Syllabus del corso
Obiettivi
Corso base sul calcolo differenziale in più variabili, equazioni differenziali ordinarie, rudimenti di calcolo integrale in più variabili.
I risultati di apprendimento attesi includono
- Conoscenze: acquisire la nozione di spazio di Banach avendo in mente alcuni esempi classici: le funzioni continue/limitate su un intervallo chiuso e limitato. Comprensione delle definizioni e risultati
principali del calcolo differenziale in più variabili e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie
- Capacità: acquisire le principali tecniche di integrazione per funzioni di più variabili in domini delimitati da curve regolari nonché la capacità di applicare le conoscenze astratte suindicate ai problemi concreti.
Contenuti sintetici
Spazi metrici e spazi normati:esempi. Successioni e serie di funzioni. Calcolo differenziale per funzioni di più variabili: derivate direzionali, differenziale, matrice Hessiana, estremi liberi. Integrali multipli secondo Riemann e relative formule di riduzione: teorema di Fubini. Formula di cambiamento di variabili: coordinate polari, sferiche e cilindriche. Equazioni differenziali ordinarie: teoremi di esistenza, unicità e dipendenza continua dai dati. Funzioni definite implicitamente; massimi e minimi vincolati.
Programma esteso
- Calcolo differenziale in più variabili
- Derivate direzionali. Funzioni differenziabili. Legame tra le derivate direzionali nel caso di funzioni differenziabili. Legami tra continuità e derivabilità e differenziabilità. Derivate di ordine successivo. Derivate di funzioni composte.
- Massimi e minimi in insiemi aperti: condizione necessaria per funzioni differenziabili e curve di livello.
- Matrici definite/semidefinite positive e relativi criteri Matrice Hessiana. Formula di Taylor arrestata al secondo ordine. Funzioni convesse e relativo criterio per il riconoscimento dei loro estremanti.
- Riconoscimento dei massimi e minimi mediante la matrice Hessiana.
- Calcolo integrale in piu' variabili
- Integrale di Riemann di una funzione di più variabili a valori reali.
- Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan: condizione necessaria e sufficiente per la misurabilità nel caso di insiemi limitati. Esempi di insiemi misurabili e non.
- Metodo di riduzione (Teorema di Fubini) per gli integrali multipli. Baricentro di un insieme misurabile bidimensionale. Volume dei solidi.
- Cambio di variabili negli integrali doppi e tripli (*): coordinate polari, sferiche e cilindriche. Volume dei solidi di rotazione: Teorema di Guldino.
- Integrali impropri.
- Curve e superfici
- Curve regolari/ regolari a tratti/ chiuse /semplici in Rn. Lunghezza di una curva: definizioni equivalenti e indipendenza dalla parametrizzazione (non è richiesta la dimostrazione del Teorema 15.4 del libro di Giusti). Ascissa curvilinea.
- Teorema delle funzioni implicite (Dini) nel caso bidimensionale. Superfici in forma cartesiana; condizioni sufficienti affinché una superficie sia localmente un grafico. Prodotto vettoriale e teorema di Dini nel caso di una funzione da R3 in R2 (senza dimostrazione)
- Massimi e minimi in insiemi compatti: moltiplicatori di Lagrange ( dimostrazione solo nel caso di un vincolo in R2).
- Successioni e serie di funzioni
- Spazi vettoriali normati: esempi (C[a,b], B[a,b],Cn[a,b]). Spazi di Banach.
- Teorema delle contrazioni.
- Convergenza puntuale e uniforme per successioni/serie di funzioni a valori reali. Criterio di Weierstrass per le serie di funzioni. Convergenza uniforme e limitatezza/continuità delle funzione limite. Convergenza puntuale/ uniforme per funzioni derivabili/integrabili e relativi teoremi di passaggio al limite.
- Serie di potenze: raggio di convergenza. Serie di Taylor. Approssimazione di integrali mediante l’uso di serie di potenze.
- Equazioni differenziali
- Problema di Cauchy per equazioni del primo ordine. Teorema di esistenza e unicità locale. Prolungamento delle soluzioni. Intervallo massimale di definizione e relative proprietà (*). Condizione di sublinearità. Teorema di esistenza e unicit`a globale (non è richiesta la dimostrazione nel caso sublineare).
- Equazioni di ordine n: equivalenza con un sistema del primo ordine. Sistemi lineari del primo ordine. Struttura dello spazio delle soluzioni di un sistema omogeneo del primo ordine. Soluzioni nel caso non omogeneo. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie nel caso di un’equazione di ordine n.
- Matrice esponenziale: definizione e proprietà . Calcolo della matrice esponenziale nel caso in cui la matrice sia diagonalizzabile nel campo reale. E' richiesto il calcolo negli altri casi solo per matrici 3 x 3.
- Metodi di soluzione per alcune equazioni e sistemi particolari.
Prerequisiti
Analisi I, Algebra lineare e Geometria I
Modalità didattica
Lezioni (8cfu)+ esercitazioni (4cfu) +tutoraggio. Lezioni in Italiano.
Normalmente, il presente insegnamento si svolge mediante lezioni frontali alla lavagna ed esercitazioni frontali alla lavagna. Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, le lezioni si svolgeranno invece da remoto, mediante lezioni videoregistrate sincrone e/o asincrone, che saranno rese disponibili agli studenti sulla piattaforma elearning. Per quanto riguarda le attività di esercitazione, nei limiti imposti dalla disponibilità di spazi e dai vincoli sulla presenza complessiva di studenti in Ateneo, si prevedono attività formative pratiche in presenza.
Materiale didattico
Testo di riferimento: C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 2 Ed. Zanichelli
Testi di consultazione:
Enrico Giusti: Analisi Matematica II ed. Bollati Boringhieri.
A. Bacciotti; F. Ricci: Lezioni di Analisi Matematica 2 Ed. Levrotto & Bella /Torino
C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 1 Ed. Zanichelli
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2 vecchia edizione Bollati Boringhieri
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo Semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Nel periodo di emergenza Covid-19 gli esami orali saranno solo telematici. Verranno svolti utilizzando la piattaforma WebEx. Nella pagina e-learning dell'insegnamento verrà riportato un link pubblico per l'accesso all'esame di possibili spettatori virtuali. Le modalità di svolgimento delle prove scritte verranno precisate in seguito.
Prova scritta e prova orale pesate 1/2 e 1/2 ciascuna del voto finale
Nella prova scritta si richiede di dimostrare di saper applicare i contenuti teorici del corso alla risoluzione di problemi. Nella prova orale si richiede la capacità di esporre gli enunciati e le dimostrazioni dei teoremi, le definizioni, gli esempi/controesempi e le tecniche di calcolo introdotte. Si veda il file presente nella sezione 'Esami' per le questioni tecniche legate allo scritto
Nel corso dell’anno sono previsti 5 appelli d’esame nei seguenti periodi: due nel mese di febbraio, uno a giugno, uno a luglio e uno a settembre. Ogni appello d’esame prevede prima una prova scritta e poi, in caso di superamento della prova scritta, una prova teorica/orale a pochi giorni di distanza. Se sarà possibile, in ottemperanza delle misure di contenimento relative al covid-19, durante il periodo delle lezioni si terranno due prove scritte parziali riservate agli studenti in corso (iscritti al secondo anno) che, in caso di esito complessivo positivo, permetteranno di sostenere direttamente la prova orale nel mese di febbraio.
Voto minimo dello scritto per essere ammessi all'orale: 16/33.
Orario di ricevimento
Via web, per appuntamento.
Aims
A basic course in integral and differential calculus in several variables and ordinary differential equation
Expected learning outcomes include
Knowledge: acquiring the notion of Banach space with some classic examples in mind:
continuous / limited functions on a compact inetrval. Understanding of the definitions and main
results of the differential calculus in several variables and of the theory of ordinary differential equations
Capacity: acquire the main integration techniques for functions of several variables in domains delimited by regular curves as well as the ability to apply the aforementioned abstract knowledge to concrete problems.
Contents
Complete metric spaces and Banach spaces: examples. Sequences and series of functions. Directional derivatives, differentiable functions, higher order derivatives, critical points and local extrema. Integral calculus in several variables: Fubini’s theorem; change of variables; polar, spherical and cilindrical coordinates. Ordinary differential equations: existence, uniqueness and continuous dependence on initial data. Implicit function theorem and Lagrange multipliers.
Detailed program
- Differential calculus in more than one variable.
- Directional derivatives. Differentiable functions. Link between the directional derivatives in the case of differentiable functions. Bonds between continuity and derivability and differentiability. Higer order derivatives. Derivatives of compound functions.
- Maximum and minimum in open sets: necessary condition for differentiable functions and level curves.
- Positive defined/semidefinite matrices and related Matrix criteria Hessian. Taylor's formula arrested on the second order. Convexity and related criteria for the recognition of theirs extrema.
- Recognition of the maximums and minima by the Hessian matrix
- Integral calculus in more than one variable.
- Definition of Riemann integral for a real valued function of several variables.
- Measurable sets according to Peano-Jordan: necessary and sufficient condition for measurability in the case of bounded sets. Examples of measurable and non-measurable sets.
- Reduction method (Fubini's theorem) for multiple integrals. The center of gravity of a two-dimensional measurable set. Solid volume.
- Change of variables in double and triple integrals (*): polar, spherical and cylindrical coordinates. Volume of rotation solids: Guldino's theorem.
- Improper integrals.
- Curves and surfaces.
- Regular / piecewise regular curves in Rn. Length of a curve: equivalent definitions and independence from the parametrisation (proof of the Theorem 15.4 of the book of Giusti is not required). Curvilinear abscissa
- Theorem of implicit functions (Dini) in the two-dimensional case. Cartesian surfaces; sufficient conditions for one surface to be locally a chart. Vector product and theorem of Dini in the case of a function from R3 to R2 (without proof)
- Maximum and minimum in compact sets: Lagrange multipliers (proof only in the case of a constraint in R^2).
- Sequences and series of functions
- Normed vector spaces: examples (C ([a, b]), B (I) (with I interval) Cn([a, b]). Banach spaces.
- Theorem of contractions.
- Punctual and uniform convergence for sequences / series of functions. Weierstrass criterion for the series of functions. Uniform convergence and boundedness/ continuity of the limit function. Pointwise / uniform convergence for derivatives of functions. Limits of sequences of integrable functions.
- Power series: convergence radius. Taylor series. approximation of integrals through the use of power series.
- Differential equations
- Cauchy problem for first order equations. Theorem of existence and local uniqueness. Extension of solutions. Maximal solution and related properties (*). Sublinearity condition. Theorem of existence and global uniqueness (proof is not required in the sublinear case).
- Equations of order n: equivalence with a system of the first order. Linear systems of the first order. Structure of the space of the solutions of a homogeneous system of the first order. Solutions in the non-homogeneous case. The Variation of constants method in the case of an equation of order n.
- Exponential matrix: definition and properties. Calculation of the exponential matrix in the case where the matrix is diagonalizable on the real field. The calculation is required in the other cases only for 3 x 3 matrices.
- Solution methods for some particular equations and systems.
Prerequisites
Analysis I, Linear Algebra, Geometry I
Teaching form
lessons (8cfu), exercises (4cfu) and tutoring. Lessons in Italian.
Normally, this course is taught by live lessons at the blackboard and live exercise sessions at the blackboard. For all the duration of the current health crisis, lessons will instead take place remotely, by video-recorded lectures that might be either synchronous or asynchronous, and will be made available to the students on the moodle platform. Regarding the exercise sessions of this course, compatibly with the constraints imposed by the availability of classrooms and the bound on total student presence on campus, some activities in presence are foreseen.
Textbook and teaching resource
Textbook: C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 2 Ed. Zanichelli
Other teaching resources
Enrico Giusti: Analisi Matematica II ed. Bollati Boringhieri.
A. Bacciotti; F. Ricci: Lezioni di Analisi Matematica 2 Ed. Levrotto & Bella /Torino
C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 1 Ed. Zanichelli
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2, old edition, Bollati Boringhieri
Semester
First semester.
Assessment method
In the Covid-19 emergency period, the oral exams will only be online. They will be carried out using the WebEx platform: a public link will be provided on the e-learning page of the course for access to the examination of possible virtual spectators. The modality ot the wirtten tests will be specified asap.
For the written tests, always carried out remotely, we refer to the methods described on the course website.
Oral and written exam: weighted 1/2 and 1/2 of the final mark
In the written test it is required to demonstrate to be able to apply the theoretical contents of the course to solve problems. The oral test requires the ability to expose the statements and proofs of the theorems, the definitions, the examples / counterexamples and the calculation techniques introduced. See the file 'Exams' for more technicalities.
During the year there are 5 exam sessions in the following periods: two in the month of February, one in June, one in July and one in September. Each exam session includes a written test and then, in case of passing the written test, a theoretical / oral test a few days away. If possible, depending on the covid-19 restrictions, during the period of the lessons there will be two partial written tests, reserved to second year students. Those which obtain a positive overall result, will be allowed to directly support the oral exam in the month of February.
Minimum grade in the written part: 16/33 to be admitted to the oral exam
Office hours
By appointment, by Webex
Staff
-
Andrea Giovanni Calogero
-
Maria Gabriella Kuhn
-
Sara Perletti