Syllabus del corso
Obiettivi
L'insegnamento si propone di presentare le idee fondamentali della Meccanica Classica, dalla formulazione di Galileo e Newton a quella di Lagrange, Hamilton e Jacobi e di fornire gli strumenti matematici necessari alla loro comprensione.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- La conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali delle diverse formulazioni della Meccanica Classica.
- La conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave (oscillatore armonico, problema di Keplero, trottola di Lagrange);
- La capacità di applicare le conoscenze astratte acquisite alla risoluzione di esercizi. In particolare la capacità di dedurre le equazioni di Lagrange/Hamilton di un sistema vincolato, la capacità di ridurre i gradi di libertà in presenza di simmetrie e la capacità in alcuni casi semplici di discutere qualitativamente il comportamento delle soluzioni delle equazioni del moto e/o di ridurre la loro soluzione a quadrature.
Programma esteso
1. Richiami di teoria delle equazioni di differenziali. Campi vettoriali e sistemi di equazioni di differenziali del prim'ordine. Rettificazione di un campo vettoriale. Punti di equilibrio di un sistema autonomo e loro stabilità. Linearizzazione di sistemi nonlineari vicino a un punto di equilibrio. Sistemi a un grado di liberta: curve di livello dell'energia.
2. Meccanica lagrangiana. Equazioni di Eulero-Lagrange. Punto materiale vincolato ad una curva regolare. Punto materiale vincolato ad una superficie regolare. Il principio di D'Alembert per vincolo olonomi. Punti di equilibrio e piccole oscillazioni. Formulazione variazionale delle equazioni di Eulero-Lagrange. Gruppi ad un parametro di diffeomorfismi e simmetrie. Il teorema di Noether. Il problema a due corpi. Le leggi di Keplero.
3. Matrice di transizione e velocità angolare. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Meccanica del corpo rigido. L'operatore di inerzia. Il teorema di Konig. Le equazioni di Eulero per il corpo rigido. Gli angoli di Eulero e la trottola di Lagrange.
4. Meccanica hamiltoniana. La trasformata di Legendre. Le equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson di funzioni e di Lie. Simmetrie e leggi di conservazione in meccanica hamiltoniana. Il teorema di Liouville. Formulazione variazionale delle equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche e metodo di integrazione di Jacobi. Separazione delle variabili nell'equazione di Hamilton-Jacobi. Il caso delle coordinate sferiche, paraboliche ed ellittiche.
Contenuti sintetici
Richiami di meccanica newtoniana. Equazioni differenziali e loro studio qualitativo. Il principio di D'Alembert e la meccanica di Lagrange. Il problema a due corpi. Il corpo rigido. La meccanica Hamiltoniana. Trasformazioni canoniche e metodo di Hamilton-Jacobi
Programma esteso
Programma esteso
1. Richiami di teoria delle equazioni di differenziali. Campi vettoriali e sistemi di equazioni di differenziali del prim'ordine. Rettificazione di un campo vettoriale. Punti di equilibrio di un sistema autonomo e loro stabilità. Linearizzazione di sistemi nonlineari vicino a un punto di equilibrio. Sistemi a un grado di liberta: curve di livello dell'energia.
2. Meccanica lagrangiana. Equazioni di Eulero-Lagrange. Punto materiale vincolato ad una curva regolare. Punto materiale vincolato ad una superficie regolare. Il principio di D'Alembert per vincolo olonomi. Punti di equilibrio e piccole oscillazioni. Formulazione variazionale delle equazioni di Eulero-Lagrange. Gruppi ad un parametro di diffeomorfismi e simmetrie. Il teorema di Noether. Il problema a due corpi. Le leggi di Keplero.
3. Matrice di transizione e velocità angolare. Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali. Meccanica del corpo rigido. L'operatore di inerzia. Il teorema di Konig. Le equazioni di Eulero per il corpo rigido. Gli angoli di Eulero e la trottola di Lagrange.
4. Meccanica hamiltoniana. La trasformata di Legendre. Le equazioni di Hamilton. Parentesi di Poisson di funzioni e di Lie. Simmetrie e leggi di conservazione in meccanica hamiltoniana. Il teorema di Liouville. Formulazione variazionale delle equazioni di Hamilton. Trasformazioni canoniche e metodo di integrazione di Jacobi. Separazione delle variabili nell'equazione di Hamilton-Jacobi. Il caso delle coordinate sferiche, paraboliche ed ellittiche.
Prerequisiti
Analisi I, Algebra Lineare e Geometria, Fisica I.
Modalità didattica
- Lezione frontale, 8 CFU
- Esercitazioni, 4 CFU
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, le lezioni del presente insegnamento si svolgeranno da remoto, mediante lezioni videoregistrate sincrone e/o asincrone, che saranno rese disponibili agli studenti sulla piattaforma e-learning.
Materiale didattico
Testi consigliati:
1. V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.
2. S. Benenti, Modelli matematici della Meccanica, Quaderni di matematica per le scienze applicate. Celid
3. A. Fasano e S. Marmi Meccanica Analitica Bollati-Boringhieri 2002.
4. L.D. Landau. E. M. Lifshits, Meccanica, Editori Riuniti.
5 N.M.J. Woodhouse, Introduction to analytical dynamics, Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1987.
Per quanto riguarda esempi ed esercitazioni, si consigliano i due seguenti testi.
Alessandra Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, Aracne Editrice, (2003)
Giancarlo Benettin, Eserciziario per il corso di Fisica Matematica, Padova (2017)
(liberamente scaricabile dalla pagina web dell'autore:
https://www.math.unipd.it/~
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è costituito da una prova scritta ed una prova orale.
La prova scritta consiste nello svolgimento di tre esercizi (un sistema dinamico nel piano, un esercizio di Meccanica Lagrangiana ed un esercizio di Meccanica Hamiltoniana). La durata della prova è tipicamente di due ore e mezza. Risposte corrette senza adeguate spiegazioni per motivare i risultati ottenuti non verranno valutate a pieni voti. L'ammissione all'orale richiede un voto nella prova scritta non inferiore a 15/30.
La prova orale richiede la conoscenza e la dimostrazione dei teoremi svolti a lezione e la capacità di illustrarne il contenuto mediante esempi significativi. Oltre alla conoscenza dei contenuti teorici del corso verrà valutata la capacità di presentarli in modo ben strutturato, coerente e con linguaggio appropriato.
La prova scritta e la prova orale contribuiscono in egual misura alla determinazione del voto finale. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame in cui è stata sostenuta la prova scritta o in quella successiva.
Durante lo svolgimento del corso, verranno offerte due prove scritte in itinere, attinenti alla prima metà e alla seconda metà del corso rispettivamente. Gli studenti che superano entrambe le prove con un voto non inferiore a 15/30 sono ammessi alla prova orale. In questo caso la prova orale va sostenuta entro l'appello di settembre.
Orario di ricevimento
Su appuntamento, per mezzo della piattaforma webex.
Aims
Aims
This course aims to present the basic ideas of Classical mechanics, from the Galielo-Newton formulation to those of Lagrange, Hamilton and Jacobi and to provide the necessary mathematical tools.
The expected learning outcomes include:
- the knowledge and understanding of the basic definitions and statements of different formulations of Classical Mechanics.
- the knowledge and understanding of some key examples (harmonic oscillator, Kepler's problem, Lagrange top).
- the ability to apply the acquired theoretical knowledge to the solution of exercises. In particular the derivation of the Lagrange/Hamilton equations for constrained mechanical systems, the reduction of the degrees of freedom in the presence of symmetries and, in some simple examples, the discussion of the qualitative behaviour of solutions of the equations of motion and/or their reduction to quadrature.
Detailed program
1. A reminder of the theory of ordinary differential equations. Vector fields and systems of first order ODEs. Rectification of a vector field. Equilibria and their stability. Linearization near equilibrium points. Systems with one degrees of freedom: level curves of the energy
2. Lagrangian Mechanics. Euler-Lagrange equations. Particle constrained on a regular curve. Particle constrained on a regular surface. The D'Alembert principle for general holonomic constraints. Equilibrium points and small oscillations. Variational formulation of Euler-Lagrange equations. One-parameter group of diffeomorphisms, symmetries and Noether's theorem. The two-body problem and the Kepler laws.
3. Transition matrix and angular velocity. Inertial and non inertial frames. Mechanics of rigid bodies. The inertia operator. Konig's tehorem. Euler's equations for rigid bodies. The Euler angles and the Lagrange top.
4. Hamiltonian Mechanics. The Legendre transformation. Hamilton's equations. Poisson bracket and Lie bracket. Symmetries and conservation laws in Hamiltonian Mechanics. Liouville's theorem. Variational formulation of Hamilton's equations. Canonical transformations and Jacobi's integration method. Separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation. The case of spherical, parabolic and elliptic coordinates.
Prerequisites
Calculus I, Linear Algebra and Geometry, Physics I.
Teaching form
Lectures: 8 CFU Exercise classes: 4 CFU |
Textbook and teaching resource
The course is based on lecture notes provided by the instructor.
The following books are also recommended:
1. V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.
2. S. Benenti, Modelli matematici della Meccanica, Quaderni di matematica per le scienze applicate. Celid
3. A. Fasano e S. Marmi Meccanica Analitica Bollati-Boringhieri 2002.
4. L.D. Landau. E. M. Lifshits, Meccanica, Editori Riuniti.
5 N.M.J. Woodhouse, Introduction to analytical dynamics, Oxford Science Publications. The Clarendon
Press, Oxford University Press, New York, 1987.
Semester
Second semester.
Assessment method
The exam consists of two parts: a written test and an oral test.
The written test requires the solution of 3 problems (a dynamical system in the plane, a problem of Lagrangian Mechanics and a problem of Hamiltonian Mechanis). The duration is typically two and half hours. Correct answers without clear explanation will not receive full marks. The minimum grade to pass to the oral part is 15/30.
During the oral exam the students will be asked to state and prove the theorems carried out in class and to illustrate their meaning with significant examples. The oral exam will evaluate the knowledge of the theoretical aspects of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized and consistent way.
The written an the oral exams equally contribute to the final grade. The oral examination can be taken in the same session of the written test, as well as in the subsequent one.
During the course, two written partial tests will be offered, each referred to one half of the course. To pass the written examination through the partial tests, the student needs to pass each of them with the minimum grade of 15/30. In this case oral examination must be taken within the exam session of September.
Office hours
By appointment.
Contents
Newtonian Mechanics (a reminder). Ordinary differential equations. Qualitative analysis. The D'Alembert principle and Lagrangian Mechanics. The two-body problem. The rigid body. Hamiltonian mechanics. Canonical transformations and Hamilton-Jacobi method.
Detailed program
1. A reminder of the theory of ordinary differential equations. Vector fields and systems of first order ODEs. Rectification of a vector field. Equilibria and their stability. Linearization near equilibrium points. Systems with one degrees of freedom: level curves of the energy
2. Lagrangian Mechanics. Euler-Lagrange equations. Particle constrained on a regular curve. Particle constrained on a regular surface. The D'Alembert principle for general holonomic constraints. Equilibrium points and small oscillations. Variational formulation of Euler-Lagrange equations. One-parameter group of diffeomorphisms, symmetries and Noether's theorem. The two-body problem and the Kepler laws.
3. Transition matrix and angular velocity. Inertial and non inertial frames. Mechanics of rigid bodies. The inertia operator. Konig's tehorem. Euler's equations for rigid bodies. The Euler angles and the Lagrange top.
4. Hamiltonian Mechanics. The Legendre transformation. Hamilton's equations. Poisson bracket and Lie bracket. Symmetries and conservation laws in Hamiltonian Mechanics. Liouville's theorem. Variational formulation of Hamilton's equations. Canonical transformations and Jacobi's integration method. Separation of variables in the Hamilton-Jacobi equation. The case of spherical, parabolic and elliptic coordinates.
Prerequisites
Analysis I, Linear Algebra and Geometry, Physics I.
Teaching form
Lectures: 8 cfu
Exercises class 4 cfu
Until the ending of Covid-19 emergencies remote teaching will be held by means of videoregistered lectures (asyncronous or syncronous). The lectures will be made available on the e-learning page of the course.
Textbook and teaching resource
The following books are recommended:
1. V. I. Arnold, Metodi matematici della meccanica classica, Editori Riuniti.
2. S. Benenti, Modelli matematici della Meccanica, Quaderni di matematica per le scienze applicate. Celid
3. A. Fasano e S. Marmi Meccanica Analitica Bollati-Boringhieri 2002.
4. L.D. Landau. E. M. Lifshits, Meccanica, Editori Riuniti.
5 N.M.J. Woodhouse, Introduction to analytical dynamics, Oxford Science Publications. The Clarendon
Press, Oxford University Press, New York, 1987.
Lecture notes on special parts will be also provided by the teacher.
Alessandra Celletti, Esercizi e Complementi di Meccanica Razionale, Aracne Editrice, (2003)
Giancarlo Benettin, Eserciziario per il corso di Fisica Matematica, Padova (2017)
(freely downloadable from the webpage of the author:
https://www.math.unipd.it/~
Semester
Second semester.
Assessment method
The exam consists of two parts: a written test and an oral test.
The written test requires the solution of 3 problems (a dynamical system in the plane, a problem of Lagrangian Mechanics and a problem of Hamiltonian Mechanis). The duration is typically two and half hours. Correct answers without clear explanation will not receive full marks. The minimum grade to pass to the oral part is 15/30.
During the oral exam the students will be asked to state and prove the theorems carried out in class and to illustrate their meaning with significant examples. The oral exam will evaluate the knowledge of the theoretical aspects of the course, as well as the ability to expose it in a well-organized and consistent way.
The written an the oral exams equally contribute to the final grade. The oral examination can be taken in the same session of the written test, as well as in the subsequent one.
During the course, two written partial tests will be offered, each referred to one half of the course. To pass the written examination through the partial tests, the student needs to pass each of them with the minimum grade of 15/30. In this case oral examination must be taken within the exam session of July.
During the possible Covid-19 emergencies oral exams will be online and not in presence. They will be held using the WebEx platform and in the e-learning page of the course there will appear a public link to allow participation of virtual attendants.
Office hours
By appointment and through webex platform.