Syllabus del corso
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio,
l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze
riguardanti l'acquisizione degli strumenti per la trasmissione di informazione su
canali con rumore, al fine di analizzare procedure di scambio ottimali
nella rilevazione e correzione di errori. Tempo permettendo verranno impartiti alcuni rudimenti su linguaggi di
programmazzione simbolica come Magma e Gap. Tali strumenti servono ad
enfatizzare gli aspetti sperimentali della scoperta matematica. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e analizzare le principali tecniche e metodi dimostrativi connessi all teoria, e le abilità
utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi.
Contenuti sintetici
- Richiami su gruppi ciclici e abeliani, sottogruppi normali, gruppi quoziente, gruppi semplici;
- Programma di Holder, serie di composizione, prodotti diretti, semidiretti e intrecciati, estensioni, coomologia;
- Commutatori, sottogruppi derivati, gruppi nilpotenti e risolubili;
- Generatori e Relazioni, gruppi liberi, Teorema di Schreier;
- Gruppi di permutazioni, transitivita', primitivita', Teorema di O'Nan-Scott;
- Classificazione dei gruppi finiti semplici, algebre di Lie semisemplici, basi di Chevalley, gruppi finiti di tipo Lie.
Programma esteso
- Richiami sulla classificazione dei gruppi ciclici e dei gruppi abeliani finitamente generati, coniugio di elementi e sottogruppi, sottogruppi normali e sottogruppi quoziente, gruppi semplici, esempi: gruppi alterni, semplicita’ di Alt(5), gruppi proiettivi speciali lineari.
- Programma di Holder, serie di composizione e principali, prodotti diretti interni ed esterni, automorfismi, prodotti semidiretti, prodotti intrecciati, complementi e supplementi, estensioni, cobordi, cocicli, primo e secondo gruppo di coomologia e loro costruzione, teorema di Schur-Zassenhaus;
- Commutatori, teorema di Hall-Witt, teorema di Hall-Petrescu, serie derivata, centrale inferiore e superiore, gruppi nilpotenti, componenti primarie, gruppi risolubili, semplicita’ dei gruppi alterni, cenni all’irrisolubilita’ di equazioni di grado almeno 5, sottogruppi di Sylow e di Hall, caratterizzazioni di gruppi risolubili;
- Generatori e relazioni, gruppi liberi, gruppi finitamente generati, gruppi finitamente presentati, teoremi di Schreier-Nielsen, sottogruppi di gruppi liberi;
- Gruppi di permutazioni, transitivita’, primitivita’, sottogruppi massimali, cenni al teorema di Aschbacher, teorema di O’Nan-Scott;
- Gruppi alterni, proiettivi speciali lineari, ortogonali, unitari e simplettici, gruppi di Steinberg, Ree e Suzuki, gruppi sporadici, algebre di Lie semisemplici, basi di Chevalley, costruzione dell’analogo su campi finiti di gruppi di Lie.
Prerequisiti
Algebra 1 e 2
Modalità didattica
L'insegnamento prevede lezioni frontali per 56 ore (8 CFU), articolate
in: lezioni teoriche in cui si fornisce la conoscenza di definizioni,
risultati e teoremi rilevanti e altre in cui si intende fornire
competenze e abilità necessarie per utilizzare tali nozioni nella
risoluzione di esercizi e nell'analisi di problemi
Materiale didattico
Testo di Riferimento:
- Machi’, Gruppi, Springer Verlag 2012
- Kurzweil, Stellmacher, The theory of finite groups, Springer Verlag 2004
- Robinson, A course in the theory of groups 2ed, Springer Verlag 1996
- Appunti videoscritti delle singole lezioni reperibili su questa piattaforma.
- Appunti scritti in LaTeX in formato pdf reperibili su questa piattaforma.
Altri Testi:
- Aschbacher, Finite Group Theory 2ed, CUP 2000
- Carter, Simple groups of Lie type, Wiley & Sons, 1989
- Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer-Verlag 1972
- Sambale, Endliche Permutationsgruppen, Springer Spektrum, 2017
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L’esame consiste in un'interrogazione orale in cui vengono accertate sia l'acquisizione dei contenuti teorici impartiti nel corso sia le capacita' di analisi e risoluzione di problemi.
Entrambe gli aspetti contribuiscono allo stesso modo per la decisione del voto d'esame.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
In line with the aims of the CdS, the course will provide students the knowhow necessary to deal with transmission of information via noicy channels, in order to analyze optimal error-correcting and -detecting procedures. Time permitting some rudiments of programming languages as Magma and Gap will be imparted. These tools serve to emphasize sperimental aspects of mathematical discovery. We will also impart the necessary skills to comprehend and analyze the main technical and proof methods.
Those will be tested via problem solving and resolution of exercises related to the contents of the course.
Contents
- Recalls on cyclic and abelian groups, normal subgroups, quotient groups, simple groups;
- Holder program, composition series, direct, semidirect and wreath products, extension, cohomology;
- Commutators, derived subgroups, nilpotent and solvable groups, Sylow and Hall subgroups;
- Generators and Relations, free groups, Schreier theorem;
- Permutation groups, transitivity, primitivity, O’Nan-Scott theorem;
- Classification of finite simple groups, semisimple Lie algebras, Chevalley bases, finite groups of Lie type.
Detailed program
- Recalls on the classification of cyclic and finitely generated abelian groups, conjugationon elements and subgroups, normal subgroups, quotient groups, simple groups, example: alternating groups, simplicity of Alt(5), projective special linear groups;
- Holder program, composition and chief series, internal and external direct product, automorphisms, semidirect product, extensions, coborders, cocycles, first and second cohomology group and thier construction, Schur-Zassenhaus theorem;
- Commutators, Hall-Witt theorem, Hall-Petrescu theorem, derived, lower and upper-central series, nilpotent groups, solvable groups, simplicitiy of alternating groups, irresolubility of equations of degree al least 5, Sylow and Hall subgroups, characterization of soluble groups;
- Generators and relations, free and finitely generated/presented groups, Schreier-Nielsen theorem, subgroups of free groups;
- Permutation groups, transitivity, primitivity, maximal subgroups, Aschbacher theorem, O’Nan-Scott theorem;
- Alternating groups, special linear, orthogonal, unitary and symplectic projective groups, Steinberg, Ree, Suzuki groups,sporadic groups, semisimple Lie algebras, Chevalley bases, constructing finite analog of Lie groups.
Prerequisites
Algebra 1 and 2
Teaching form
The course consists of Lectures for 8 credits. They will give knowledge of basic definitions, relevant results and theorems. On the other side, we intend to give skills to use results and knowledge in solving exercises and analysing problems.
Textbook and teaching resource
Textbooks:
- Machi’, Gruppi, Springer Verlag 2012
- Kurzweil, Stellmacher, The theory of finite groups, Springer Verlag 2004
- Robinson, A course in the theory of groups 2ed, Springer Verlag 1996
- Appunti videoscritti delle singole lezioni reperibili su questa piattaforma.
- Appunti scritti in LaTeX in formato pdf reperibili su questa piattaforma.
Further Readings:
- Aschbacher, Finite Group Theory 2ed, CUP 2000
- Carter, Simple groups of Lie type, Wiley & Sons, 1989
- Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer-Verlag 1972
- Sambale, Endliche Permutationsgruppen, Springer Spektrum, 2017
Semester
First semester.
Assessment method
The exam consists of an oral enquiry assessing both the student's acquisition of the course contents and her/his capabilities of analyzing and solving problems. Both aspects equally contribute to the final score.
Mark range:18-30/30.
Office hours
By appointment.
Staff
-
Andrea Previtali