Syllabus del corso

Esporta

Obiettivo di questo corso e' la presentazione della teoria di Galois classica. L'argomento centrale nella teoria classica di Galois e' la teoria dei campi e, in particolare, lo studio delle estensioni finite di un campo. In seguito, queste estensioni finite, saranno limitate ad estensioni che al giorno d'oggi si chiamano  estensioni di Galois (ossia, estensioni normali e separabili).

Lo scopo del corso sarà di introdurre i concetti necessari per formulare il Teorema Fondamentale della Teoria di Galois e di analizzarne le sue conseguenze.

Al tempo in cui e' vissuto  Galois tanti matematici lavoravano ancora su problemi formulati dai matematici greci nell'antichità. Un problema di questo tipo era la trisezione di un angolo con riga e compasso. Ad esempio, con gli strumenti forniti dal corso, con la teoria di Galois si dimostra facilmente che questo non è possibile (in generale).

Al termine del corso lo studente avrà acquisito le seguenti:

  • conoscenze: linguaggio, definizioni ed enunciati dei risultati fondamentali della teoria di Galois;
  • competenze: comprensione operativa delle principali tecniche dimostrative;
  • abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi e l'analisi delle estensioni di campo.

Costruzioni con riga e compasso, Estensioni di campi, la chiusura algebrica, teorema principale della teoria di Galois, applicazioni.

  1. Estensioni finite di campi,
  2. la chiusura algebrica,
  3. campi di spezzamento
  4. estensioni normali e separabili,
  5.  teorema fondamentali della teoria di Galois,
  6. gruppi risolubili e gruppo di Galois,
  7. estensioni risolubili per radicali,
  8. estensioni ciclotomiche,
  9. soluzioni di polinomi per radicali,
  10. campi finiti,
  11. costruzioni con riga e compasso,
  12. applicazioni.

Algebra I e II

Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, le lezioni del presente insegnamento si
svolgeranno da remoto, mediante lezioni videoregistrate sincrone e/o asincrone, che saranno rese
disponibili agli studenti sulla piattaforma elearning.

Lezioni frontali sia per lo sviluppo della parte teorica che per la risoluzione di alcuni esempi, esercizi, 6 CFU (ECTS)

Assegnazione di esercizi settimanali che, se consegnati (in qualsiasi momento dopo l'assegnazione), verranno corretti per valutare la comprensione del materiale didattico visto durante la settimana.

Basic algebra I,N.Jacobson

Primo semestre

Esame orale su i contenuti del corso. Voto in trentesimi. Nella prova viene prima valutata la capacità operativa di esibire esempi/controesempi rilevanti al materiale studiato e/o risolvere esercizi. Successivamente, viene valutata la capacità di presentare una selezione di dimostrazioni e, soprattutto, la conoscenza critica e operativa delle definizioni e dei risultati presentati durante il corso, anche mediante l’illustrazione di esempi e controesempi.
Ci saranno 5 appelli d'esame (a giugno, luglio, settembre, gennaio, febbraio).

La valutazione finale risulta dalla media delle valutazioni della parte operativa consistente nella risoluzione di esercizi e della prova orale di carattere teorico. L'esame risulta superato col punteggio (dato dalla media delle due parti) minimo di 18/30.

Nella parte di esame di risoluzione di esercizi verra' valutata l'esattezza della risposta. Nella seconda parte di esame verra' valutata la chiarezza espositiva e il rigore matematico.

La selezione di dimostrazioni oggetto della seconda parte dell'esame viene proposta dal docente: sara' stabilita durante lo svolgimento del corso e riportata nella pagina di elearning.

Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, la prova orale dell’esame si svolgerà da remoto mediante la piattaforma WebEx, con accesso reso disponibile sulla pagina elearning dell’insegnamento;

su appuntamento

Durante l'emergenza Covid questa potrebbe dovere avvenire da remoto in videoconferenza

Esporta

One of the central subjects in field theory is the study of finite extensions, in particular finite Galois extensions. The main objective of the course will be to introduce the concepts necessary to formulate the Fundamental Theorem in Galois Theory and to analyse its consequences.

During the times of  Galois many mathematicians were still working on problems raised by greek mathematicians. One problem of this type is the trisection of an arbitrary angle by ruler and compass. Using Galois theory one may show easily that this is indeed impossible.


Ruler and compass constructions, Field extensions, the algebraic closure of a field, the fundamental theorem in Galois theory, applications.

  1. finite field extensions,
  2. algebraic closure,
  3. splitting field
  4. normal and separable extensions,
  5.  fundamental theorem of Galois theory,
  6. galois group and soluble groups,
  7. soluble extensions,
  8. cyclotomic extensions,
  9. solution of polynomial equations by radicals,
  10. finite fields,
  11. constructions with straight edge and ruler,
  12. applications.

Algebra I & Algebra II

Lectures, 6 CFU (ECTS)

Basic algebra I,N.Jacobson

First semester


Oral examination on the content of the course.

Until the end of the covid emergency, the oral exam will be done using the webex platform, the link for accessing to the exam sessions will be in the elearning page of this course.


On appointment

During the covid emergency the office hours will be done using the webex platform on appoitment


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Scheda del corso

Settore disciplinare
MAT/02
CFU
6
Periodo
Primo Semestre
Tipo di attività
Obbligatorio a scelta
Ore
48
Tipologia CdS
Laurea Triennale

Staff

    Docente

  • PS
    Pablo Spiga

Opinione studenti

Vedi valutazione del precedente anno accademico

Bibliografia

Trova i libri per questo corso nella Biblioteca di Ateneo

Metodi di iscrizione

Iscrizione manuale
Iscrizione spontanea (Studente)