Course Syllabus
Obiettivi
Il corso ha lo scopo di presentare i contenuti, i metodi fondamentali e alcune applicazioni della teoria ‘classica’ delle rappresentazioni dei gruppi finiti. Sarà posta enfasi sulla comprensione del percorso teorico e sull'esercizio dello spirito critico da parte degli studenti.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
- Conoscenze: le conoscenze delle risultati principale della teoria delle rappresentazioni dei gruppi finiti.
- Capacità: le capacità di applicargli ad esempi concreti.
Contenuti sintetici
Anelli e A-moduli semisemplici. Rappresentazioni e moduli. Caratteri di un gruppo finito. Prodotti tensoriali di rappresentazioni. Rappresentazioni permutazionali e applicazioni. Rappresentazioni di prodotti diretti. Induzione e restrizione di rappresentazioni. Teoria di Clifford.
Programma esteso
Anelli e A-moduli semisemplici:
Richiami generali su anelli e A-moduli. Anelli e A-moduli artiniani e noetheriani. Anelli e A-moduli semisemplici. Amoduli semplici. Decomposizione di un A-modulo semisemplice in componenti isotipiche. Struttura degli anelli semisemplici. Teorema di Wedderburn. Proprietà del doppio centralizzante (DCP). Struttura degli anelli artiniani semplici.
Rappresentazioni e moduli:
L’algebra gruppale KG di un gruppo G. KG-moduli e rappresentazioni di G. Rappresentazioni completamente riducibili, teorema di Maschke. Rappresentazioni su splitting fields (KG semisemplice e split): struttura di KG . Teorema di Frobenius-Schur. Esempi di rappresentazioni complesse di gruppi finiti.
Caratteri di un gruppo finito:
Definizioni generali e proprietà elementari dei caratteri di un gruppo G. Lo spazio CF(G) delle funzioni di classe. Car K = 0 e K splitting per G: caratteri e moduli; tavola dei caratteri. Rappresentazione regolare, idempotenti ortogonali, prime relazioni di ortogonalità fra i caratteri. Caso semisemplice e split: Irr(G) è una base ortonormale di CF(G); seconde relazioni di ortogonalità fra i caratteri.
Interi algebrici e caratteri:
costanti di struttura del centro di KG. Il grado di un carattere irriducibile è un divisore dell’ordine di G. Applicazioni alla teoria dei gruppi: il p^a.q^b-teorema di Burnside. Proprietà strutturali di un gruppo deducibili dalla tavola dei caratteri. [Cenni alle rappresentazioni dei gruppi compatti.] Prodotti tensoriali di rappresentazioni: Generalità sui prodotti tensoriali di moduli. Prodotti tensoriali di rappresentazioni, prodotti di caratteri. L’anello dei caratteri virtuali. Teorema di Burnside-Brauer. Applicazioni al conteggio di involuzioni, teorema di Brauer-Fowler e sue conseguenze. Rappresentazioni permutazionali e applicazioni: Richiami sui gruppi di permutazioni. Azioni su classi di coniugio e caratteri. Lemma permutazionale di Brauer. Caratteri reali. Rappresentazioni di prodotti diretti: Caratteri irriducibili di un prodotto diretto. Applicazione: teorema di Burnside sul grado di un carattere. Induzione e restrizione di rappresentazioni, teoria di Clifford. Rappresentazioni indotte da sottogruppi. Caratteri indotti. Proprietà dell’induzione, legge di reciprocità di Frobenius e sue applicazioni. Restrizione di una rappresentazione a un sottogruppo normale: teoria di Clifford. Gruppo d’inerzia di una rappresentazione; corrispondenza di Clifford. Teorema di Ito.
Prerequisiti
Sono prerequisiti i contenuti standard di un corso annuale di algebra (Algebra I e Algebra II), e qualche conoscenza ulteriore di teoria dei campi.
Modalità didattica
Lezione frontale, 8 CFU
Materiale didattico
C. W. Curtis and I. Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Wiley Interscience 1962.
C. W. Curtis and I. Reiner, Methods of Representation Theory I, Wiley 1981.
L. Dornhoff, Group Representation Theory, Marcel Dekker 1971.
B. Huppert, Character Theory of Finite Groups, de Gruyter 2011.
I.M. Isaacs, Character theory of finite groups, Academic Press 1976
Periodo di erogazione dell'insegnamento
1° semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame è orale e consiste di un colloquio con valutazione in trentesimi. Si articola in una serie di quesiti orali volti a verificare la conoscenza e la padronanza da parte dello studente degli snodi teorici e dei teoremi con relative dimostrazioni svolti a lezione.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
The course is aimed to present the contents and the fundamental methods, as well as some noteworthy applications of the ‘classical’ theory of representations of finite groups.
The expected learning outcomes include:
- the knowledge of the main results in the representation theory of finite groups,
- as well as the ability to apply them on concrete examples.
Contents
Semisimple rings and modules. Modules and representations. Characters of finite groups. Tensor products of representations. Permutation representations and applications. Direct products. Induction and restriction of representations. Clifford Theory.
Detailed program
Semisimple rings and modules.
Generalities on rings and modules. Artinian and noetherian rings and modules. Semisimple rings and modules. Simple modules. Decomposition of a semisimple modules in isotypic components. Structure of semisimple rings. Wedderburn’s theorem. Double centralizer property (DCP). Structure of simple artinian rings.
Modules and represesentations.
The group algebra KG. KG-modules and G-representations. Completely reducible representations. Maschke’s theorem. Representations over splitting fields: structure of KG. Frobenius-Schur theorem. Examples of complex representations of finite groups.
Characters of finite groups.
Definition and properties of characters of a group G. The space CF(G) of class functions. CharK = 0 and K splitting for G: characters and modules; the character table. Regular representation, orthogonal idempotents, first orthogonality relations. Irr(G) is an orthonormal basis of CF(G); second orthogonality relations. Algebraic integers and characters; structure constants of the centre of KG. The degree of an irreducible character divides the order of G. Applications:The p^a.q^b Theorem of Burnside. Structural properties of a group detectable from the character table [Remarks on representations of compact groups]
Tensor products of representations.
Tensor products of modules. Tensor products of representations, products of characters. The ring of virtual characters. The Burnside-Brauer theorem. Counting involutions, the Brauer-Fowler theorem and its implications.
Permutation representations and applications.
Permutation groups. Actions on conjugacy classes and characters. Brauer’s permutational Lemma. Real characters.
Direct products.
Irreducible characters of a direct product. Application: Burnside’s theorem on character degress.
Induction and restriction of representations, Clifford theory.
Representations induced from subgroups. Induced characters. Frobenius reciprocity law and applications. Restriction to a normal subgroup: Clifford’s theory. Inertia group, Clifford correspondence. Ito’s theorem.
Prerequisites
It is recommended an a priori knowledge of the standard contents of first and second year Algebra courses, plus some extra knowledge of field theory.
Teaching form
Lessons 8 CFU (ECTS).
Textbook and teaching resource
C. W. Curtis and I. Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras, Wiley Interscience 1962.
C. W. Curtis and I. Reiner, Methods of Representation Theory I, Wiley 1981.
L. Dornhoff, Group Representation Theory, Marcel Dekker 1971.
B. Huppert, Character Theory of Finite Groups, de Gruyter 2011.
I.M. Isaacs, Character theory of finite groups, Academic Press 1976
Semester
1st semester
Assessment method
The exam is only oral. It consists of a number of questions and an evaluation (marks: 18/30 to 30/30). The questions are aimed to verify that the student has understood the theoretical development of the course and has a good knowledge of the theorems (and their proofs), as given in the lectures.
Office hours
On appointment.
Key information
Staff
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Thomas Stefan Weigel