Course Syllabus
Obiettivi
l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze di base per lo studio di problemi di analisi matematica avanzata. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere le tecniche dimostrative per risolvere esercizi e affrontare problemi di analisi matematica.
Contenuti sintetici
Spazi di Banach. Spazi Lp. Spazi di Hilbert. Serie di Fourier. Convoluzione. Trasformata di Fourier. Teorema di Baire. Teorema della Mappa Aperta. Teorema di Banach-Steinhaus. Spazio duale. Convergenza debole.
Programma esteso
Definizione ed esempi di spazi di Banach. Definzione di L^p (X, μ). Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Completezza di L^p (X, μ). Inclusioni di spazi L^p (X, μ), μ finita. Inclusioni di spazi L^p(Z). Relazioni tra convergenze in norma p, in misura e puntuale. Convoluzione. Identità approssimata. Densità di Cc (Rn ) e dello spazio di Schwartz in L^p (Rn ). Operatori lineari tra spazi vettoriali normati. Spazio Duale. Enunciato del teorema di Hahn Banach. Dualità degli spazi Lp (solo enunciato). Definizione degli spazi di Sobolev.
Definizione di prodotto interno. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di spazio di Hilbert. Punti di minima distanza da un chiuso convesso. Teorema delle proiezioni. Disuguaglianza di Bessel. Sistemi ortonormali completi. Formula di Parseval. Ortogonalizzazione di GramSchmidt. Serie di Fourier per funzioni in L^1(T), T toro. Nucleo di Dirichlet. Nucleo di Fejer. Convergenza in L2, uniforme e puntuale delle serie di Fourier.
Teorema di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus e applicazioni. Teorema della mappa aperta e del grafico chiuso. Divergenza delle serie di Fourier. Non suriettivita' della trasformata di Fourier da L1(T) in c_0(Z).
Definizione e prime proprietà della trasformata di Fourier. Cenni alla teoria delle distribuzioni.
Prerequisiti
Topologia elementare. Algebra lineare. Calcolo differenziale ad una e piu' variabili. Calcolo integrale. Teoria della misura. Numeri complessi.
Modalità didattica
Lezioni frontali in aula, suddivise in: lezioni teoriche in cui vengono fornite le conoscenze su definizioni, risultati ed esempi rilevanti e altre lezioni in cui gli studenti risolvono gli esercizi alla lavagna mostrando le loro capacità di utilizzare le nozioni precedenti per affrontare i problemi di analisi matematica.
Materiale didattico
W. Rudin "Real and Complex Analysis"
G.B. Folland "Real Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Fourier Analysis"
Note del docente
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova scritta.
La prova scritta consiste in esercizi volti a verificare la comprensione dei
contenuti del corso, l'abilità di applicare alla risoluzione di problemi le tecniche dimostrative apprese , la chiarezza espositiva. A ogni esercizio verrà
attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua
difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato
un punteggio in ragione
dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e
dell'organicità dello svolgimento. Il punteggio massimo per lo scritto è 33.
Gli esercizi proposti sono in linea con quelli svolti durante le lezioni.
L'ammissione alla prova orale avviene con una valutazione dello scritto maggiore o uguale a 16.
La durata della prova scritta è generalmente di due ore.
Prova orale
L'esame orale consiste in una discussione dello scritto e in
domande di carattere teorico (definizioni e teoremi con dimostrazione). Nella prova orale verranno valutate la conoscenza e la comprensione del contenuto del corso, nonché la capacità di organizzare
in modo lucido, efficace e ben strutturato un'esposizione coerente e
puntuale.
Il voto finale è dato dal punteggio della prova scritta a cui vengono sommati o sottratti punti in sede di orale.
Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Aims
Contents
Banach Spaces. Lp spaces. Hilbert spaces. Fourier series. Convolution. Fourier transform. Baire's Theorem. Open mapping Theorem. Banach Steinhaus Theorem. Dual space. weak convergence.
Detailed program
Definition of Banach space. Examples.
Definition of L ^ p (X, μ), μ positive measure.
Holder and Minkowski inequalities.
Completeness of L ^ p (X, μ).
Inclusions of spaces L ^ p (X, μ), finite μ.
Inclusions of spaces L ^ p (Z).
Relations between pointwise convergence, convergence in Lp, and in measure.
Density of Cc (Rn), Coo (Rn) and of the Schwartz space in L p (Rn).
Duality of Lp spaces (only statement).
Hilbert spaces.
Inner product.
Cauchy-Schwarz Inequality.
Hilbert space.
Points of minimum distance from a closed convex.
Projection theorem.
Bessel inequality.
Complete orthonormal systems.
Parseval formula.
Gramschmidt process.
Fourier series for functions on the thorus
Dirichlet kernel.
Convergence in L2.
Pointwise convergence.
Linear operators between normed vector spaces.
Dual space.
Baire's theorem.
The Banach-Steinhaus Theorem.
Divergence of the Fourier series.
Open Mapping Theorem.
Closed Graph Theorem.
Non surjectivity of the Fourier transform from L 1 (T) into c_0 (Z).
Weak convergence.
Teaching form
Lectures in the classroom, divided into: theoretical lessons in which the knowledge about definitions, results and relevant examples is given and other lessons in which students solve exercises at the blackboard showing their abilities to use the previous notions to deal with analitical problems.
Textbook and teaching resource
W. Rudin "Real and Complex Analysis"
G.B. Folland "Real Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Fourier Analysis"
Notes
Semester
Second semester
Assessment method
Written and oral exam.
Written exam
The written exam consists of exercises aimed at verifying the understanding of the course contents, the ability to apply the learning demonstration technique, the exposition clarity . Each exercise will be given a maximum partial score, due to its difficulty and length. In the evaluation of the student a score will be assigned based on the accuracy, completeness, rigor, clarity and organic nature of the performance. The maximum grade for the written exam is 33.
The proposed exercises are in line with those carried out during the lessons.
The student is admitted to the oral exam with an evaluation of at least 16.
The oral exam consists in a discussion of the written exam and in theoretical questions (definitions and theorems with proofs). In the oral exam the knowledge and understanding of the course content will be evaluated, as well as the ability to organize a coherent and punctual exhibition in a lucid, effective and well-structured manner.
The final grade is given by the grade of the written exam to which points are added or subtracted in the oral exam.
Office hours
By appointment.
Key information
Staff
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Bianca Di Blasio