Syllabus del corso
Obiettivi formativi
L'obiettivo principale del Corso è quello di abilitare gli studenti ad un utilizzo consapevole delle fondamentali tecniche di calcolo infinitesimale (differenziale ed integrale) per funzioni di una variabile reale. Le competenze acquisite nel Corso li mettono in grado di:
1) interpretare un'asserzione riguardante i contenuti del Corso ed espressa in linguaggio matematico;
2) utilizzare gli strumenti di base del calculus differenziale ed integrale (limiti, derivate, serie ed integrali) per funzioni di una variabile;
3) analizzare alcune proprietà di una funzione di una variabile reale con gli strumenti standard forniti dal calculus differenziale ed integrale (comportamento asintotico, esistenza di zeri, derivabilità, monotonia e simmetrie, proprietà estremali ovvero presenza e localizzazione di punti di massimo e di minimo, integrabilità).
Contenuti sintetici
I contenuti del Corso possono essere schematicamente suddivisi nei seguenti nuclei concettuali, tra loro strettamente interconnessi:
1) stime asintotiche (limiti, soprattutto nella prospettiva di valutare forme di indecisione);
2) calcolo differenziale (calcolo di derivate prime e successive) e sue applicazioni;
3) serie;
4) integrabilità e calcolo integrale.
Programma esteso
Insiemi e funzioni e terminologia ad essi relativa. Cenni sulle cardinalità.
Un insieme speciale: l'insieme dei numeri reali; sue proprietà metriche ed aritmetiche. Estremo superiore.
Funzioni e successioni numeriche: il limite e sue proprietà; monotonia e simmetrie; continuità; forme di indecisione.
Calcolo differenziale per funzioni di una variabile reale: derivata prima, sue proprietà e regole di calcolo; derivata seconda e successive; applicazione a stime asintotiche ed allo studio del grafico di una funzione; formula di Taylor.
Serie numeriche: carattere e criteri per l'esame del carattere di una serie. Sviluppi in serie maggiormente utilizzati (funzioni seno, coseno, esponenziale e logaritmo).
Integrale definito ed indefinito, sue proprietà e tecniche di calcolo fondamentali.
Integrale generalizzato: criteri di integrabilità di funzioni non limitate e/o su intervalli d'integrazione non limitati.
Prerequisiti
Il Corso non prevede formalmente propedeuticità interne al corso di laurea. E' però fortemente consigliata allo studente un ripasso (eventualmente guidato da tutor) degli argomenti di matematica tipicamente presenti nei programmi delle scuole secondarie superiori. Più precisamente:
1) algebra: equazioni di primo e secondo grado, principio di annullamento del prodotto ed identità dei polinomi;
2) geometria analitica: equazioni di rette, coniche (parabole, ellissi, iperboli), funzioni esponenziali e logaritmiche;
3) trigonometria piana: angoli in radianti, funzioni seno, coseno, tangente, identità fondamentale della trigonometria, formule di addizione, duplicazione e di bisezione.
Metodi didattici
Il Corso viene svolto attraverso lezioni frontali in aula, erogate in italiano.
Le lezioni frontali si propongono di trasmettere l'idea che sta alla base di un concetto o nozione matematici inclusi nel programma, e di abituare lo studente alla sua formalizzazione. Con questi presupposti, lo studente viene condotto ad una corretta interpretazione di asserzioni relative ai contenuti e, successivamente, alla loro applicazione per la risoluzione di vario genere di problemi. Al fine di implementare con efficacia questo schema di trasmissione dei contenuti (cioè, nozione-formalizzazione-relazione con altre nozioni (teoremi)-tecniche di calcolo ed utilizzo in contesti applicativi), durante le lezioni viene dato ampio spazio alla discussione di esempi sia di specifiche nozioni, in casi particolarmente significativi ed illuminanti, sia dell'applicazione di tecniche di calcolo e risoluzioni di problemi ad esse relativi.
Vengono anche proposti allo studente percorsi (opzionali) di verifica del proprio apprendimento, durante l'erogazione del corso, attraverso molteplici serie di esercizi da svolgersi in autonomia, poi discussi in apposite sessioni di confronto con i tutor. L' occasione fornisce la possibilità di interagire con il personale docente (titolare del corso e tutor), anche al fine di evidenziare criticità nella fase di apprendimento.
N.B.: Nel periodo di emergenza Covid-19, in conformità con le disposizioni in materia di sicurezza pubblica emanate dalle autorità competenti, le lezioni si svolgeranno in modalità mista: parzialmente in presenza (con lezioni comunque videoregistrate e rese disponibili in modalità asincrona) e lezioni videoregistrate.
Modalità di verifica dell'apprendimento
La modalità di verifica si basa su una prova scritta, e, in caso di superamento della prova scritta, su una prova orale facoltativa, su richiesta. In alternativa alla prova scritta, lo studente può sostenere due prove scritte in itinere (prove parziali) che avranno luogo una sola volta durante l'anno accademico, rispettivamente a metà circa del Corso e subito dopo il termine delle lezioni.
Le prove scritte, sia parziali che comprensive di tutto il programma, posseggono la medesima struttura. Esse sono volte ad accertare l'acquisizione di competenze teoriche, di tecniche di calcolo e d'utilizzo dei principali strumenti, e di capacità di risolvere problemi analoghi a quelli discussi in aula durante le lezioni del Corso.
Esse si strutturano in due parti. La prima parte si compone di TEST A RISPOSTE CHIUSE (quesiti con scelta risposta multipla) sugli argomenti principali del Corso, con la finalità di rilevare l'acquisizione dei fondamentali del programma ed il suo superamento è necessario per accedere alla seconda parte. Quest'ultima contiene PROBLEMI e DOMANDE APERTE. Nella risoluzione di problemi diventa necessario render conto dei principi e degli strumenti di volta in volta impiegati nell'approccio risolutivo, mentre delle domande aperte è richiesta una succinta ma pertinente esposizione teorica (ad esempio, la definizione formale di nozioni, la formulazione di enunciati e, ove previsto, la loro giustificazione, il confronto tra nozioni, esempi e/o controesempi) degli argomenti in programma.
La prova orale, facoltativa, è intesa ad accertare l'apprendimento di tutti gli elementi di teoria proposti a lezione nonchè la capacità di applicazione degli stessi. Essa prevede pertanto un COLLOQUIO DI DISCUSSIONE SULLO SCRITTO, seguito da un COLLOQUIO SU ARGOMENTI SVOLTI A LEZIONE.
Nel caso di suo superamento dell'esame, il voto finale è determinato dalla somma del voto conseguito nella prima parte, e del voto conseguito nella seconda parte. Nel caso delle prove in itinere, il voto finale è determinato come media aritmetica (ove necessario approssimata per eccesso) delle due votazioni conseguite (alla prima ed alla seconda prova).
In caso di superamento della prova scritta e della prova orale, il voto finale sarà determinato dalla media tra l'esito della prova scritta e della prova orale.
N.B.: Nel periodo di emergenza Covid-19, l'organizzazione delle prove (parziali e non) d'esame subirà variazioni, in funzione del rispetto delle disposizioni di sicurezza sanitaria emanate dalle autorità competenti. Gli esami orali avranno luogo in modalità telematica. Verranno svolti utilizzando la piattaforma WebEx e nella pagina e-learning dell'insegnamento verrà riportato un link pubblico per l'accesso all'esame di possibili spettatori virtuali.
Testi di riferimento
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2011
A. Guerraggio, Matematica, Pearson, 2014.
Ulteriore materiale, in particolare esercizi (proposti e risolti) per la verifica dell'apprendimento o simulazioni di prove d'esame, è reso disponibile sulla pagina dedicata al corso.
Le lezioni videoregistrate saranno rese disponibili ad uso degli studenti sulla pagina in e-learning dedicata al corso.
Periodo di erogazione dell’insegnamento
ll Corso viene erogato nel primo semestre dell'Anno Accademico.
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course mainly aims at enabling students to an aware use of basic techniques of infinitesimal (differential as well as integral) calculus for functions of one real variable. The skills gained through the course allow them:
1) to understand a statement concerning contents of the course and expressed in mathematical terms:
2) to make use of basic tools of differential and integral calculus (limits, derivatives, series ed integrals) for functions of one real variable;
3) to analyze properties of functions by means of the standard tools provided by the differential and integral calculus (such as asymptotic behaviour, existence of zeros, differentiability, monotonicity and symmetry, extremal properties, namely existence of minimizers/maximizers and their determination, integrability).
Contents
The contents of the course can be schematically arranged in three intertwined parts:
1) asymptotic estimates (limits of functions);
2) differential calculus (first order derivative and beyond) and its applications;
3) series;
4) Riemann integrability of functions and integral calculus.
Detailed program
Sets and functions and related terminology. Some cardinal numerals.
A peculiar set: the real number set; its fundamental metric and arithmetic properties. Upper bound of a subset of the real number set.
Scalar functions and sequences: the notion of limit and its properties; monotonicity and symmetry; the property of continuity and its relationship with the limit; infinitesimal and asymptotic behaviour.
Differential calculus for real univariate functions: first derivative, its basic properties and differentiation rules; second and further derivatives; their use in asymptotic estimates and in drawing a function graph; Taylor's formula.
Series: behaviours and convergence criteria. Main Mc Laurin's series (sin, cos, exp and log).
Integral: definite integral and anti-derivative (indefinite integral), main properties and calculation techniques.
Generalized integral: integrability criteria in the case of unbounded functions and/or in the case of unbounded integration domains.
Prerequisites
No inner prerequisite. A refreshement (guided, in case, by a tutor) is strongly advised, which should concern the main topics typically taught at the high school. More prcisely:
1) algebra: solving algebraic equations of first and second degree, polynomial identity;
2) Cartesian geometry: lines, conics, exponential and logarithmic functions;
3) trigonometry on the plane: angles in radiant, sthe main trigonometric functions and formulae.
Teaching methods
Class lectures.
During the teaching period, some exercise sessions are organized.
Assessment methods
Students are supposed to pass a written examinaton. For all those students who have passed the written examination, an oral examination is upon request. Interim assessments are also organized.
A written examination, mid-term and complete, aims at certifying the student skills about theoretical contents and calculus techniques provided in the course, as well as their capability in problem solving.
It consists of a test containing closed questions, a section containing problems and open questions.
Material for exam simulations is also provided.
Textbooks and Reading Materials
M. Bramanti, C.D. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2008
S. Salsa, A. Squellati, Esercizi di Analisi matematica 1, Zanichelli, Bologna, 2011
A. Guerraggio, Matematica, Pearson, 2014.
Some additional material, in particular anthologies of exercises (with solution and comments) and exam simulations, are provided in e-learning.
Semester
First semester
Teaching language
Italian