Course Syllabus

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Il Corso si pone come obiettivo l’apprendimento di concetti, metodi e di modelli per la fisica dei solidi cristallini, perfetti ed infiniti. A tal fine, il Corso si compone di tre parti. Nella prima parte vengono trattati fenomeni più semplicemente descrivibili in termini di particelle non interagenti (elettroni o fononi), con particolare attenzione alle tecniche di calcolo delle grandezze macroscopiche, sulla base di variabili microscopiche. La seconda parte include quei fenomeni legati agli elettroni nel reticolo cristallino, che determinano la struttura a bande e le proprietà di trasporto, e si basa anch'essa sulla combinazione tra ragionamento fisico e analisi matematica. La terza parte è invece focalizzata su quei fenomeni più complessi, originati dall'interazione tra particelle, che danno luogo a rilevanti proprietà macroscopiche dei solidi perfetti ed infiniti. In questa fase viene posta l’attenzione sulla comprensione di concetti poco intuitivi e sulla linea ideale del ragionamento, privilegiando - anche qui - il carattere metodologico rispetto a quello antologico. La complementazione di un Testo principale con il materiale caricato sul sito del Corso, costituisce parte importante dell’insegnamento metodologico, che questo Corso della Laurea Magistrale intende dispensare.

Parte 1
I. Strutture cristalline e diffrazione
II. Dinamica reticolare
III. Proprietà termiche dei solidi
IV. Gas di elettroni liberi

Parte 2
V. Bande elettroniche

VI. Trasporto elettronico di carica e calore

Parte 3
VII. Il problema a molti-elettroni ed effetti dello screening elettronico
VIII. Proprietà magnetiche dei solidi
IX. Superconduttività

PARTE 1

I. Strutture cristalline e diffrazione
  • Reticoli di Bravais e strutture cristalline notevoli
  • Teoria della diffrazione e tecniche sperimentali
  • Costruzione di reticolo reciproco e zona di Brillouin, in particolare per strutture FCC, BCC e HCP
  • Calcolo della distanze tra punti ad alta simmetria nella zona di Brillouin del Silicio.
II. Dinamica reticolare
  • Elementi di dinamica reticolare: matrice delle costanti di forza e sue simmetrie, matrice dinamica ed equazioni di moto
  • Dinamica di una catena lineare biatomica
  • Costruzione e diagonalizzazione matrice dinamica per fcc monoatomico: autovalori e displacement patterns
  • Modi normali, onde sonore e teoria dell'elasticità
  • Fononi come modi collettivi e loro statistica.
  • Scattering inelastico e misura della dispersione dei fononi tramite scattering neutronico
III. Proprietà termiche dei solidi
  • Densità di stati vibrazionali
  • Calore specifico di Debye e di Einstein
  • Potenziali anarmonici e loro effetti: interpretazione qualitativa dell'espansione termica e deviazione del calore specifico dalla legge di Dulong-Petit
  • Espansione termica e parametro di Gruneisen
  • Conducibilità termica tramite vibrazioni reticolari
IV. Gas di elettroni liberi
  • Modello degli elettroni liberi
  • La statistica di Fermi-Dirac per gli elettroni
  • Densità degli stati: definizione e calcolo per gas 3D, 2D e 1D. Andamento del potenziale chimico in T
  • Contributo elettronico al calore specifico e i fermioni pesanti
  • La funzione lavoro e l’emissione termica di elettroni: fisica ed applicazioni

PARTE 2

V. Bande elettroniche
  • Potenziale periodico, equazione centrale e stati di Bloch
  • Costruzione dello schema a bande nel caso di reticolo-vuoto
  • Bande nel modello di elettrone quasi-libero: apertura del gap al bordo della zona di Brillouin ed interpretazione
  • Introduzione al modello Tight-Binding (TB)
  • Calcolo di bande nel modello TB: ruolo dei vicini e della base di orbitali atomici e integrali di hopping
  • Costruzione e diagonalizzazione della matrice tight binding a primi vicini per silicio
  • Interpretazione di bande reali e loro densità di stati
  • Misura della dispersione di bande per fotoemissione risolta in angolo
VI. Trasporto elettronico di carica e calore
  • Il modello semiclassico e moto degli elettroni in banda in presenza di un campo elettrico
  • Il tensore di massa efficace e il concetto di buca positiva
  • L'equazione di Boltzman: bilancio tra processi di drift e quelli di scattering
  • L'approssimazione del tempo di rilassamento per i processi di scattering
  • Meccanismi microscopici che presiedono allo scattering di cariche
  • La conducibilità elettrica nei metalli
  • Dipendenza della conducibilità elettrica dalla temperatura
  • Trasporto di calore da elettroni e relazione di Wiederman-Franz
  • Effetti termoelettrici (Peltier e Seebeck) ed applicazioni
  • Moto di elettroni in campo magnetico debole: magneto-resistenza e effetto Hall
  • Elettroni liberi in un campo magnetico: livelli di Landau e loro energia
  • Moto degli elettroni in campo magnetico forte: tubi di Landau, oscillazioni nelle proprietà ed effetto De Haas-Van Alphen

PARTE 3

VII. Il problema a molti-elettroni ed effetti dello screening elettronico
  • Dal sistema a più elettroni all'equazione di campo medio: equazione di Hartree
  • L'equazione di Hartree-Fock e il significato del termine di scambio
  • Energia del gas di elettroni liberi e interagenti
  • Fondamenti della teoria del funzionale della densità: teorema di Hohenberg e Kohn e l'equazione di Kohn-Sham
  • Proprietà di stato fondamentale ed eccitazioni elementari
  • Oscillazioni del gas elettronico e plasmoni
  • Il metodo cellulare, il potenziale muffin-tin e lo sviluppo in onde piane aumentate
  • L'ortogonalizzazione degli stati di valenza sugli stati di core: onde piane ortogonalizzate e pseudopotenziale
  • Stati di impurezza shallow in semiconduttori: livelli energetici e funzione inviluppo
  • Screening elettronico nel modello di Thomas-Fermi
  • Screening elettronico nel modello perturbativo di Lindhard
  • Legami e struttura cristallina nei metalli semplici e in altri solidi
VIII. Proprietà magnetiche dei solidi
  • Diamagnetismo e paramagnetismo nei solidi isolanti
  • Paramagnetismo di Pauli e diamagnetismo di Landau del gas di elettroni liberi
  • Modello di Stoner del ferromagnetismo itinerante per solidi metallici
  • Effetto della temperatura nel modello di Stoner, temperatura di Curie
  • Ferromagnetismo nei solidi isolanti e modello di Heisenberg
  • Antiferromagnetismo ed anisotropia della suscettività magnetica
  • Stati eccitati magnetici: onde di spin e magnoni
  • Scattering neutronico, ruolo dei magnoni a bassa temperatura, domini ferromagnetici
 IX. Superconduttività
  • Introduzione alla superconduttività: esperimeno di Onnes ed effetto Meissner Ochsenfeld
  • Equazioni di London e London: spessore di penetrazione di correnti e di campo magnetico
  • Termodinamica della fase superconduttiva: energia libera, entropia e calore specifico
  • Coppie di Cooper ed instabilità del mare di Fermi
  • Stato fondamentale secondo la teoria di Barden-Cooper-Schrieffer (BCS)
  • Esistenza del gap, sua natura e definizione di stati eccitati nella teoria BCS
  • La supercorrente come stato stazionario, valore critico di corrente e campo magnetico ed effetto Meissner nella teoria BCS
  • Determinazione sperimentale del gap, sua dipendenza dalla temperatura ed effetto isotopico
  • Superconduttori ad alta temperatura critica

Struttura della materia, fisica quantistica di atomi e di molecole

Introduzione elementare alla fenomenologia dei materiali

Elementi di analisi complessa, funzioni speciali, serie e trasformate

Lezioni frontali ed esercitazioni.

TESTO PRINCIPALE

H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag 


CAPITOLI AGGIUNTIVI PRESI DAI SEGUENTI TESTI, COME RESI DISPONIBILI SULLA PIATTAFORMA E-LEARNING O DISPONIBILI DALLA BIBLIOTECA DI ATENEO:

N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing

F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri

G. GROSSO AND G. PASTORI PARRAVICINI, Solid state Physics, Academic Press

A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press

J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons

S. BLUNDELL, Magnetism in Condensed Matter, Oxford University Press.


Primo e secondo semestre a diversa periodicità di lezioni. Le lezioni inizieranno con la seconda parte del primo semestre, per permettere al corso di azzeramento in meccanica quantistica e al corso di analisi funzionale di impartire gran parte delle nozioni necessarie a seguire questo corso. Gli studenti sono invitati quindi a seguirli con attenzione e costanza.

L'esame consiste di due parti, che gli studenti possono eventualmente affrontare in sessioni differenti. La prima riguarda gli argomenti della Parte 1 e 2 del corso ed include la derivazione matematica in forma scritta di alcuni risultati fisici. La seconda parte dell'esame, interamente in forma orale, riguarda gli argomenti (più complessi) della Parte 3 del corso ed è mirata a verificare la comprensione di tali fenomeni, citando - eventualmente derivando - i risultati quantitativi.

Durante il periodo delle lezioni, gli studenti frequentati il corso avranno la possibilità di svolgere l'esame suddiviso in tre prove parziali, una per ciascuna parte del programma del corso. Dal momento che questo percorso assistito richiede che gli studenti studino in parallelo allo svolgimento delle lezioni, la partecipazione attiva alle lezioni è fortemente raccomandata. Per agevolare la preparazione, organizzare e spiegare le modalità d'esame e rispondere a qualsiasi domanda sugli argomenti delle lezioni, prima di ciascun esame parziale verrà organizzato un incontro con gli studenti iscritti, e aperto a tutti gli altri.

Per appuntamento, scrivendo una e-mail a leo.miglio@unimib.it, oppure a roberto.bergamaschini@unimib.it

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The Course is aimed to the understanding of concepts, methods and models for the physics of perfect and infinite crystalline solids. To this purpose topics are divided in three parts. A first part of the course is devoted to the treatment of simpler phenomena, as described in terms of non-interacting particles (electrons, or phonons), with particular attention in teaching the skill of developing analytical models, which allow to solve complicated problems by ingenious simplifications. The second part includes those phenomenon related to the electrons in the crystal lattice, returning the band structure and transport properties, and also exploits the combination of physical reasoning and mathematical analysis. The third part focuses on more complex phenomena, generated by the interaction among particles, which give rise to significant macroscopic properties of the perfect and infinite solid. In this last part, the focus is placed in the understanding of non-intuitive concepts and the ideal line of reasoning, preferring - also here - the methodological approach rather than the taxonomic one. The complementation of a main text with the material uploaded on the Course site, is one important aspect of the teaching method, that is to acquire the habit of consulting different sources and comparing them critically.

Part 1
I. Crystal structures and diffraction
II. Lattice dynamics
III. Thermal properties of solids
IV. The free-electron gas

Part 2
V. Electronic bands

VI. Transport of charge and heat by electrons

Part 3
VII. The many-electron problem and the effects of electronic screening
VIII. Magnetic properties of solids
IX. Superconductivity

PART 1

I. Crystal structures and diffraction
  • Bravais lattices and relevant crystal structures
  • Theory of diffraction and experimental techniques
  • Construction of the reciprocal lattice and the Brillouin zones, in particular for FCC, BCC and HCP structures
  • Calculation of the distances between high-symmetry points in the Brillouine zone for silicon.
II. Lattice dynamics
  • Foundations of lattice dynamics: force constant matrix and its symmetries, dynamical matrix and the equations of motion
  • Dynamics of the diatomic linear chain
  • Construction and diagonalization of the dynamic matrix for one fcc monatomic: eigenvalues and displacement patterns
  • Normal modes, sound waves and elasticity
  • Phonons as collective modes and their statistics
  • Inelastic scattering and measurement of phonon dispersion by neutron scattering
III. Thermal properties of solids
  • Density of vibrational states
  • Specific heat in Debye and Einstein models
  • Anharmonic potentials and effects: qualitative interpretation to thermal expansion and deviation of the heat capacity from Dulong Petit law
  • Thermal expansion and meaning of the Gruneisen parameter 
  • Thermal conductivity by lattice vibrations
IV. The free-electron gas
  • The free-electron gas model
  • The Fermi-Dirac statistics of electrons
  • Density of states: definition and calculation for 3D, 2D and 1D electron gas. Trend of the chemical potential in T
  • Electronic contribution to the specific heat and heavy fermions
  • The work function and the thermal emission of electrons: physics and application

PART 2

V. Electronic bands
  • Periodic potential, central equation and Bloch states
  • Construction of the band diagram for the empty lattice
  • Band structure in the nearly-free electron model: opening of the gap at the Brillouin zone borders and its interpretation
  • Introduction to the Tight-Binding model (TB)
  • Band calculation in the TB model: role of neighbors and atomic basis and hopping integrals
  • Construction and diagonalization of the tight binding matrix to first neighbors for silicon
  • Interpretation of real bands and their density of states
  • Measurement of the dispersion of the bands by angle-resolved electron photoemission
VI. Transport of charge and heat by electrons
  • The semiclassic model and motion of electrons in bands due to an electric field
  • The effective mass tensor and the concept of positive hole
  • Boltzmann equation: balance between the process of drift and the one of scattering
  • The relaxation time approximation for scattering processes
  • Microscopic mechanisms that rule the scattering of electrons in bands
  • The electrical conductivity in metals
  • Dependence of electrical conductivity on the temperature
  • Heat transport by electrons and the Wiedemann-Franz law
  • Thermoelectric effects (Peltier and Seebeck) and applications
  • Motion of electrons in weak magnetic fields: magneto-resistance and Hall effect
  • Free-electron gas in a magnetic field: Landau levels and their energies
  • Motion of electrons in strong magnetic fields: Landau tubes, oscillatory properties and the De Haas-Van Alphen effect

PART 3

VII. The many-electron problem and the effects of electronic screening
  • From the many-electron system to the mean-field equation: Hartree equation
  • The Hartree-Fock equations and meaning of the exchange energy contribution
  • The interacting gas of free electrons
  • Foundations of the density functional theory: the Hohenberg and Kohn theorem and the Kohn-Sham equation
  • Ground-state properties and elementary excitations
  • Cellular methods, the muffin tin potential, and the augmented plane waves
  • Orthogonalization of valence states to core states: orthogonalized plane waves and pseudopotentials
  • Shallow impurities: energy levels and envelope function
  • Electronic screening in the Thomas-Fermi model
  • Electronic screening in the perturbative,  Lindhard model
  • Bonding and crystal structure in simple metals and other solids
VIII. Magnetic properties of solids
  • Diamagnetism and paramagnetism in insulating solids
  • Pauli paramagnetism and Landau diamagnetism for the gas of free electrons
  • Stoner model for band ferromagnetism in metallic solids
  • Effect of temperature in the Stoner model, Curie temperature
  • Ferromagnetism in insulating solids and the Heisenberg hamiltonian
  • Antiferromagnetism and anisotropic magnetic susceptivity
  • Excited magnetic states: spin waves and magnons
  • Neutron scattering, role of magnons at low temperature, ferromagnetic domains 
IX. Superconductivity
  • Introduction to superconductivity: Onnes experiment and Meissner-Ochsenfeld effect
  • The London and London equations: penetration of currents and magnetic fields
  • The thermodynamics of the superconducting phase: free-energy, entropy and heat capacity
  • Cooper pairs and instability of the Fermi sea
  • Ground state in the Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) theory
  • Existence of the gap, its nature, and definition of the excited states in the BCS theory
  • The supercorrent as steady state, critical values of current and magnetic field and Meissner effect in the BCS theory
  • Experimental measurements of the gap, its temperature dependence and isotropic effect
  • High-Tc superconductors

Atomic and molecular quantum physics (also provided by a suitable Course inside this curriculum)

Elementary introduction to Materials (beneficial for undergraduates coming from different degrees)

A short course in advanced calculus: complex calculus, special functions, series and transforms

Lessons and practice lessons.

MAIN TEXTBOOK:

H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag 


ADDITIONAL CHAPTERS ARE TAKEN FROM THE FOLLOWING BOOKS, STILL AVAILABLE IN ENGLISH IN THE E-LEARNING PLATFORM OR AVAILABLE FROM THE UNIVERSITY LIBRARY:

N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing

F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri

G. GROSSO AND G. PASTORI PARRAVICINI, Solid state Physics, Academic Press

A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press

J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons

S. BLUNDELL, Magnetism in Condensed Matter, Oxford University Press.

First and second semester at different lesson periodicity. In particular, the lessons will start with the second part of the first semester, so that the basic course in quantum mechanics and the advanced course in calculus can provide most of the subjects necessary to follow this course. The students are therefore warmely invited to attend these two coursed with attention and continuity.

The final examination consists of two stages, that students can eventually take at different times. The first one concerns the topics of the Parts 1 and 2 of the course, and it includes a written mathematical derivation of some physical results. The second one regards the (more complex) topics of the Part 3 of the course, it is fully oral and mainly intended to test the understanding of the effects taking place, quoting - in case deriving - the quantitative results.

During the teaching time, students attending the course will have the possibility of taking the exam splitted in three partials, one for each part of the course. Since this assisted path requires that students study in parallel to lessons, active participation to them is warmely recommended. To further ease the preparation, organize and explain the exam modality and answer any question on the course topics, before each partial exam a meeting with the enrolled students, open to all others, will be scheduled.

By appointment writing one e-mail to leo.miglio@unimib.it, or to roberto.bergamaschini@unimib.it


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Key information

Field of research
FIS/03
ECTS
8
Term
Annual
Activity type
Mandatory
Course Length (Hours)
68
Language
English

Staff

    Teacher

  • Roberto Bergamaschini
    Roberto Bergamaschini
  • Leonida Miglio
    Leonida Miglio

Students' opinion

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Bibliography

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Enrolment methods

Self enrolment (Student)
Manual enrolments