Syllabus del corso
Obiettivi
Coerentemente
con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si
propone di fornire un'introduzione all'algebra lineare con applicazioni alla geometria, indispensabili per preparare lo studente alla comprensione della matematica che verrà impartita negli altri insegnamenti.
I risultati di apprendimento attesi comprendono la conoscenza delle nozioni fondamentali relative a spazi vettoriali, diagonalizzazione di endomorfismi e prodotti scalari. Ci si aspetta che lo studente acquisisca la capacità di analizzare e
riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni, di
risolvere alcuni facili problemi facendo uso delle tecniche apprese, e di approfondire, anche in maniera autonoma, alcuni dei
risultati presentati durante il corso.
Contenuti sintetici
Programma esteso
- Calcolo matriciale.
- Sistemi di equazioni lineari.
- Sottospazi affini di Rn e loro rappresentazioni cartesiane e parametriche. Distanza e perpendicolarità in Rn
- Spazi vettoriali.
- Applicazioni lineari e matrice associata.
- Determinante.
- Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico, diagonalizzabilità.
- Spazio duale.
- Prodotti scalari e hermitiani; teorema di Sylvester.
- Operatori autoaggiunti, ortogonali, unitari.
- Teorema spettrale.
Prerequisiti
Una buona conoscenza della matematica della scuola superiore.
Modalità didattica
L'insegnamento prevede Lezioni frontali (48 ore, 6 CFU) ed Esercitazioni (24 ore, 2CFU). Nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte. Nelle esercitazioni vengono proposti e risolti esercizi relativi alle tematiche presentate a lezione.
Per stimolare la partecipazione, saranno proposti regolarmente esercizi la cui risoluzione è lasciata agli studenti.
E' previsto un progetto di tutorato a supporto dell'attività didattica, principalmente per fornire aiuto nella risoluzione degli esercizi proposti attraverso la piattaforma e-learning.
Materiale didattico
Testo di riferimento:
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
Ulteriori testi consigliati:
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
Alla pagina e-learning del corso saranno rese disponibili dispense su alcuni argomenti.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La verifica del profitto si articola in due prove, una scritta ed una orale, valutate sulla base della correttezza, della completezza, del rigore e della chiarezza delle risposte fornite.
- Prova scritta. Della durata di 120 minuti, consiste in:
- alcuni esercizi a risposta aperta, simili a quelli proposti nelle esercitazioni, utili a valutare la capacità di applicare i risultati teorici nella risoluzione di problemi;
- un quesito di tipo teorico, articolato in più punti, in cui è richiesto di fornire definizioni ed enunciati di teoremi o discutere esempi e aspetti di argomenti trattati nel corso.
- Prova orale. L'ammissione a questa prova è subordinata al superamento della prova scritta. La prova consiste in una prima parte in cui viene discussa la prova scritta e in una seconda parte utile a valutare la conoscenza e la padronanza di definizioni, teoremi e dimostrazioni discussi durante il corso. Il voto proposto al termine della prova tiene conto di entrambe le parti, della prova scritta e dell'eventuale bonus maturato. Tale voto costituisce il voto finale dell'esame.
Il punteggio massimo è di 33 punti, di cui fino a 27 per la risoluzione degli esercizi e fino a 6 per il quesito teorico. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio complessivo non inferiore a 15.
L'esame è superato se il voto finale è pari a 18 o superiore.
Con cadenza regolare durante il corso sono assegnati esercizi che, se consegnati entro i termini stabiliti, sono valutati e danno diritto ad un bonus che concorre al raggiungimento della soglia per l'ammissione alla prova orale e alla valutazione finale. Tale bonus decade dopo i primi due appelli.
È previsto l'esonero dalla prova orale per chi ottiene almeno 21 punti nella prova scritta. In tal caso, detto S il punteggio ottenuto nella prova scritta incrementato dell'eventuale bonus maturato, sarà possibile verbalizzare direttamente il voto minimo tra S e 25. Si noti che l'eventuale bonus maturato non concorre al conseguimento dell'esonero dalla prova orale. Si noti altresì che per verbalizzare un voto maggiore di 25 è necessario sostenere la prova orale.
Sono previste prove parziali che, se superate, permettono di ottenere l'esonero dalla prova scritta.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
In line with the educational objectives of the Degree in Mathematics,
the course aims to provide an introduction to linear algebra with applications to geometry, essential to prepare the student to understand the mathematics that will be taught in other courses.
Students are expected to gain knowledge of fundamental notions on vector spaces, diagonalization of endomorphisms and scalar products. They are also expected to gain the ability to reproduce the proofs
presented in the course, to solve easy problems using the techniques they have learned,
and to delve further, with or without guidance, into some of the results presented during
the course.
Contents
Detailed program
- Matrix
calculus.
- Systems
of linear equations.
- Affine subspaces of Rn and their representations. Distance and orthogonality in Rn
- Vector
spaces.
- Linear
maps and matrices.
- Determinants.
- Eigenvalues, eigenvectors, characteristic polynomial, diagonalization.
- Dual space.
- Scalar
and Hermitian products; Sylvester Theorem.
- Self-adjoint, orthogonal, unitary operators.
- Spectral Theorem.
Prerequisites
Good knowledge of high school mathematics.
Teaching form
The course is organized in Lectures (48 hours, 6 CFU) and Exercise classes (24hours, 2CFU). Definitions, results, and relevant theorems will be discussed in Lectures, providing examples and problems making use of the notions introduced. Exercises on the subject matters covered in the lectures are presented and solved during Exercise classes.
Some exercise sets will be made available regularly on the e-learning website to encourage participation.
A tutor will provide students with support in solving the exercises published on the e-learning website.
Textbook and teaching resource
Reference book:
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
Other resources:
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
Lecture notes on the e-learning webpage.
Semester
First semester.
Assessment method
Written and oral exams, evaluated on the basis of correctness, completeness, precision, and clarity of the answers.
- Written exam. It consists of two parts:
- exercises (with open-ended questions) for evaluating the ability to apply the theoretical results in solving problems;
- a theoretical question where the student is asked to answer by giving definitions, statements of theorems, and provide examples and motivations.
- Oral exam. Having passed the written exam is required to attain the oral exam. It consists of two parts: in the first part the written exam is discussed, in the second part is required to answer questions to evaluate knowledge of definitions, theorems, and proofs. Together with the score of the written part, both parts are taken into account in forming the final score.
Homework assigned during the tutoring sessions will contribute to the final score.
The exam is passed if the final score is at least 18 points.
Scoring at least 21 in the written exam yields the exemption from the oral exam. In this case, the final score will be the minimum between S and 25, being S the score of the written part increased by the score gained with homework.
Partial tests (not mandatory) yield exemption from the written exam.
Office hours
By appointment.