Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del corso di studio, l'insegnamento si propone di fornire agli studenti le conoscenze riguardanti alcuni importanti capitoli di Matematica. In particolare si vogliono presentare dei risultati classici ed elementari relativi alla Teoria dei Numeri ed alla Geometria, con attenzione agli aspetti didattici, e ai collegamenti con altri argomenti della Matematica. Gli studenti acquisiranno competenze su alcuni argomenti di teoria dei numeri, geometria, analisi, analisi numerica, e soprattutto su alcuni collegamenti tra questi argomenti. Il fatto che l'insegnamento sia largamente privo di prerequisiti permetterà agli studenti di utilizzare parte del materiale per l'insegnamento nella Scuola Superiore, e per la propria attitudine ed eventuale preparazione a questo lavoro.
Contenuti sintetici
Punti interi. Poliedri. Somme di Riemann.
Programma esteso
- Punti, poligoni e poliedri.
- Numeri primi, funzioni aritmetiche e punti interi.
- Punti interi in poliedri, il problema delle monete di Frobenius.
- Paradosso di Simpson, successioni di Farey e approssimazione diofantea.
- Terne pitagoriche e somme di quadrati.
- Legge di Benford, successioni uniformemente distribuite, e numeri normali.
- Integrali e somme di Riemann.
- Appendice: osservazioni sulla didattica della Matematica.
Prerequisiti
In Matematica il termine elementare non è sinonimo di semplice. La matematica elementare è piuttosto quella che non richiede particolari prerequisiti. E anche per gran parte dei contenuti di questo insegnamento non ci sono reali prerequisiti. La matematica dei primi due anni della laurea triennale è più che sufficiente.
Metodi didattici
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame orale. Scopo della verifica di profitto è valutare le conoscenze, competenze, abilità operative acquisite dalla studentessa / dallo studente, in altre parole la sua maturità matematica. L'esame orale è diviso in due parti. La studentessa / lo studente deve tenere un seminario su un argomento a scelta concordato e avente una valenza didattica. Il seminario è seguito da un esame orale tradizionale sul programma del corso. La valutazione terrà conto della padronanza del programma del corso, e della capacità didattica espressa attraverso il seminario. Il voto è in trentesimi, e l'esame è superato se il voto è almeno 18/30.
Testi di riferimento
- Saranno forniti appunti dettagliati su tutti gli argomenti trattati.
- M. Beck, S. Robins, Computing the continuous discretely. Integer-point enumeration in polyhedra. Springer (2015).
- M. Bramanti, G. Travaglini, Studying Mathematics: The Beauty, the Toil and the Method, Springer (2018).
- J. Sally, P. Sally, Roots to research. A vertical development of mathematical problems. Amer. Math. Soc. (2007).
- G. Travaglini, Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy, Cambridge Univ. Press (2014).
Periodo di erogazione dell’insegnamento
Secondo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano (Inglese se sono presenti studenti stranieri)
Learning objectives
To introduce several classical and elementary results in Number Theory and Geometry. Didactical aspects will be discussed as well as connections with other mathematical topics. The students will acquire skills related to several topics in number theory, geometry, calculus, numerical analysis, and, most of all, skills on several connections between the above topics. Since the course has very mild prerequisites, the students will be able to use part of it for high school teaching, and for their own aptitude and preparation for this job.
Contents
Integer points. Polyhedra. Riemann sums.
Detailed program
- Points, polygons and polyhedra.
- Primes, arithmetic functions and integer points.
- Integer points in polyhedra, Frobenius' coin problem.
- Simpson's paradox, Farey sequences and diophantine approximation.
- Pythagorean triples and sums of squares.
- Benford's law, uniform distribution of sequences, and normal numbers.
- Riemann sums and integrals.
- Appendix: remarks on Mathematics Education
Prerequisites
"Elementary" does not mean "simple". It means that there are very mild prerequisites. Here the first two years of undergraduate Math are enough.
Teaching methods
Lessons.
Assessment methods
Oral exam. The student will be requested to understand all the contents of the course and to hold a seminar. He/she will be evaluated considering her/his mastering of the contents of the course as well as the teaching skills he/she will exhibit through the seminar. Mark out of thirty, the exam is passed if the evaluation is at least 18/30.
Textbooks and Reading Materials
- Detailed notes will be provided during the classes.
- M. Beck, S. Robins, Computing the continuous discretely. Integer-point enumeration in polyhedra. Springer (2015).
- M. Bramanti, G. Travaglini, Studying Mathematics: The Beauty, the Toil and the Method, Springer (2018).
- J. Sally, P. Sally, Roots to research. A vertical development of mathematical problems. Amer. Math. Soc. (2007).
- G. Travaglini, Number Theory, Fourier Analysis and Geometric Discrepancy, Cambridge Univ. Press (2014).
Semester
Second semester
Teaching language
Italian (English in case of foreign students)
Scheda del corso
Staff
-
Giancarlo Travaglini