Syllabus del corso
Obiettivi formativi
L'obiettivo è fornire le conoscenze propedeutiche di algebra lineare ai corsi Calcolo delle Probabilità e Analisi statistica multivariata.
Conoscenza e comprensione
Questo insegnamento fornirà conoscenze e capacità di comprensione relativamente a:
- Rappresentazione di spazi vettoriali, sistemi di generatori e basi
- Applicazioni lineari e loro relazione con matrici e sistemi lineari
- Proiezioni ortogonali
- Ruolo degli autovalori e autovettori di una matrice
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Alla fine dell'insegnamento gli studenti saranno in grado di:
- Studiare applicazioni lineari mediante la teoria delle matrici e dei sistemi lineari
- Determinare la miglior approssimazione di un elemento di uno spazio vettoriale tra gli elementi di un suo sottospazio
- Applicare la procedura di diagonalizzazione di matrici
L'insegnamento consente allo studente di acquisire solide basi nell'uso della algebra lineare necessarie in qualsiasi contesto lavorativo e che rappresentano una base imprescindibile per il proseguimento del percorso universitario.
Contenuti sintetici
Spazi vettoriali e applicazioni lineari; proiezioni ortogonali; matrici e diagonalizzazione; determinanti; similitudine di matrici.
Programma esteso
Spazi vettoriali su R. Combinazioni lineari ed indipendenza. Sistemi di generatori e basi. Dimensione di uno spazio vettoriale.
Algebra delle matrici. Prodotto tra matrici. Determinante e suo calcolo. Invertibilità di una matrice. Rango di una matrice. Matrici ortogonali e simmetriche.
Applicazioni lineari. Studio di applicazioni lineari mediante matrici e sistemi lineari. Teorema di nullità più rango.
Prodotto scalare standard e diseguaglianza di Cauchy-Schwartz. Norma e diseguaglianza triangolare. Elementi di geometria analitica. Basi ortonormali. Proiezioni ortogonali.
Autovalori e autovettori. Diagonalizzabilità. Forme quadratiche.Teorema spettrale e sue generalizzazioni.
Prerequisiti
Nessun prerequisito formale richiesto.
Metodi didattici
Lezioni frontali classiche, dedicate in parte agli aspetti teorici del corso, e in parte allo svolgimento di esercizi pratici, che consentono allo studente di acquisire un metodo e un'impostazione logica nella risoluzione dei problemi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Prova scritta a base di esercizi e domande teoriche per verificare la capacità di risoluzione di semplici problemi mediante l'applicazione della teoria.
Orale facoltativo (su richiesta del docente o dello studente).
L’esame é in forma scritta con orale facoltativo (per chi ha conseguito una valutazione almeno pari a 18/30 nella prova scritta).
La verifica scritta si compone di alcune domande di teoria e di esercizi. Le domande teoriche consentono di verificare la conoscenza dei principali concetti del corso. Gli esercizi consentono di verificare la comprensione e la capacità di utilizzare tali nozioni nei diversi contesti applicativi. Inoltre, le domande teoriche e gli esercizi consentono di verificare la capacità di esprimersi con un adeguato linguaggio tecnico.
Testi di riferimento
T.M. Apostol, Calcolo, volume secondo (Geometria), Bollati Boringhieri.
E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017;
Periodo di erogazione dell’insegnamento
II semestre, III e IV ciclo (periodo approssimativo da marzo a giugno).
Lingua di insegnamento
Italiano.
Learning objectives
This course aims to provide the foundations of linear algebra that will form the basis of the courses of Probability and Multivariate Statistical Analysis.
Knowledge and understanding
This course will provide knowledge and understanding in relation to:
- Representation of vector spaces and systems of generators and bases
- Linear applications and their relationship with matrices and linear systems
- Orthogonal projections
- Role of eigenvalues and eigenvectors of a matrix
Ability to apply knowledge and understanding
At the end of the course the students will be able to:
- Study linear applications through the theory of matrices and linear systems
- Determine the best approximation of an element of a vector space among the elements of a subspace
- Apply the procedure of diagonalization of matrices
The course allows the student to acquire a solid foundation in the use of linear algebra necessary in any work context and representing an essential basis for the continuation of the university studies.
Contents
Vector spaces and linear maps; orthogonal projections; matrices and diagonalization procedure; determinants; similarity of matrices.
Detailed program
Vector spaces on R. Linear combinations and independence. Systems of generators and bases. Dimension of a vector space.
Algebra of matrices. Product between matrices. Determinant and its computation. Invertible matrices. Rank of a matrix. Orthogonal and symmetric matrices.
Linear maps. Study of linear maps by matrices and linear systems. Rank plus nullity Theorem.
Standard scalar product and Cauchy-Schwartz inequality. Norm and triangular inequality. Elements of analytic geometry. Orthonormal bases. Orthogonal projections.
Eigenvalues and eigenvectors. Diagonalization procedure. Quadratic forms. Spectral Theorem and its extensions.
Prerequisites
No prerequisites are required.
Teaching methods
Classic frontal lessons, partly devoted to the theoretical aspects of the course, and partly to the resolution of practical exercises, which allow the student to acquire a method and a logical approach in solving problems.
Assessment methods
Written exam based on exercises and theoretical questions aimed at evaluating the problem-solving skills and the ability to apply the theoretical results in order to solve specific problems.
Oral exam (upon student's or teacher's request).
The exam is written with optional oral (for those who have obtained an evaluation at least equal to 18/30 in the written part).
The written part consists of some theoretical questions and exercises. The theoretical questions allow to check the knowledge of the main concepts of the course. The exercises allow to verify the comprehension and the ability to use these notions in the different application contexts. Furthermore, the theoretical questions and the exercises allow to verify an appropriate technical language.
Textbooks and Reading Materials
T.M. Apostol, Calcolo, volume secondo (Geometria), Bollati Boringhieri.
E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017;
Semester
Teaching language
Italian.
Scheda del corso
Staff
-
Elena Bandini