Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso intende dare allo studente gli strumenti matematici di base per la comprensione di semplici
modelli matematici in economia. Nello specifico l'obiettivo del corso è quello di insegnare allo studente l'analisi di
funzioni di variabili reali, con cenni al calcolo in due variabili.
Contenuti sintetici
Funzioni reali di variabili reali.
Programma esteso
UNITA' 1 - Funzioni reali di una variabile reale:
Insiemi N,Z,Q, R. Insieme superiormente/inferiormente limitato; intervalli; estremo superiore/inferiore/massimo/minimo di un insieme.
Definizione di funzione; calcolo del campo di esistenza; definizione di immagine, insieme immagine, controimmagine, insieme
controimmagine, grafico; uso dell'espressione analitica di una funzione. Uso del grafico di una funzione; funzione iniettiva, suriettiva,
biettiva; funzioni inferiormente/superiormente limitate; estremo inferiore/superiore di una funzione; minimo/massimo, punto di
minimo/massimo di una funzione; funzione pari/dispari; monotonia di una funzione. Operazioni con funzioni, composizione,
inversione. Trasformazioni semplici di grafici. Traslazioni orizzontali/verticali, riflessioni orizzontali/verticali; riflessioni parziali
orizzontali/verticali; riscalamenti. Trasformazioni composte di grafici.
UNITA' 2 - Limiti:
Retta reale estesa e intorni; definizione di punto interno, esterno, di frontiera, isolato, di accumulazione; definizione
di limite, limite destro/sinistro, limite per eccesso/per difetto; lettura di limiti dal grafico. Teorema di unicità del limite
(con dim.), teorema di permanenza del segno (con dim.), teorema del confronto (con dim.). Calcolo di limiti.
Continuità. Algebra in R esteso, forme determinate, limiti di funzioni esponenziali, logaritmiche,
arcotangente. Forme indeterminate, tecniche per risolvere alcune forme indeterminate (funzioni
razionali/irrazionali). Equivalenza asintotica e proprietà. Ordini di infinito, gerarchie di infiniti. Funzione trascurabile
(o-piccolo). Limiti notevoli e relative equivalenze asintotiche. Forme indeterminate di tipo esponenziale e tecniche
di soluzione. Ordini di infinitesimo, gerarchia degli infinitesimi, o-piccoli. Continuità (da destra/sinistra) e
discontinuità. Classificazione delle discontinuità. Riconoscimento delle discontinuità dal grafico e dall'espressione
analitica. Asintoti orizzontali, verticali, obliqui. Teorema di Weierstrass con controesempi, teorema dei valor
intermedi con controesempi, teorema degli zeri con controesempi.
UNITA' 3 - Derivate:
Rapporto incrementale e derivata di una funzione in un punto; funzione derivata; derivate di funzioni elementari;
calcolo di derivate. Equazione della retta tangente; legame continuità-derivabilità, punto di flesso a tangente
verticale, di cuspide, angoloso. Regola di de L'Hopital; Teorema di Rolle (con dim.) e controesempi; Teorema di
Lagrange (con dim.) e controesempi; Derivata della funzione inversa. Test di monotonia (con dim.) e controesempi;
definzione di estremi relativi; punto stazionario; Teorema di Fermat (con dim.); definizione di punto critico; Test
della derivata prima per estremi interni. Criterio delle derivate successive; Test della derivata prima per estremi alla
frontiera; definizione di funzione concava/convessa; Test del primo ordine per la concavità; Test del secondo
ordine per la concavità; definizione di punto di flesso. Polinomi di Taylor e McLaurin; Resto di Peano; uso del
polinomio di Taylor per il calcolo di limiti.
UNITA' 4 - Studio completo di funzione e funzioni a due variabili:
Schema generale per lo studio di funzione. Domini analitici e grafici per funzioni reali di due variabili reali; curve di
livello; derivate parziali, gradiente, punti stazionari
Prerequisiti
Teoria degli insiemi. Potenze, logaritmi, esponenziali e loro proprietà.
Disequazioni di primo e secondo grado, disequazioni razionali, disequazioni logaritmiche ed esponenziali. Equazioni cartesiana della retta, della circonferenza, della parabola, equazione della retta passante per due punti. Cenni di trigonometria.
Metodi didattici
La previsione attuale è che l'attività didattica si svolga in presenza.
La modalità didattica sarà comunque consistente con quanto indicato dall'Ateneo,
adeguatamente modificata in itinere a seconda delle indicazioni
dell'Ateneo nel caso le condizioni epidemiologiche lo richiedessero. La
modalità didattica sarà coerente con le indicazioni dell'Ateneo sia per
quanto riguarda le lezioni, sia per le esercitazioni sia per gli
incontri di tutoraggio in preparazione all'esame.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto con 5 esercizi e 3 domande di teoria. Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari;
Esercizio 2: Limiti;
Esercizio 3: Vario;
Esercizio 4: Funzioni a due variabili;
Esercizio 5: Studio completo di funzione.
La prova scritta valuta la correttezza formale dei passaggi, l'adeguatezza del linguaggio matematico adottato, le competenze e le conoscenze acquisite durante il corso.
Una volta superato l'esame scritto, il professore o lo studente possono richiedere un esame orale integrativo. L'orale verte su tutto il programma del corso e può contribuire sia in maniera positiva sia in maniera negativa al voto finale.
Il corso non prevede il frazionamento dell'esame in prove intermedie.
Testi di riferimento
Libri di testo
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Ulteriori testi a cui far eventuale riferimento
Guerraggio, A. (2009): Matematica. Prentice Hall, seconda edizione.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Periodo di erogazione dell’insegnamento
Primo semestre, primo anno.
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course aims at giving to the student the basical mathematics tools in order to treat simple mathematical models
in economics: after the course the student must have capability in
infinitesimal calculus in one variables, with outlines to the calculus
in two variables.
Contents
Real functions of real variables.
Detailed program
UNIT 1 - Real functions of a real variable:
Sets N, Z, Q, R. Upper / lower bounded set; intervals; infimum / supremum / maximum / minimum extremum of a set.
Definition of function; field of existence; definition of image, image set, counter-image,
counter-image set, graph; use of the analytical expression of a function. Use of the graph of a function; injective, surjective bijective function; lower / upper bounded functions; infimum / supremum of a function; minimum / maximum, point of
minimum / maximum of a function; even / odd function; monotonicity of a function. Operations with functions, composition,
inversion. Simple transformations of graphs. Horizontal / vertical translations, horizontal / vertical reflections; partial reflections
horizontal / vertical; rescaling. Composed transformations of graphs.
UNIT 2 - Limits:
Extended real line and neighborhood; definition of internal, external, frontier, isolated, accumulation point; definition
limit, right / left limit, limit from above/below; reading limits from the graph. Uniqueness of the limit theorem
(with proof), theorem of permanence of the sign (with proof), squeeze theorem (with proof). Limit computation.
Continuity. Algebra in R*, determined forms, limits of exponential, logarithmic functions,
arctangent. Indeterminate forms, techniques for solving some indeterminate forms (functions
rational / irrational). Asymptotic equivalence and properties. Infinity orders, infinity hierarchies. Negligible function
(O-small). Fundamental limits and relative asymptotic equivalences. Indeterminate forms of exponential type and techniques
of solution. Orders of infinitesimal, hierarchy of infinitesimal, o-small. Continuity (from right / left) and
discontinuity. Discontinuity classification. Indentification of discontinuities from the graph. Horizontal, vertical, oblique asymptotes. Weierstrass theorem with counterexamples, intermediate value theorem with counterexamples, zeros theorem with counterexamples.
UNIT 3 - Derivatives:
Newton difference quotien of a function at a point; derivative function; derivatives of elementary functions;
computation of derivatives. Tangent line equation; continuity-differentiability link, vertical tangent inflection point, cusp, kink. de L'Hopital's rule; Rolle's theorem (with proof) and counterexamples; Lagrange's theorem (with proof) and counterexamples; derivative of the inverse function. Monotonicity test (with proof) and counterexamples; definition of local extrema; stationary point; Fermat's theorem (with proof); definition of critical point; first derivative test for internal extrema. Subsequent derivatives test; first derivative test for boundary extrema; concave / convex function definition; first order test for concavity; second order
order for concavity; inflection point. Taylor and McLaurin polynomials; use of Taylor polynomial for limit computation.
UNIT 4- Complete function study and two variables-functions:
General scheme for the study of a function. Analytical and graphical domains for real functions of two real variables;
level curves; partial derivatives, gradient, stationary points
Prerequisites
Set theory. Powers, logarithms, exponentials and their properties.
First and second degree inequalities, rational inequalities, logarithmic and exponential inequalities. Cartesian equations of the line, of the circumference, of the parabola, equation of the line passing through two points. Elements of trigonometry.
Teaching methods
At the present state, lessons will take place in presence. Anyway, the
teaching method will be modified in progress, according to the
guidelines of the
University, if the epidemiological conditions will require it. The
teaching methods will be consistent with the University guidelines, for
the lessons in the classrooms as well as the tutoring in preparation for
the
exam.
Assessment methods
Exam
Written exam with 5 exercises and 3 theory questions. The pattern of the exercises is as follows:
Exercise 1: Transformations of graphs of elementary functions;
Exercise 2: Limits;
Exercise 3: General;
Exercise 4: Two-variable functions;
Exercise 5: Complete study of function.
The exam evaluates the formal correctness of the solution steps, the adequacy of the mathematical language adopted, the skills and knowledge acquired during the course.
Once the written exam is passed, the teacher or the student can request an additional oral exam. The oral exam covers the whole course program and can contribute both positively and negatively to the final grade.
The course does not include intermediate tests.
Textbooks and Reading Materials
Textbooks
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Additiona textbooks
Guerraggio, A. (2009): Matematica. Prentice Hall, seconda edizione.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Semester
First semester, first year
Teaching language
Italian