Syllabus del corso
Obiettivi
Coerentemente
con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si
propone di fornire un'introduzione all'algebra lineare con applicazioni alla geometria, indispensabili per preparare lo studente alla comprensione della matematica che verrà impartita negli altri insegnamenti.
I risultati di apprendimento attesi comprendono la conoscenza delle nozioni fondamentali relative a spazi vettoriali, diagonalizzazione di endomorfismi e prodotti scalari. Ci si aspetta che lo studente acquisisca la capacità di analizzare e
riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni, di
risolvere alcuni facili problemi facendo uso delle tecniche apprese, e di approfondire, anche in maniera autonoma, alcuni dei
risultati presentati durante il corso.
Contenuti sintetici
Programma esteso
- Calcolo matriciale.
- Sistemi di equazioni lineari.
- Sottospazi affini di Rn e loro rappresentazioni cartesiane e parametriche. Distanza e perpendicolarità in Rn
- Spazi vettoriali.
- Applicazioni lineari e matrice associata.
- Determinante.
- Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico, diagonalizzabilità.
- Spazio duale.
- Prodotti scalari e hermitiani; teorema di Sylvester.
- Operatori autoaggiunti, ortogonali, unitari.
- Teorema spettrale.
Prerequisiti
Una buona conoscenza della matematica della scuola superiore.
Modalità didattica
L'insegnamento prevede Lezioni frontali (48 ore, 6 CFU) ed Esercitazioni (24 ore, 2CFU). Nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte. Nelle esercitazioni vengono proposti e risolti esercizi relativi alle tematiche presentate a lezione.
A seguito della corrente emergenza sanitaria, le lezioni e le esercitazioni si svolgeranno in una modalità mista che bilancerà una possibile parziale presenza in aula e una combinazione di lezioni o esercitazioni videoregistrate sincrone e asincrone. Anche le lezioni in presenza saranno videoregistrate e rese usufruibili da remoto sulla piattaforma e-learning.
Per stimolare la partecipazione degli studenti alcuni esercizi vengono proposti e la risoluzione lasciata agli studenti.
E' previsto un progetto di tutorato a supporto dell'attività didattica, che consiste principalmente nell'aiuto nella risoluzione di esercizi lasciati agli studenti attraverso la piattaforma e-learning. Le modalità saranno specificate a seconda dell'evolversi della situazione sanitaria.
Materiale didattico
Testo di riferimento:
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
Dispense su pagina e-learning del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto e orale
La prova scritta, valutata in trentesimi, consiste in:
1) esercizi a risposta aperta, simili a quelli proposti nelle esercitazioni, che permettono al docente di valutare la capacità dello studente di applicare la teoria nella risoluzione di problemi;
2) un quesito di tipo teorico, articolato in più punti, in cui si chiede allo studente di fornire in modo completo alcune definizioni, enunciati di teoremi e/o di dare esempi e motivazioni relativi agli argomenti trattati nel corso.
La durata della prova è di due ore. Il punteggio complessivo è di 33 punti di cui 27 per la risoluzione degli esercizi e 6 per la parte teorica. La prova viene valutata sulla base della correttezza, completezza, rigore e chiarezza delle soluzioni.
Prova Orale:
L'ammissione alla prova orale si ottiene con un punteggio totale di almeno 15. La prova consiste in una prima parte in cui viene discussa la prova scritta e in una seconda parte in cui si verifica da parte dei docenti la conoscenza e la padronanza da parte dello studente di definizioni, teoremi e dimostrazioni in programma. Entrambe concorrono alla valutazione finale, che si ottiene facendo la media tra le votazioni ottenute nello scritto + discussione (accorpati) e nella seconda parte della prova orale. La prova viene valutata sulla base della correttezza, completezza, rigore e chiarezza delle risposte.
L'esame si considera superato se il voto complessivo è pari a 18 o superiore.
Fino all’esaurimento della corrente emergenza sanitaria, la prova orale dell’esame si svolgerà da remoto mediante piattaforma WebEx o analoga, con accesso reso disponibile sulla pagina e-learning dell’insegnamento.
Le modalità di svolgimento della prova scritta verranno precisate in seguito.
A causa dell'emergenza sanitaria, non sono previste prove parziali.
Gli esercizi assegnati nell'ambito del tutorato e consegnati per via telematica concorreranno alla valutazione finale dell'esame.
Orario di ricevimento
Aims
In line with the educational objectives of the Degree in Mathematics,
the course aims to provide an introduction to linear algebra with applications to geometry, essential to prepare the student to understand the mathematics that will be taught in other courses.
Students are expected to gain knowledge of fundamental notions on vector spaces, diagonalization of endomorphisms and scalar products. They are also expected to gain the ability to reproduce the proofs
presented in the course, to solve easy problems using the techniques they have learned,
and to delve further, with or without guidance, into some of the results presented during
the course.
Contents
Detailed program
- Matrix
calculus.
- Systems
of linear equations.
- Affine subspaces of Rn and their representations. Distance and orthogonality in Rn
- Vector
spaces.
- Linear
maps and matrices.
- Determinants.
- Eigenvalues, eigenvectors, characteristic polynomial, diagonalization.
- Dual space.
- Scalar
and Hermitian products; Sylvester Theorem.
- Self-adjoint, orthogonal, unitary operators.
- Spectral Theorem.
Prerequisites
A
good knowledge of mathematics studied in higher school.
Teaching form
The course is organized in Lectures (48 hours, 6 CFU) and Exercise classes (24hours, 2CFU). Definitions, results and relevant theorems will be presented in Lectures, providing examples and problems making use of the notions introduced. Exercises related to the subject matters covered in the lectures are presented and solved during Exercise classes. In order to encourage student participation, some exercises are left for the students to solve.
Due to the current health emergency, Lectures and Exercises will be held in a mixed mode that will balance a possible partial presence in the lecture room and a combination of recorded lectures or exercises, either synchronous or asynchronous. Lessons and Exercises taking place in the lecture room will be recorded and made available on the e-learning website.
A tutor will aid the students in solving the exercises published on the e-learning website; the delivery method will be specified according to the current health situation.
Textbook and teaching resource
Reference book:
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
Lecture notes on e-learning webpage.
Semester
First semester.
Assessment method
Written and oral exam
The written exam consists of two parts:
exercises (with open-ended questions) which allow the teachers to evaluate the student's ability to apply the theory in solving problems;
a theoretical question where the student is asked to give complete definitions, statements of theorems and/or provide examples and motivations.
The examination lasts two hours. The total score (33 points) is divided into 27 points for the exercises and 6 points for the theoretical part. The test is evaluated in terms of correctness. completeness, accuracy and clarity of the solutions.
Oral exam.
Students are admitted to the oral test only if the written exam's score is at least 15 points. This test consists in a first part given by the discussion of the written test and in a second part consisting in the verification by the teachers of knowledge and mastery of definitions, theorems and proofs in the program. Both parts are taken into account in forming the final mark, which is the average of the written and oral exam's scores. The test is evaluated in terms of correctness, completeness, accuracy and clarity of the answers. The exam is passed if the final score is at least 18 points.
Pending the current health emergency, the oral exam will be held online through WebEx or analogous, with access made available on the e-learning website. The procedures for carrying out the written test will be established later on.
Due to the current health situation, mid term examinations are not planned.
Exercises assigned during the tutoring sessions and submitted on line will be assessed and will contribute the the final mark.
Office hours
By appointment. Due to the current health emergency, student reception will be carried out online through WebEx or analogous.