- Solid State Physics
- Summary
Course Syllabus
Obiettivi
Il Corso si pone come obiettivo l’apprendimento di concetti, metodi e di modelli per la fisica dei solidi cristallini, perfetti ed infiniti. A tal fine, una prima parte del Corso è dedicata alla trattazione di quei fenomeni più semplicemente descrivibili in termini di particelle non interagenti, con particolare attenzione alle tecniche di calcolo delle grandezze macroscopiche, sulla base di variabili microscopiche. La seconda analizza invece quei fenomeni più complessi, originati dall'interazione tra particelle, che danno luogo a rilevanti proprietà macroscopiche dei solidi perfetti ed infiniti. In questa fase viene posta l’attenzione sulla comprensione di concetti poco intuitivi e sulla linea ideale del ragionamento, privilegiando - anche qui - il carattere metodologico rispetto a quello antologico. La complementazione di un Testo principale con altro materiale caricato sul sito del Corso, costituisce parte importante dell’insegnamento metodologico, che questo Corso della Laurea Magistrale intende dispensare.
Contenuti sintetici
Prima parte
- RASSEGNA DELLE STRUTTURE CRISTALLINE E DEI RETICOLI DI BRAVAIS, DIRETTI E RECIPROCI
- DINAMICA RETICOLARE IN TRE DIMENSIONI
- PROPRIETA' TERMICHE DEI SOLIDI NELL' APPROCCIO ARMONICO ED ANARMONICO
- GAS DI ELETTRONI LIBERI ED INDIPENDENTI, PROPRIETA' TERMICHE CONNESSE
- FONDAMENTI DELLE BANDE ELETTRONICHE E CASI REALISTICI
- TRASPORTO DI CARICA E DI CALORE CON ELETTRONI
Seconda parte
7. CALCOLO DELLE BANDE ELETTRONICHE CON METODI DA PRINCIPI PRIMI8. SCREENING ELETTRONICO ED ENERGIE STRUTTURALI NEI METALLI
9. DIAMAGNETISMO, PARAMAGNETISMO E LIVELLI DI LANDAU
10. FERROMAGNETISMO ITINERANTE E PER SPIN LOCALIZZATI
11. LA SUPERCONDUTTIVITÀ E LA TEORIA DI BCS
Programma esteso
STRUTTURE CRISTALLINE E DIFFRAZIONE
- Brevi richiami di reticolo diretto e di strutture cristalline notevoli
- Costruzione di reticolo reciproco e zona di Brillouin di un fcc e di un bcc
- Calcolo della distanze tra punti ad alta simmetria nella zona di Brillouin del silicio.
DINAMICA RETICOLARE
- Matrice delle costanti di forza e sue simmetrie
- Matrice dinamica ed equazioni di moto
- Costruzione e diagonalizzazione matrice dinamica per fcc monoatomico: autovalori e displacement patterns
- Catena lineare biatomica
- Curve di dispersione di cristalli reali
- Scattering inelastico di radiazione e misura della dispersione da scattering neutronico
PROPRIETÀ TERMICHE
- Dai modi normali ai fononi come quasiparticelle
- Densità di stati vibrazionali
- Calore specifico di Debye e di Einstein
- Potenziali anarmonici e calore specifico nel regime di Dulong Petit
- Equazione di stato di un solido
- Espansione termica e parametro di Gruneisen
- Conducibilità termica
GAS DI ELETTRONI LIBERI
- Richiami sul gas elettronico a T = 0, repulsione sterica
- Densità di stati in 1, 2 e 3 dimensioni
- Andamento del potenziale chimico in T
- Contributo elettronico al calore specifico e i Fermioni pesanti
- La funzione lavoro e l’emissione termica di elettroni
BANDE ELETTRONICHE
- Espansione in onde piane ed equazione centrale
- Onde di Bloch e nuovo significato del momento p
- Costruzione dello schema a bande in reticolo vuoto
- Apertura del gap a bordo zona e sua interpretazione
- Espansione dell'onda di Bloch in orbitali atomici: tight
binding (TB)
- Energie di banda in funzione di parametri TB e dei vicini.
- Costruzione e diagonalizzazione matrice tight binding a primi vicini per silicio.
- Interpretazione di bande reali e loro densità di stati
- Misura della dispersione di bande per fotoemissione risolta in angolo
TRASPORTO ELETTRONICO
- Il modello semiclassico dei pacchetti di onde di Bloch
- Il tensore di massa efficace e il concetto di buca positiva
- L'equazione di Boltzman: bilancio tra processi di drift e quelli di scattering
- L'approssimazione del tempo di rilassamento per i processi di scattering
- Meccanismi microscopici che presiedono allo scattering di cariche
- Il modello classico del trasporto di Drude e i suoi limiti
- La conducibilità elettrica come integrale della superficie di Fermi
- Dipendenza della resistività dalla temperatura nei solidi metallici
- Trasporto di calore da elettroni
- Relazione di Wiederman-Franz
- Effetti termoelettrici (Peltier e Seebeck)
OLTRE L'ELETTRONE SINGOLO
- Dal sistema a più elettroni all'equazione di campo medio: Hartree
- L'equazione di Hartree-Fock e il significato del termine di scambio
- Energia del gas di elettroni liberi e interagenti come funzionale di densità
- Il teorema di Hohenberg e Kohn e l'equazione di Kohn-Sham
- Il metodo del funzionale di densità nella approssimazione locale DFT-LDA
- Il calcolo autoconsistente delle funzioni di particella indipendente
- Il metodo cellulare, il potenziale muffin-tin e lo sviluppo in onde piane aumentate
- L'ortogonalizzazione sugli stati di core: onde piane ortogonalizzate e pseudopotenziale
LO SCHERMO DL GAS DI ELETTRONI
- Dalle equazioni di Poisson alle relazioni tra ε e χ: modello classico
- Il modello di schermo elettrostatico di Thomas-Fermi (suscettività costante)
- Il modello di schermo elettrostatico di Linhard (suscettività dipende da q)
- L'interpretazione quantistica della inefficacia dello schermo per q > 2kF e le onde di densità di carica
- Dal modello a Jellium al metallo reale: calcolo perturbativo al primo ordine
- Energia di coesione per diverse strutture nei metalli semplici: il potenziale a due corpi efficace.
PROPRIETÀ MAGNETICHE DEI SOLIDI
- Definizione di M e χ; introduzione alla Hamiltoniana con potenziale vettore
- Diamagnetismo e paramagnetismo di isolanti, valori trascurabili
- Paramagnetismo di Pauli, derivazione stati di Landau e diamagnetismo del gas di elettroni liberi
- Effetto de Haas - van Alphen
IL FERROMAGNETISMO
- Modello di Stoner del ferromagnetismo itinerante per solidi metallici
- Effetto della temperatura nel modello di Stoner, temperatura di Curie
- Origine delle interazioni ferromagnetiche nei solidi isolanti e modello di Heisenberg
- Ferromagnetismo di isolanti, temperatura di Curie e suscettibilità vs T
- Stati eccitati magnetici: onde di spin. Altre eccitazioni collettive nei solidi
- Domini ferromagnetici
LA SUPERCONDUTTIVITÀ
- Esperienza di Onnes e introduzione alla superconduttività
- Effetto Meissner Ochsenfeld: espulsione del campo magnetico
- Termodinamica della transizione a superconduttore: entropia e calore specifico
- Equazioni di London e London : spessore di penetrazione di
correnti e di campo magnetico
- Origine attrazione nella coppia di Cooper; instabilità del mare di Fermi
- Derivazione dello stato fondamentale BCS da metodo variazionale
- Esistenza del gap, sua natura e definizione di stati eccitati
- Dipendenza di gap da T, relazione tra Tc e gap a T = 0; effetto isotopico
- La supercorrente come stato stazionario e valore critico di corrente e campo magnetico
Prerequisiti
Struttura della materia, fisica quantistica di atomi e di molecole
Introduzione elementare alla fenomenologia dei materiali
Elementi di analisi complessa, funzioni speciali, serie e trasformate
Modalità didattica
Lezioni frontali ed esercitazioni. Per questo anno accademico 2020/2021, in osservanza delle disposizioni di ateneo contro il Covid 19, le lezioni e le esercitazioni verranno erogate a distanza, in modalità asincrona, ma verranno anche organizzati degli incontri periodici via Webex in modalità sincrona, in cui gli studenti saranno invitati ad esporre dubbi e richiedere chiarimenti.
Materiale didattico
TESTO PRINCIPALE
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
CAPITOLI AGGIUNTIVI PRESI DAI SEGUENTI TESTI, COME RESI DISPONIBILI SULLA PIATTAFORMA E-LEARNING:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
G. GROSSO AND G. PASTORI PARRAVICINI, Solid state Physics, Academic Press
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
S. BLUNDELL, Magnetism in Condensed Matter, Oxford University Press.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo e secondo semestre a diversa periodicità di lezioni. Si segnala che le lezioni inizieranno con la seconda parte del primo semestre, per permettere al corso di azzeramento in meccanica quantistica e al corso di analisi funzionale di impartire gran parte delle nozioni necessarie a seguire questo corso. Gli studenti sono invitati quindi a seguirli con attenzione e costanza.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in un colloquio finale, eventualmente segmentabile in due tranche, in cui si verificherà la capacita' di sviluppare derivazioni matematiche e interpretazioni relative alla prima parte del corso, formalmente più semplice, e una descrizione, maggiormente basata sulla comprensione dei fenomeni, della seconda e più complessa parte del corso stesso. Per questo anno accademico 2020/2021, in base alle disposizioni di ateneo per l'emergenza Covid 19, gli esami sono previsti in modalità remota via Webex, almeno fino a quando tali disposizioni rimarranno vigenti.
Orario di ricevimento
Per appuntamento, scrivendo una e-mail a leo.miglio@unimib.it, oppure a roberto.bergamaschini@unimib.it. In particolare, sono incoraggiati gli incontri in remoto, via Webex, almeno fino a quando non sarà rientrata l'emergenza Covid 19.
Aims
A first part of the course is devoted to the treatment of simpler phenomena, as described in terms of non-interacting particles (electrons, or phonons), with particular attention in teaching the skill of developing analytical models , which allow to solve complicated problems by ingenious simplifications. The second part analyses more complex phenomena, generated by the interaction among particles, which give rise to significant macroscopic properties of the perfect and infinite solid. In this part, the focus is placed in the understanding of non-intuitive concepts and the ideal line of reasoning, preferring - also here - the methodological approach rather than the taxonomic one. The complementation of a main text with some suggested material, uploaded in the Course site, is one important aspect of the teaching method , that is to acquire the habit of consulting different sources and comparing them critically.
Contents
First part
- REVIEW OF CRYSTAL STRUCTURES AND BRAVAIS LATTICES, IN DIRECT AND RECIPROCAL SPACE
- LATTICE DYNAMICS IN THREE DIMENSIONS
- THERMAL PROPERTIES OF SOLIDS IN THE HARMONIC AND THE ANHARMONIC APPROACH
- FREE AND INDEPENDENT ELECTRON GAS, RELATED THERMAL PROPERTIES
- FUNDAMENTALS OF ELECTRONIC BANDS AND REALISTIC CASES
- CHARGE AND HEAT TRANSPORT BY ELECTRONS
Second part
7. CALCULATION OF THE ELECTRONIC BANDS WITH SELFCONSISTENT METHODS8. ELECTRON SCREENING AND THE STRUCTURAL ENERGY OF METALS
9. PARAMAGNETISM, DIAMAGNETISM AND LANDAU LEVELS
10. FERROMAGNETISM FOR ITINERANT AND LOCALIZED SPINS
11. SUPERCONDUCTIVITY AND THE BCS THEORY
Detailed program
Crystal structures and diffraction
- The Bravais lattices and relevant crystal structures
- Construction of the reciprocal lattice and the Brillouin zones for fcc and bcc lattices
- Calculation of the distances in the Brillouine zone for silicon.
Lattice dynamics
- Force constant matrix and its symmetries
- Dynamic matrix and the equations of motion
- Construction and diagonalization of the dynamic matrix for one fcc monatomic: eigenvalues and displacement patterns
- Diatomic linear chain
- Dispersion curves of real crystals
- Inelastic scattering and measurement of phonon dispersion by neutron scattering
Thermal properties
- From normal modes to phonons as quasi-particles
- Density of vibrational states
- Specific heat in Debye and Einstein models
- Anharmonic potentials and the heat capacity in Dulong Petit regime
- Equation of state of a solid
- Thermal expansion and meaning of the Gruneisen parameter
- Thermal conductivity
Free electrons
- The electron gas at T = 0, steric repulsion
- Density of states in 1, 2 and 3 dimensions
- Trend of the chemical potential in T
- Electronic
contribution to the specific heat and heavy fermions
- The work function and the thermal emission of electrons
Electronic bands
- Expansion in plane waves and the central equation
- Bloch waves and new meaning of the moment p
- Construction of the band diagram for the empty lattice
- Opening of the gap at the Brillouin zone borders and its interpretation
- Expansion of the Bloch wave in atomic orbital: tight binding (TB)
- Band energy as a function of TB parameters and neighbors.
- Construction and diagonalization of the tight binding matrix in sp3 basis and first neighbors for silicon
- Interpretation of real bands and their density of states
- Measurement of the dispersion of the bands by electron photoemission resolved in angle
Transport by electrons
- The semiclassic model by packets of Bloch waves, equations of motion
- The effective mass tensor and the concept of positive hole
- Boltzmann equation: balance between the process of drift and the one of scattering
- The relaxation time approximation in the process of scattering
- Microscopic mechanisms that rule the scattering of charges
- The classic model of transport by Drude and its limits
- The electrical conductivity as the integral on the Fermi surface
- Dependence of resistivity from the temperature in a metal
- Heat transport by electrons
- The Wiedemann-Franz law
- Thermoelectric effects (Peltier and Seebeck)
The many-electron problem
- The mean field approach by Hartree
- The Hartree-Fock equations and meaning of the exchange energy contribution
- The interacting gas of free electrons and the density dependent energy
- The Hohenberg and Kohn theorem and the equation of Kohn-Sham
- The density functional method in the local approximation DFT-LDA
- Cellular methods, the muffin tin potential, and the augmented plane waves
- Orthogonalized valence plane waves, the pseudopotential method
Screening by the electron gas
- From Poisson equations to relations between epsilon and susceptibility: classical model
- The Thomas-Fermi model of the electrostatic shield (constant susceptibility)
- The Linhard model of the electrostatic shield (susceptibility depends on q)
- The quantum interpretation of the ineffectiveness of the screen beyond 2kF and the charge density waves
- From the jellium model to the real metal
- Cohesion energy
for different structures in simple metals
Magnetic properties
- Definition of magnetization and susceptibility; introduction to the Hamiltonian including vector potential
- Diamagnetism and paramagnetism in solids, why negligible values for susceptibility
- Pauli paramagnetism and Landau diamagnetism for the gas of free electrons
- Electron motion in a magnetic field
- Landau levels and the de Haas - van Alphen effect
Ferromagnetism
- Stoner model for itinerant ferromagnetism in metallic solids
- Effect of temperature in the Stoner model, Curie temperature
- Origin of ferromagnetic interactions in insulating solids and the Heisenberg hamiltonian
- Ferromagnetism in insulators, the Curie temperature and the susceptibility vs T
- Excited magnetic states and the spin waves; other collective excitations in solids
- Ferromagnetic domains
Superconductivity
- Introduction to superconductivity
- Meissner-Ochsenfeld effect: expulsion of the magnetic field
- The thermodynamics of the transition to the superconducting state
- The London and London equations: penetration of currents and magnetic fields
- Origin of the attraction in the Cooper pair, instability of the ground state
- Derivation of the fundamental BCS state
- Existence of the gap, its nature, and definition of the excited states
- Dependence of gap from T, relationship between Tc and gap at T = 0; isotope effect
- The supercorrent as steady state and the critical values of current and magnetic field
Prerequisites
Atomic and molecular quantum physics (also provided by a suitable Course inside this curriculum)
Elementary introduction to Materials (beneficial for undergraduates coming from different degrees)
A short course in advanced calculus: complex calculus, special functions, series and transforms
Teaching form
Lessons and exercitations. In this academic year 2020/2021, following the indications of the Milano Bicocca university for the Covid 19 emergency, both the lessons and the exercitations will be provided remotely, by uploading the recordings and the related material in asynchronous modality. Still periodic tutoring meeting via Webex in synchronous modality will be organized, so that the students will rise questions and problems related to the Course.
Textbook and teaching resource
PRINCIPAL TEXTBOOK:
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
ADDITIONAL CHAPTERS ARE TAKEN FROM THE FOLLOWING BOOKS, STILL AVAILABLE IN ENGLISH IN THE E-LEARNING PLATFORM:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
G. GROSSO AND G. PASTORI PARRAVICINI, Solid state Physics, Academic Press
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
S. BLUNDELL, Magnetism in Condensed Matter, Oxford University Press.
Semester
First and second semester at different lesson periodicity. In particular, the lessons will start with the second part of the first semester, in order that the basic course in quantum mechanics and the advanced course in calculus can provide most of the subjects necessary to follow this course. The students are therefore warmely invited to attend these two coursed with attention and continuity.
Assessment method
The final examination, by an oral discussion with written derivations, can also be divided into two steps, at different times: the first one, for the first, simpler part of the course, includes a written mathematical derivation of some physical results; the second, for the more complex part of the course, is mainly intended to test the understanding of the effects taking place, quoting - in case deriving - the quantitative results. In this academic year 2020/2021, due to the prescriptions of the Milano-Bicocca university for the Covid 19 emergency, the exams will be taken remotely, via Webex connection, at least until new indications will be provided by the university governance.
Office hours
By appointment writing one e-mail to leo.miglio@unimib.it, or to roberto.bergamaschini@unimib.it. In particular, we warmely suggest to take the remote meeting option, via Webex, at least until the Covid 19 emergency is still in action.