Syllabus del corso
Obiettivi
Fornire un'introduzione alla teoria dell'analisi su spazi metrici, mettendone in luce gli aspetti geometrici e le basi del calcolo differenziale.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
- la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché di alcune strategie di dimostrazione; la conoscenza e la comprensione di alcune classi di esempi fondamentali a cui la teoria si applica.
- la capacità di riconoscere e analizzare gli
spazi metrici (di lunghezza, intrinseci e di misura) che possono nascere da
diversi ambiti della matematica; la capacità di determinare alcune proprietà
geometriche e analitiche fondamentali di uno spazio metrico e di saper introdurre
un calcolo differenziale al primo ordine su questi spazi; la capacità di
esporre in modo chiaro i contenuti del corso, di manipolare alcuni esempi e di
individuare connessioni tra i diversi argomenti trattati nel corso.
Contenuti sintetici
Nozioni basilari e aspetti geometrici (curvatura) degli spazi metrici intrinseci.
Elementi di calcolo differenziale al primo ordine su spazi metrici di misura.
Programma esteso
Parte I. Spazi metrici (intrinseci) e curvatura.
- Spazi metrici: definizione, esempi, topologia; misura e dimensione di Hausdorff.
- Spazi di lunghezza, metriche intrinseche, geodetiche, lunghezza e velocità; costruzioni e esempi.
- Spazi di curvatura limitata: alcune definizioni equivalenti di curvatura limitata (dall'alto o dal basso) per uno spazio metrico; angoli e funzione distanza; controllo locale e globale della curvatura.
- Convergenza di spazi metrici: convergenza uniforme e Gromov-Hausdorff.
- Proprietà degli spazi metrici a curvatura positiva: crescita dei volumi, dimensione di Hausdorff; esempi (coni, insiemi convessi,...); cenni a risultati di compattezza.
Parte II. Calcolo differenziale su spazi metrici di misura
- Spazi metrici di misura; proprietà del raddoppio; lemmi di ricoprimento: teorema di Vitali, teorema di Lebesgue.
- Funzione massimale di Hardy-Littlewood: risultati di limitatezza.
- Richiami su spazi di Sobolev in R^n; alcune definizioni equivalenti; immersioni di Sobolev; disuguaglianze di Poincaré.
- Funzioni lipschitziane: teoremi di estensione e di densità; gradiente superiore; moduli di una famiglia di curve; capacità.
- Spazi di Sobolev su spazi metrici: definizione via la funzione massimale; definizione via il gradiente superiore. Disuguaglianze di Poincaré su spazi metrici.
- Cenni a equazioni differenziali su spazi metrici: problemi di minimizzazione dell'energia.
Prerequisiti
Calcolo in più variabili, fondamenti di teoria della misura, di spazi di Hilbert e di spazi Lp.
Una conoscenza di base degli spazi di Sobolev in R^n può aiutare nella fruizione del corso, ma non è strettamente necessaria.Modalità didattica
Le lezioni saranno frontali, con uso di lavagna.
Materiale didattico
I principali testi di riferimento sono:
- D. Burago, Y. Burago, and S. Ivanov. A course in metric geometry, volume 33 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001 (per la prima parte del corso)
- J. Heinonen. Lectures on analysis on metric spaces. Universitext. Springer-Verlag, New York, 2001 (per la seconda parte del corso)
Testi
integrativi e ulteriore materiale didattico potranno essere forniti durante lo
svolgimento del corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II
semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L’esame consiste in una prova orale con voto in trentesimi.
Una parte della prova può essere costituita dall’esposizione di un tema integrativo a quelli trattati nel corso, concordato preventivamente col docente. La restante parte è volta alla verifica della conoscenza e della comprensione di argomenti (teoria ed esempi) svolti nel corso
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
- the knowledge and the understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the arguments in some proofs; the knowledge and the understanding of some classes of fundamental examples to which the theory applies.
- the ability to recognize and analyze the (length, intrinsic or measure) metric spaces which can arise in different fields of pure and applied mathematics; the ability to determine the more relevant geometric and analytical features of a metric space and to develop a first order differential calculus on these spaces; the ability to clearly present the contents of the course, to manipulate some examples and to identify connections between the different topics covered in the course.
Contents
Basic notions and geometric aspects (curvature) of metric spaces.
Elements
of first order differential calculus on measure metric spaces.
Detailed program
Part I. Metric spaces and curvature.
- Metric spaces: definition, examples, topology; Hausdorff measure and dimension.
- Length spaces, intrinsic metrics, geodesics, length and velocity; constructions and examples.
- Spaces of bounded curvature: some equivalent definitions of curvature bounds (from above or from below); angles and distance function; local and global curvature bounds.
- Convergence of metric spaces: uniform and Gromov-Hausdorff convergence.
- Some properties of metric spaces with positive curvature: volume growth, Hausdorff dimension; examples (cones, convex sets, ...); an overview of some compactness results.
Part II. Differential calculus on metric spaces of measure
- Measure metric spaces; doubling measures; covering lemmas: Vitali's and Lebesgue's theorem.
- Hardy-Littlewood maximal function: boundedness results.
- A review of Sobolev spaces in R^n; some equivalent definitions; Sobolev embeddings; Poincaré inequalities.
- Lipschitz functions: extension and density theorems; upper gradient; modulus of a curve family; capacity.
- Sobolev spaces on metric spaces: definition based on the maximal function; definition based on the upper gradient. Poincaré inequalities on metric spaces.
- An introduction to differential equations on metric spaces: energy minimization problems.
Prerequisites
Calculus in several variables, elements of measure theory, of Hilbert spaces and of Lp spaces.
A basic knowledge of the Sobolev
spaces in R^n can help to familiarize with some of the topics, but they are not
necessary.
Teaching form
Lectures with
blackboard.
Textbook and teaching resource
The main textbook are:
- D. Burago, Y. Burago, and S. Ivanov. A course in metric geometry, volume 33 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001 (for the 1st part of the course)
- J. Heinonen. Lectures on analysis
on metric spaces. Universitext. Springer-Verlag, New York,
2001 (for the 2nd part of the course)
Supplementary textbooks and resources may be suggested during the course.
Supplementary textbooks and resources may be suggested during the course.
Semester
II
semester.
Assessment method
Oral exam. Mark out of thirty.
Part of the exam may consist of exposing an additional theme to those covered in the course, agreed in advance with the teacher. The remaining part aims at verifying the knowledge and the understanding of the topics (both theory and examples) presented during the course.
Office hours
By
appointment.
Staff
-
Giona Veronelli