness and compactness.
- Normed spaces: definition of norm, Banach spaces.
- Differential calculus in several variables: partial derivatives, differentiable functions, chain rule, higher order derivatives, Taylor's formula, maxima and minima of functions of several variables.
- Integral calculus in several variables: Lebesgue integral, integrability of continuous functions,evaluation of multiple integrals by repeated lower dimensional integration, change of variables,polar coordinates in 2 and 3 dimensions, application to area and volume.
- Curves, surfaces, differential forms: curves and surfaces, length of curves, area of surfaces, ImplicitFunction Theorem, constrained minimization, Lagrange multipliers, differential forms, closed andexact differential forms, Gauss-Green’s Theorem, Stokes’ Theorem.
- Sequences and series of functions: metric and normed spaces, Cauchy sequences, point-wise anduniform convergence of sequences and series of functions, completeness of the space of continuousfunctions with the uniform norm, power series, Fourier series.
- Ordinary differential equations: the Cauchy problem, reduction of an equation of order n to asystem of n equations of the first order, the Banach Contraction Theorem and the existence/uniqueness of solutions to differential equations, linear differential equations, first order equations, separation of variables, linear and exact equations. Linear systems. Linear systems with constant coefficients, the exponential of a linear transformation, linear differential equations of higher order with constant coefficients. Maximal solutions. Qualitative study of solutions.
Prerequisites
The contents of the Mathematics courses of the first year will be required.
Teaching form
- Lessons (64 hours)
- Tutorials (48 hours)
Further details about the on-line activities and teaching forms will be discussed in the dedicated forums of the course''s site
Textbook and teaching resource
- E. Giusti: Analisi matematica 2, terza edizione, Bollati Boringhieri.
- P. Marcellini, C. Sbordone: Esercitazioni di Matematica, secondo volume, parte prima e seconda.
- N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone: Analisi Matematica due, Liguori Editore.
- E. Giusti: Esercizi e complementi di analisi matematica 2, Bollati Boringhieri.
- G. De Marco: Analisi Due, Zanichelli Decibel.
- G. De Marco, C. Mariconda: Esercizi di Analisi Due, Zanichelli Decibel.
- C. D. Pagani, S. Salsa: Analisi matematica 2, Zanichelli.
- V. Barutello, M. Conti, D.L. Ferrario, S. Terracini, G, Verzini: Analisi 1 e 2. Apogeo.
Semester
Second year, first semester.
Assessment method
The exam consists in a written part (mandatory) and in an oral one (optional).
The written exam is divided into two parts. The first part is composed by multiple choice questions. The second part of the written exam consists in the resolution of some exercises and contains also questions related to the theory.
Until further notice, exams will be held on-line
Office hours
By appointment.
Staff
-
Davide Luigi Ferrario
-
Mauro Garavello
-
Giona Veronelli
-
Stefano Vita