Syllabus del corso
Obiettivi
Gli obiettivi principali del corso sono:
- Fornire conoscenze dei metodi numerici per la integrazione dei sistemi di Equazioni differenziali ordinarie (e/o sistemi dinamici)
- Capacita di costruire (disegnare) ed analizare i diversi metodi numerici per la approssimazione dei sistemi dinamici
- Fornire conoscenze di alcune tecniche per l'assimilazione di dati (per i sistemi dinamici)
- Capacita di scegliere il metodo numerico piú adeguato per problemi concreti
- Capacita di implementare in modo efficiente i diversi metodi numerici
- Capacita di interpretare e analizzare i risoltati numerici
Contenuti sintetici
Il corso si propone di presentare uno studio teorico (e pratico) dei diversi metodi per approssimare equazioni differenziali ordinarie e sistemi dinamici. Gli argomenti trattati comprendono: buona posizione dei problemi di valore iniziale, analisi del metodo di Eulero, metodi di Runge-Kutta, metodi per problemi stiff e integratori geometrici. Nella ultima parte del corso verranno introdotte delle tecniche basilari di assimilazioni di dati; problemi di filtering e di smoothing; Markov Chain Monte Carlo e Metropoli-Hastings (smoothing); Kalman Filter; Ensemble Kalman Filter.
Gli argomenti verrano coperti dal punto di vista matematico, studiando come costruire e analizzare i metodi numerici per ODEs, esplorando le sue proprietà e validando gli algoritmi in problemi concreti.
Programma esteso
0- Introduzione al corso:
Breve introduzione al corso. Richiami della teoria delle equazione (e dei sistemi di equazioni) differenziali ordinari (ODEs). Condizioni di esistenza e unicità. Buona posizione. Richiami della teoria di integrazione numerica (regole di quadratura).
1- Metodi ad un passo :
Metodo di Eulero. Teoria di Convergenza. Metodi Runge-Kutta (RK). Teoria di convergenza. Cenni sulle condizioni di ordine. Extrapolazione di Richardson. Metodi di RK embedded.
2-Metodi di Collocazione (I)
Richiamo delle Regole di Quadrattura di Gauss. Metodo di Collocazione: Costruzione e Teoria di Convergenza. Analisi di convergenza per i metodi di RK impliciti.
3.- Stabilita Lineare e Integratori numerici per problemi Stiff:
Stabilita lineare. Stabilità dei Metodi RK. Problemi Stiff.
Metodo BDF (Backward Differential Formula).
4-Metodi di Collocazione (II)
Implementazione di metodi di RK impliciti. Metodi di Runge-Kutta partizionati e Metodi di tipo Splitting. Definizione di Aggiunto di un metodo.
5.- Introduzione agli Integratori Geometrici:
Sistemi Hamiltoniani. Integratori Geometrici: studio qualitativo delle soluzioni. Conservazione numerica degli invariati. Integratori simmetrici e Reversibilità. Integratori simplettici.
6- Data Assimilation:
Richiami di concetti di probabilita di base. Monte Carlo e Importance Sampling. Markov Chain Montecarlo. Algoritmo di Metropolis-Hastings.Problema di Filtering e Smoothing. Kalman Filter e generalizazioni.
Prerequisiti
Si assumono buone conoscenze di Analisi e di Algebra Lineare.
Buone conoscenze del Analisi Numerico di Base. Buona conoscenze di MATLAB
Auspicabile: buone conoscenze di base di analisi di ODEs , buone conoscenze di base di probabilita
Modalità didattica
Lezioni frontali e nel laboratorio.
MATLAB verra usato per gli esempi, esercizi, e progetti.
Si offrira la possibilita (opzionale!) di usare "flipped classroom" (o inverse-blended teaching) per alcuni argomenti del corso, per gli studenti che vogliano aderire.
Materiale didattico
Verrano distribuite slides del corso e alcune note/dispense per diversi argomenti (tutto in inglese!).
Bibliografia ( diversi capitoli selezionati di ogni libro; tutti sono disponibili come e-book in universita):
-E. Hairer and S. P. Norsett and G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations I ”, Springer, Berlin, 1993.
-E. Hairer and G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations II ”, Springer, Berlin, 1996.
-E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner, “Geometric Numerical Integration”, second edition, Springer, Berlin, 2006.
-B. Leimkuhler and S. Reich, “Simulating Hamiltonian Dynamics”, Cambridge University
Press, 2005.
-K .J. H. Law, A. M. Stuart and K. C. Zygalakis, Data Assimilation: A Mathematical Introduction. Springer, (2015)
MATLAB verra' usato per gli esempi, esercizi, e progetti nel laboratorio.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste di due parti:
--lo sviluppo di un elaborato che riassume un piccolo progetto a scelta e
--una piccola prova finale (orale o scritta) individuale.
Ogni parte verrà valutata indipendentemente e concorrerà in egual misura alla determinazione del voto complessivo finale (sempre che entrambi voti siano maggiore o uguale
a 18). Per sostenere la prova finale individuale e necessario ottenere un punteggio maggiore o uguale a 18 sull'progetto. Il voto finale, espresso in trentesimi con eventuale lode, e' dato dalla
media delle due prove (sempre che entrambi voti siano maggiore o uguale
a 18).
Gli studenti che parteciperanno nella "didattica invertita" (flipped classroom) avranno anche il voto extra della loro esposizione.
Nel progetto si valuta la conoscenza degli algoritmi sviluppati durante il corso
richiedendo la scrittura di alcuni programmi in MATLAB per la
risoluzione di sistemi di ODEs. Viene valutato in termini di completezza, rigore, accuratezza, nonche chiarezza espositiva e capacita di analisi.
Il colloquio orale individuale e' teso ad approfondire il livello delle
conoscenze acquisite; l’autonomia di analisi e giudizio; le capacità
espositive dello studente. In particolare nella suddetta prova orale/scritta si richiede la capacità di esporre gli enunciati e
le dimostrazioni dei teoremi, le definizioni, gli esempi/controesempi e
le tecniche di calcolo introdotte.
Il progetto potrà essere scelto da un elenco, che verrà messo a disposizione verso la fine del corso e ha validità fino al primo appello della successiva edizione del corso. È permesso svolgere il progetto in collaborazione con al più due altre persone (cioe, gruppi di un massimo di tre persone). Va consegnato in formato pdf e descrive i risultati ottenuti in al più 10-15 pagine; si raccomanda di scriverlo autonomamente. Deve essere consegnato, insieme ai nominativi del gruppo, tre-quattro giorni lavorativi prima della data concordata per la prova finale. Parte dell'esame verterà sul contenuto dell'elaborato, che permettera valutare la applicazione delle conoscenze acquisite.
Orario di ricevimento
Il ricevimento e per appuntamento via email.
Aims
The main goals of the course are:
- Knowledge (and understanding) of the different numerical methods for ODEs
- Ability to construct and analyse numerical methods for approximating systems of ordinary differential equations
- Knowledge (and understanding) of some of the techniques of data assimilation.
- Ability to choose the appropriate numerical method for concrete problems
- Ability to interpret and analyse numerical results
- Ability to implement the resulting numerical algorithms efficiently
Contents
This course is concerned with the development and analysis of numerical methods for differential equations. Topics covered include: well-posedness of initial value problems, analysis of Euler's method, Runge-Kutta methods, methods for stiff problems and Geometric numerical integration approaches.
In the last part of the course we will introduce some of basic techniques in data assimilation. In particular the problems of smoothing and filtering will be discussed together with their basic algorithms:Markov Chain Monte Carlo e Metropoli-Hastings (smoothing); Kalman Filter; Ensemble Kalman Filter.
We shall cover the subject from mathematical point of view, studying how to construct modern computational algorithms, exploring their properties and validating the algorithms in concrete problems.
Detailed program
0- Introduction.
Recap of the theory of ordinary differential equations and systems of ODEs. Well posedness results. Recap on numerical integration (numerical quadrature)
1. -One-step schemes:
Euler method. Convergence theory. Explicit Runge-Kutta (RK) methods. Convergence Theory. Hint on Order conditions . Richardson extrapolation. Embedded Runge-Kutta methods.
2.- Collocation methods(I).
Recap on Gaussian Quadrature. Construction of collocation methods. Convergence analysis of implicit RK.
3.- Linear Stability and Stiffness.
Linear Stability lineare. Stability of RK methods. Stiff problems.
BDF method (Backward Differential Formula).
4.- Collocation methods (II). Implementation of implicit RK. Partitioned methods and Splitting methods: Trotter-Lie and Strang splittings.
5.- Geometric integrators.
Hamiltonian Systems. Numerical conservation of invariants. Symmetric integrators. Symplectic integrators. Stormer-Verlet method.
6- Data Assimilation:
Recap of some basic probability theory. Monte Carlo and Importance Sampling. Markov Chain Montecarlo. Metropolis-Hastings algorithm. Filtering and Smoothing problems. Kalman Filter and generalizations.
Prerequisites
Solid knowledge of Analysis, Linear Algebra and basic Numerical Analysis.
Solid knowledge of Ordinary differential equations and basic knowledge of MATLAB
Teaching form
Lectures in class and in the Lab.
We will use MATLAB for all computer examples, exercises and projects.
The students will be given the possibility of adhering to the use of "flipped classroom" (or
inverse-blended teaching)for a few of the topics of the course. This option will be completely optional.
Textbook and teaching resource
Different material will be provided during the course. The course has a big practical component for which we will use MATLAB
We will use several books( several chapters in each of them to cover the different topics)
Bibliography:
-E. Hairer and S. P. Norsett and G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations I ”, Springer, Berlin, 1993.
-E. Hairer and G. Wanner, “Solving Ordinary Differential Equations II ”, Springer, Berlin, 1996.
-E. Hairer, C. Lubich and G. Wanner, “Geometric Numerical Integration”, second edition, Springer, Berlin, 2006.
-B. Leimkuhler and S. Reich, “Simulating Hamiltonian Dynamics”, Cambridge University
Press, 2005.
-K .J. H. Law, A. M. Stuart and K. C. Zygalakis, Data Assimilation: A Mathematical Introduction. Springer, (2015)
Semester
First semester
Assessment method
The evaluation of the course has two parts:
1- the development of a small project
2- a small (oral or written ) exam. Specifics on the oral or written exam will be given later on during the course.
The students who adhere to the flipped classroom will have the extra vote from their exposition.
The small project could be chosen from a list of projects that will be made available to the students towards the end of the course. Students are encouraged to work on the project in groups of at most two or three people. The project should be handed four days before the before the date of the small exam. Part of the small exam will be devoted to the discussion of the project, allowing to validate the knowledge and capabilities of the students related to the course.
Office hours
By appointment (that should be fixed by writing an email to me)
Scheda del corso
Staff
-
Blanca Pilar Ayuso De Dios