Course Syllabus
Obiettivi formativi
Il corso intende presentare i risultati di base dell'algebra lineare che sono basilari e propedeutici per altri insegnamenti di questo corso di laurea.
Contenuti sintetici
Programma esteso
Spazi vettoriali. Sottospazi vettoriali. Intersezione di sottospazi vettoriali e somma di sottospazi vettoriali. (In)dipendenza lineare di vettori. Sottospazio vettoriale generato. Definizione di base e dimensione di uno spazio vettoriale. Teoremi fondamentali su basi, vettori generatori e vettori linearmente indipendenti. Teorema di Grassmann (versione sottospazi).
Operazioni di somma e prodotto per scalari di vettori di R^n e tra matrici. Moltiplicazione tra matrici e matrice inversa. Rango di matrici. Trasformazioni elementari: riduzione a scalal ed applicazioni al rango e al calcolo della matrice inversa. Determinante: regola di Laplace.
Sistemi di equazioni lineari, spazio affine delle soluzioni, metodo di risoluzione di Gauss abbinato al teorema di Rouché-Capelli. Teorema di Cramer. Applicazione: formula per il calcolo della matrice inversa. Caso senza soluzioni: anticipazione della regressione lineare.
Prodotti interni, caso particolare: prodotto scalare. Insieme di vettori ortonormali. Processo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.
Applicazioni lineari. Nucleo e immagine, Teorema di Grassmann (versione omomorfismi). Matrice associata ad applicazioni lineari. Relazione tra immagine di un omomorfismo e spazio vettoriale generato dalle colonne della matrice associata. Formula del cambiamento di basi per una applicazione lineare. Applicazione: matrice associata ripetto alle basi canoniche di R^n della proiezione su un sottospazio vettoriale e connessione con regressione lineare.
Diagonalizzabilità: autovalori e autovettori di matrici. Matrici simmetriche: decomposizione spettrale.
Tempo permettendo: classificazione delle coniche e cenni a forme quadratiche.
Prerequisiti
Nessun prerequisito formale, però aiuta la comprensione un po' di teoria degli insiemi, aver incontrato insiemi dotati di strutture algebriche (e.g. gruppi). Inoltre, è fortemente consigliato l'essere in grado di fare dimostrazioni di affermazioni elementari, e saper adoperare il processo induttivo.
Metodi didattici
A seconda delle leggi in vigore per l'emergenza COVID, ci poranno essere o meno lezioni frontali.
In ogni caso ci sono videolezioni sugli argomenti trattati nel mio canale Youtube chiamato "Animated Math" (in inglese). Probabile attività di tutoraggio. Ricevimento studenti in teleconferenza.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Certamente sarà prevista una prima parte scritta quiz a scelta multipla. A seconda delle regole sul distanziamento individuale cioè possibilità di presenza di studenti in aula, ci potrà essere una seconda parte dello scritto che contemple risposte elaborate ai quesiti.
La prova (o le prove) scritte determineranno gli studenti ammessi alla prova orale.
Gli studenti ammessi con un voto pari a 18 o superiore avranno la possibilità di verbalizzare il loro voto come voto finale dell'esame.
Gli studenti insufficienti ammissi avranno una prova orale da superare a seguito della quale il risultato finale dell'esame potra essere solo 18 o insufficiente. Tipicamente (ma ancora da determinare) per loro la prova conisterà in una domanda a scelta multipla o aperta di difficoltà moderata.
Nel caso non fosse possibile effettuare la parte di prova scritta con esercizi svolti in modo esteso, il docente si riserva la possibilità di scegliere un campione tra gli studenti ammessi all'orale e trasformare la loro prova in un esame orale individuale in videoconferenza.
Testi di riferimento
Periodo di erogazione dell’insegnamento
secondo semestre
Lingua di insegnamento
italiano/inglese
Learning objectives
Contents
1. Vector spaces
2. Matrices and their operations; determinant.
3. Vector spaces with inner product
4. Scalar product and Gram-Schmidt orthonormalization
5. Systems of linear equations
6. Linear maps
7. Matrix diagonalization, Symmetric matrices and spectral decomposition
8. Basics on conics and quadratic forms
Detailed program
Vector spaces, subvector spaces. Intersection ond sum of subvector spaces. linear (in)dependence of a set of vectors. Generated subvector space. Bases and dimension of a vector space. Main theorems on bases, generators and linear independence. Grassmann theorem (on vector spaces).
Sum and product by scalars' structures of vectors and matrices. Matrix product and inverse matrix. Rank. Elementary operations: rank computation and derivation of the inverse of a matrix. Determinant: Laplace formula.
Systems of linear equations. Affine space of solutions. Elementary operations' application to Rouché-Capelli procedure. Cramer theorem. Application: inverse matrix formula. No solution case: anticipation of linear regression.
Inner and scalar products. Orthonormal set of vectors. Gram-Schmidt process.
Linear maps (a.k.a. homomorfisms). Kernel and image, Grassmann theorem (homomorphisms). Associated matrix to a homomorphism. Base change formula. Application: associated matrix to the projection with respect of canonical bases of R^n and its connection with linear regression.
Diagonalization. Eigenvectors and eigenvalues. Symmetric matrices: spectral decomposition.
Time permitting: conics classification and one mention to quadratic forms.
Prerequisites
No formal prerequisites, but knowing some set theory is helpful, especially if this concerns sets endowed by algebraic structures (e.g. groups). Moreover, it is strongly advised to be able to perform proofs of elementary statements, and boeing able to use the induction process.
Teaching methods
Possibly classroom teachings in accordance with COVID distancing rules.
Lessons on the covered subjects are available to my Youtube channel "Animated Math" (english narration). Likely tutoring activities. Videoconference office hours.
Assessment methods
There will be a written examination consisting in a multiple-choice quiz. According to COVID distancing rules, there may be a supplementary written part in which students must exaustively elaborate answers to questions, in written form.
The written exam(s) will determine the candidates admitted to the oral exam.
Those who passed the written part of the exam with a grade of 18 or above, may opt to record that as their final grade.
Those admitted with a grade less than 18 must pass a further examination, typically (but yet to be determined) consisting in a supplementary multiple choice/open question.
In the case it will not be possible to setup the written part of the exam with extended written answers, the professor may decide to choose a sample of the students admitted to the oral exam and switch their oral exam to an individual videoconference colloqium.
Textbooks and Reading Materials
Semester
second semester
Teaching language
italian/english