Syllabus del corso
Obiettivi
Apprendere i metodi alla base delle soluzioni delle equazioni differenziali alle derivate parziali della Fisica Matematica.
Contenuti sintetici
Introduzione alle classiche equazioni a derivate parziali della fisica matematica e ai
modelli fisici da esse
rappresentati: equazione delle onde, equazione del calore, equazione di Laplace. Metodi di soluzione.
Programma esteso
- Introduzione alle equazioni alle derivate parziali.
- Equazioni di Maxwell, equazione del trasporto ed equazioni di Eulero.
- Equazione del trasporto
- Caratteristiche e soluzione del problema ai dati iniziali
- Effetti di sorgenti e velocità dipendenti dallo spazio e dal tempo
- Equazione delle onde
- Deduzione da modelli fisici (D'Alembert e Lagrange)
- Soluzione in 1D
- Caratteristiche e cono causale.
- Dipendenza dalle dimensioni dello spazio: principio di Huygens e soluzione di Kirchhoff (3D)
- Invarianza di Lorentz
- Effetti di sorgenti e bordi (Neumann e Dirichlet)
- Buona positura
- Equazione del calore (diffusione)
- Deduzione da modelli fisici (legge di Fick e derivazione probabilistica alla Einstein)
- Soluzioni autosimilari
- Soluzione fondamentale e soluzione del problema ai dati iniziali
- Principio del massimo debole
- Effetti di sorgenti e bordi (Neumann e Dirichlet)
- Buona positura
- Confronto tra equazione delle onde e del calore.
- Nozione di relazione di dispersione.
- Equazione di Laplace
- Soluzioni radiali
- Prima e seconda identità di Green
- Proprietà della media per funzioni armoniche
- Principio del massimo forte per funzioni armoniche
- Principio di Dirichlet
- Condizioni al bordo di Neumann (condizioni di compatibilità) e Dirichlet
- Equazione di Poisson: formula di rappresentazione e soluzione generale
- Funzioni di Green
- Metodo delle cariche immagine
- Distribuzioni
- Definizione e proprietà fondamentali
- Delta di Dirac e funzioni di Green
- Metodo della trasformata di Fourier per calcolo di propagatori
- Soluzioni deboli
- Equazione di Burgers-Hopf
- Caratteristiche e problema ai dati iniziali.
- Shock e loro regolarizzazione.
Prerequisiti
Fondamenti dell’analisi classica (I & II). Elementi della geometria degli spazi euclidei finito dimensionali. Fondamenti di Fisica (I &II)
Modalità didattica
Lezioni frontali
Materiale didattico
Testo di riferimento:
W. Strauss Partial differential equations, Wiley&Sons
Testi consigliati:
S.Salsa Partial differential equations in action, Springer
L.C. Evans, Partial differential equations, AMS
G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley&Sons
Periodo di erogazione dell'insegnamento
2o semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale: soluzione di esercizi, enunciati e dimostrazioni di teoremi, esempi importanti, derivazione fisica di equazioni, soluzione di esercizi proposti durante il corso.
Nel caso di grandi numeri di iscritti o di problemi logistici, la prova orale potrà svolgersi parzialmente o totalmente attraverso uno scritto.
Cinque appelli (gennaio-febbraio , giugno, luglio, settembre)
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
Learning the methods for the solution of partial differential equations of Mathematical Physics.
Contents
Introduction to classical partial differential equations of mathematical physics and to the related models: Laplace equation, heat equation and wave equation. Solution methods.
Detailed program
- Introduction to partial differential equations:
- Maxwell equations, transport equation and Euler equations
- Transport equation
- characteristics and solution of the initial value problem
- Wave equation
- Physical models (D'Alembert e Lagrange)
- Characteristics and casual cone
- Dependence on the space dimensions: Huygens principle and Kirchhoff solution
- Lorentz invariance
- Effects of sources and boundaries (Neumann e Dirichlet)
- Well-posedness
- Heat equation (Diffusion equation)
- Physical models (Fick law and probabilistic derivation à la Einstein)
- Self-similar solutions
- Fundamental solution and solution of the initial value problem
- Weak maximum principle
- Effects of sources and boundaries (Neumann e Dirichlet)
- Well-posedness
- Comparison between wave and heat equation. Dispersion relation.
- Hints about the Schroedinger equation
- Laplace equation
- Radial solutions
- First and second Green identities
- Mean property for harmonic functions
- Strong maximum principle for harmonic functions
- Dirichlet principle
- Neumann boundary condition (compatibility conditions) and Dirichlet boundary conditions
- Poisson equation: representation formula and general solution
- Green functions
- Method of images
- Distributions
- Definition and main properties
- Dirac delta and Green functions
- Fourier transform method for computation of propagators
- Weak solutions
- Burgers-Hopf equation
- Characteristics and initial value problem.
- Shocks and their regularization.
Prerequisites
Elements of classical Analysis (I & II). Elements of finite dimensional Euclidean geometry. Elements of Physics (I & II)
Teaching form
Lectures
Textbook and teaching resource
Textbook:
W. Strauss Partial differential equations, Wiley&Sons
Suggested readings:
S.Salsa, Partial differential equations in action, Springer
L.C. Evans, Partial differential equations, AMS
G. B. Whitham, Linear and nonlinear waves, Wiley&Sons
Semester
2nd semester
Assessment method
Oral exam: solution of exercises, statements and proofs of theorems, relevant examples and physics derivation of equations, solutions of exercises proposed in class.
In some cases the oral examination could be transformed, partially or totally, in written questions.
Five exam sessions (January-February, June, July, September).
Office hours
By appointment.
Scheda del corso
Staff
-
Giovanni Ortenzi