Course Syllabus
Obiettivi formativi
I principali obiettivi del corso sono i seguenti:
- che lo studente conosca i modelli probabilistici fondamentali della durata della vita umana e il calcolo delle grandezze a essi collegati
- che lo studente sappia calcolare il valore attuale attuariale di qualsiasi prestazione assegnata
- che lo studente comprenda la dinamica della riserva matematica, sia in un approccio tradizionale 'best estimate' che in un approccio stocastico
- che lo studente comprenda la problematica astratta del calcolo del premio, ponendola in relazione alla problematica del pricing degli strumenti derivati, alla teoria della utilità attesa e alla teoria delle misure di rischio
- che lo studente sappia riconoscere gli elementi di opzionalità presenti nelle polizze vita con rendimenti minimi garantiti.
Contenuti sintetici
1) La modellizzazione della durata della vita umana (probabilità di vita e di morte, tavole di mortalità, forza di mortalità, leggi deterministiche, introduzione ai modelli a mortalità stocastica).
2) Matematica attuariale tradizionale (calcoli di valori attuali attuariali, determinazione del premio, riserva matematica, formule ricorsive, scomposizione del premio e scomposizione dell'utile).
3) Principi di calcolo del premio (premio di indifferenza, premio esponenziale, premio di Esscher, impostazione assiomatica, misure di rischio distorte).
4) Opzioni e assicurazioni (opzioni implicite nei contratti assicurativi, polizze vita rivalutabili, unit linked, index linked). Introduzione a Solvency II.
Programma esteso
1) La durata della vita umana. Funzione di sopravvivenza e funzione di sopravvivenza condizionata. Notazioni attuariali internazionali. Tavole di mortalità. Probabilità di morte differite. Forza di mortalità. Aspettativa di vita completa e incompleta. La legge di Gompertz - Makeham. Modelli a mortalità stocastica. Il modello di Lee-Carter e le sue proprietà.
2) Concetto di valore attuale attuariale. Valutazione di prestazioni attuariali: capitale differito, TCM, vita intera, rendite vitalizie e rendite temporanee. Formule ricorsive. Determinazione del premio: premi unici, premi periodici, premi naturali, premi costanti. Controassicurazione. Calcolo della riserva matematica. Formule ricorsive. Equazione di Fouret. Decomposizione del premio in premio di rischio e premio di risparmio. Determinazione dell'utile. Formula di Homans.
3) Richiami sulla teoria della utilità attesa. Premio di indifferenza. Premio esponenziale e sue proprietà. Trasformazione di Esscher. Esempi. Premio di Esscher e Option Pricing: il caso del modello di Black-Scholes.
L'impostazione assiomatica del problema del calcolo del premio.
Esempi di principi di calcolo del premio e loro proprietà; legami con le misure di rischio.
Definizione di misure di rischio distorte e loro proprietà. Esempi. Il caso del Value at Risk e della Expected Shortfall.
4) Opzioni e assicurazioni. Opzioni implicite nelle assicurazioni vita. Esempi di pricing. Opzioni forward start e cliquet. Polizze vita con contenuto finanziario: rivalutabili, unit linked e index linked. Cenni sugli strumenti finanziari legati alla mortalità. Introduzione a Solvency II.
Prerequisiti
Lo studente deve avere conoscenze di base di teoria della probabilità, analisi e matematica finanziaria.
Metodi didattici
Lezione frontale.
Nel caso dovesse continuare il periodo di emergenza Covid19, le lezioni verranno svolte in modalità da remoto.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame orale che verte su tutto il programma del corso, con possibilità di un preappello scritto (costituito da 2 domande a risposta aperta e due esercizi) per gli studenti che partecipano attivamente al corso.
Testi di riferimento
- Dickson, Hardy, Waters, Actuarial mathematics for Life-Contingent Risks
- Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer
- A. Olivieri, E. Pitacco, Introduction to Insurance Mathematics
Periodo di erogazione dell’insegnamento
Secondo semestre
Lingua di insegnamento
Inglese
Learning objectives
The main learning objectives are:
-Knowledge of the probabilistic models for the duration of human life (life and death probabilities, mortality tables, mortality force, deterministic laws, stochastic mortality).
-Calculatation of the actuarial present values of the main actuarial contracts
-Understanding of the dynamics involved in the mathematical reserve;
-Understanding the theoretical aspects of premium principles and their relations with the thory of pricing financial derivatives, risk measures and expected utility.
-Understanding the options embedded in insurance contracts with minimum guaranteed.
Contents
1) Modeling
the duration of human life (life and death probabilities, mortality tables,
mortality force, deterministic laws, stochastic mortality).
2) Classical actuarial mathematics (actuarial present values, premium calculation, mathematical reserve, recursive formulas, risk premium and saving premium, decomposition of the profit).
3) Premium principles (indifference premium, exponential premium, Esscher premium, axiomatic theory of premium principles, distorted risk measures).
4) Options and insurance contracts (implicit options, participating policies, unit linked, index linked). Introduction to Solvency II.
Detailed program
1) Modeling the duration of human life. Survival function and conditional survival function. International actuarial notation. Life tables. Mortality force. Complete and curtate expected future life time. Gompertz-Makeham law. Stochastic mortality models. Lee-Carter model and its properties).
2) Actuarial present values. Valuation of traditional insurance contracts: term insurance, endowment insurance,whole life insurance, annuities, term annuities. Recursive formula. Premium calculation: single premium, periodic premiums, natural premiums, constant premium. Mathematical reserve, recursive formulas. Fourteen equation. Premium decomposition in risk premium and saving premium. Decomposition of the profit, Homans formula).
3) Notions of expected utility theory. Indifference premium, exponential premium and its properties. Esscher transform and Esscher premium properties and examples. Ester premium and option pricing: the Black-and-Scholes formula. Axiomatic theory of premium principles and distorted risk measures, properties and examples. Value-at-Risk and Expected Shortfall).
4) Options and insurance contracts. Implicit options in life insurance. Pricing examples. Forward start and cliquet options. Participating policies, unit linked, index linked, mortality derivatives. Introduction to Solvency II.
Prerequisites
Basic knowledge of probability theory, calculus and financial mathematics.
Teaching methods
Frontal lesson.
In case the Covid19 emergency will continue the lessons will be streaming
Assessment methods
for students that attend regularly the course there will be the possibility to have a written exam at the end of the course (2 open questions and two exercises)
Textbooks and Reading Materials
- Dickson, Hardy, Waters, Actuarial mathematics for Life-Contingent Risks
- Gerber, Life Insurance Mathematics, Springer
- A. Olivieri, E. Pitacco, Introduction to Insurance Mathematics
Semester
Second term
Teaching language
English