Syllabus del corso
Obiettivi
L'obiettivo di questo insegnamento è di presentare sia dal punto di vista teorico sia algoritmico gli argomenti di base del Calcolo Numerico che devono far parte del bagaglio culturale di qualunque laureato in matematica.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
Conoscenze
- Conoscenza e comprensione dei metodi fondamentali del Calcolo Numerico che comprendono sia enunciati sia teoremi e relative dimostrazioni.
- Conoscenza e comprensione delle problematiche che intervengono nell'ambito numerico.
Capacità
- Capacità di tradurre la teoria studiata in esempi concreti tramite la costruzione di algoritmi e relativa implementazione.
- Capacità di scegliere il metodo numerico più adeguato in relazione al problema.
- Capacità di analizzare in modo critico i risultati degli esempi ed esercizi proposti.
- Capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso sia le loro applicazioni a situazioni specifiche.
Contenuti sintetici
Gli argomenti trattati sono:
- Aritmetica Floating Point dei calcolatori
- Metodi Numerici per l'Algebra Lineare: sistemi lineari, calcolo degli autovalori
- Approssimazione di zeri di funzioni reali
- Interpolazione polinomiale
- Metodo dei minimi quadrati e decomposizione QR
- Formule di quadratura per l'approssimazione degli integrali definiti
Programma esteso
- Aritmetica floating point: Rappresentazione dei numeri reali, Numeri rappresentabili in un calcolatore, Approssimazione dei numeri reali su un calcolatore, Operazioni tra numeri floating point, Il rounding to even, Calcolo delle funzioni elementari;
- L'algoritmo di eliminazione di Gauss e la decomposizione PA=LU: Sistemi lineari, Algoritmo di eliminazione di Gauss, La decomposizione PA=LU;
- Richiami di algebra lineare: Prodotti scalari e norme, Norme su Rn, Norme di matrici;
- Stabilità dell'algoritmo di Gauss: Analisi delle perturbazioni di un sistema lineare, Applicazione all'algoritmo di Gauss;
- Decomposizione di Cholesky: Matrici simmetriche e definite positive, Decomposizione di Cholesky, Applicazione alla soluzione di un sistema lineare;
- Metodi iterativi per i sistemi lineari: Motivazioni, Metodi iterativi per sistemi di equazioni lineari, Criteri di arresto;
- Autovalori: Cerchi di Gershgorin, Dipendenza degli autovalori dalle perturbazioni di A, Metodo delle potenze;
- Zeri di Funzione: Il metodo di bisezione, Il metodo di Newton e sue varianti, Valutazione sperimentale dell'ordine di convergenza, Il metodo di Brent, algoritmo di MATLAB;
- Interpolazione polinomiale: Il teorema di Weierstrass, Interpolazione, Analisi degli algoritmi di interpolazione, Condizionamento dell'interpolazione, Interpolazione di funzioni;
- Funzioni spline
- Minimi quadrati e fattorizzazione QR: Sistemi sovradeterminati, Interpretazione geometrica, Decomposizione QR, Regressione lineare, Uso della decomposizione A=QR per risolvere un sistema lineare;
- Formule di quadratura: Formule di quadratura di tipo interpolatorio, Formula del trapezio, Formula di Simpson, Formule di quadratura di Newton-Cotes, Metodi di quadratura adattivi.
Prerequisiti
Gli insegnamenti di Analisi 1 e di Algebra Lineare e Geometria.
Modalità didattica
Lezioni (8 CFU, 64 ore), esercitazioni (4 CFU, 48 ore).
Corso erogato in lingua italiana.
Materiale didattico
Note a cura del docente e videoregistrazione delle lezioni disponibili sul sito del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova pratica al calcolatore seguita da prova teorica/orale. Valutazione finale con voto in trentesimi 18-30/30.
Nella prova pratica al calcolatore si valuta la conoscenza degli algoritmi sviluppati durante il corso e la capacità di scrivere programmi in MATLAB per la risoluzione di semplici problemi numerici.
Nella prova teorica/orale dapprima viene discussa la prova pratica al calcolatore e poi si valuta la conoscenza e la comprensione delle definizioni, dei teoremi e delle tecniche di calcolo introdotte nel corso e la capacità di esporre quanto richiesto in modo chiaro, con rigore e con linguaggio matematico appropriato anche fornendo esempi e controesempi.
La prova pratica viene valutata con voto in trentesimi 18-30/30 e per accedere alla prova teorica/orale è necessario ottenere la sufficienza. La valutazione finale complessiva tiene conto di entrambe le prove.
La prova pratica e la prova teorica/orale devono essere tenute nella stessa sessione di esami (gennaio-febbraio, giugno-luglio, settembre).
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The aim of this course is to present the basic topics of Numerical Analysis, both from the theoretical and algorithmical point of view, that every Mathematician should know.
The learning outcomes are:
Knowledge:
- Knowledge and understanding of the fundamental techniques of Numerical Analysis, including theorems and proofs;
- Knowledge and understanding of the scientific problems related to numerical analysis.
Skills:
- Being able to translate the theoretical results into algorithms;
- Choose the right numerical method to solve a given problem;
- Critical analysis of the results;
- Being able to present in a clear and precise way the theoretical results shown in the course and their practical applications.
Contents
The main topics are:
- Floating Point Arithmetic
- Numerical Linear Algebra: linear systems, eigenvalues computation
- Root-finding algorithms
- Polinomial Interpolation
- Least squares method and QR decomposition
- Quadrature Formulas
Detailed program
- Floating Point Arithmetic: Representation of real numbers, Representable numbers, Approximation of real numbers on a computer, Floating point arithmetic, Rounding to even, Computation of elementary functions;
- Gaussian elimination and the decomposition PA=LU: Linear systems, Gaussian elimination, Decomposition PA=LU;
- Topics in linear algebra: Scalar products and norms, Norms in R^n, Matrix norms;
- Stability of the Gaussian elimination: Perturbation of a linear system, Application to the Gaussian elimination;
- Cholesky decomposition: Symmetric and positive definite matrices, Cholesky decomposition, Application to the solution of a linear system;
- Iterative methods for linear systems: Motivations, Iterative methods for systems of linear equations, Stopping criteria;
- Eigenvalues: Gershgorin circles, Perturbation analysis of eigenvalues, Power method;
- Root-finding: Bisection method, Newton methods and variations, Experimental measurement of the order of convergence, Brent method, MATLAB implementation;
- Polynomial interpolation: Weierstrass theorem, Interpolation, Analysis of interpolation algorithms, Conditioning, Interpolation of functions;
- Splines;
- Least squares and QR factorization: Overdetermined linear systems, Geometrical interpretation, QR decomposition, Linear regression, Using QR factorization to solve linear systems;
- Quadrature formulas: Interpolatory quadrature formulas, Trapezoidal rule, Simpson rule, Newton-Cotes formulas, Adaptive quadrature formulas.
Prerequisites
First year courses Analisi 1 and Algebra Lineare e Geometria.
Teaching form
Lessons (8 CFU, 64 hours), exercise classes (4 CFU, 48 hours).
The course is taught in italian.
Textbook and teaching resource
Teacher's notes and recordings of the lectures are available on the web site of the course.
Semester
1st semester.
Assessment method
Practice test on the computer followed by oral examination. Final mark out of 30.
In the first part of the examination the student will be assigned a few problems in numerical analysis to be solved on the computer using the MATLAB codes developed during the course.
The second part is a standard oral examination which requires the exposition of statements and proofs of the theorems, definitions, examples/counterexamples and computational techniques. The practice test will also be discussed.
In order to take the oral examination, the students need to pass the practice test with a mark of at least 18 out of 30. The final mark will take into account both tests.
The practice test and the oral examination must be taken in the same session (January-February, June-July, September).
Office hours
On appointment.