Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti alcuni degli strumenti
teorici fondamentali per l'analisi di modelli economici descritti da sistemi dinamici ed alcuni
elementi di base della teoria della misura impiegati nell’analisi di modelli economici in presenza di incertezza.
L'acquisizione di tali competenze metterà in grado lo studente di:
1) saper "leggere" un modello che evolve in tempo continuo, la cui dinamica è descritta da sistemi di equazioni differenziali ordinarie (ODE), cioè di analizzare esistenza ed unicità di una soluzione ove siano note le condizioni iniziali, determinare esplicitamente eventuali soluzioni nel caso lineare ed in alcuni altri casi particolari, stabilire e classificare eventuali soluzioni d'equilibrio;
2) risolvere alcuni problemi di controllo ottimo, attraverso l'applicazione del principio del massimo di Pontryagin;
3) risolvere alcuni problemi più semplici del calcolo delle variazioni;
4) stabilire un collegamento tra la definizione di un integrale e la sottostante teoria della misura ed in particolare conoscere l'integrale di Lebesgue insieme alle sue proprietà fondamentali.
Contenuti sintetici
Il corso si compone di tre parti. Le prime due sono strettamente interconnesse mentre la terza, oltre a qualche collegamento con la seconda, fornisce elementi utili in corsi come Finanza Matematica M.
Nella Parte I sono esposti gli elementi fondamentali della teoria dei sistemi di equazioni differenziali ordinarie.
Nella Parte II viene presentato un approccio alla risoluzione di problemi di controllo ottimo (in tempo continuo) e un risultato di esistenza di soluzioni.
Nella Parte III vengono forniti i primi rudimenti della teoria della misura e dell'integrazione e, come caso particolare, viene introdotto l'integrale di Lebesgue, dando enfasi ai risultati di convergenza (monotona e dominata).
Programma esteso
Parte I (ODE):
- Equazioni differenziali in modelli economici, problemi di Cauchy e relativa nozione di soluzione.
- Riduzione di sistemi di ordine superiore al primo a sistemi del primo ordine.
- Risoluzione esplicita di alcune classi di equazioni differenziali: equazioni a variabili separabili, equazioni lineari, equazioni di Bernoulli.
- Alcune applicazioni a modelli (evoluzione di prezzi di mercato soggetti ad aggiustamento, modello macroeconomico di crescita di Solow).
- Teoremi di esistenza ed unicità in piccolo ed in grande di soluzioni per problemi di Cauchy.
- Soluzioni d’equilibrio ed alcune nozioni di stabilità (Lyapunov, asintotica locale/globale) per soluzioni d’equilibrio.
- Sistemi di equazioni differenziali lineari: metodi per la risoluzione esplicita e per l’analisi della stabilità di soluzioni d’equilibrio.
Parte II (Controllo Ottimo):
- Ottimizzazione dinamica: descrizione di problemi di controllo.
- Il principio del massimo di Pontryagin (caso a dinamica lineare e caso generale).
- Condizioni sufficienti di ottimalità (condizione di Mangasarian e condizione di Arrow).
- Applicazioni ad alcuni modelli economici (modello di compravendita ottima, problema di massimizzazione della vendita).
- Il problema più semplice del calcolo delle variazioni come caso particolare di un problema di controllo ottimo e relativa applicazione (modello di investimento/pianificazione del consumo ottimo).
- Cenni sulla sensitività: variabili aggiunte e prezzi ombra.
- Una condizione di esistenza di controllo ottimo (teorema di Fillipov).
Parte III (Elementi di teoria della misura):
- Algebre e σ-algebre, σ-algebre generate.
- Misure su σ-algebre e loro proprietà.
- Costruzione della misura di Lebesgue in Rn.
- Funzioni misurabili e loro proprietà.
- Integrale in uno spazio di misura e sue proprietà.
- Misure definite a mezzo di integrale ed assolutamente continue.
- Teoremi di convergenza (dominata e monotona).
- L'integrale di Riemann e di Lebesgue a confronto.
Prerequisiti
- Numeri complessi (nozioni di base);
- Calculus per funzioni di più variabili reali;
- Calcolo matriciale, determinante, invertibilità, rango;
- Autovalori e riduzione in forma diagonale di matrici;
- Forme quadratiche;
- Convessità/concavità di insiemi e funzioni.
Metodi didattici
L'intera attività formativa verrà svolta attraverso lezioni.
Durante lo svolgimento del corso verranno proposti esercizi da risolvere autonomamente in preparazione all'esame , alcuni dei quali verranno poi discussi in sessioni organizzate dal docente.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame si svolgerà in forma scritta. Non sono previste prove parziali in itinere.
Il formato di una prova scritta prevede essenzialmente tre tipi di quesito:
- la risoluzione di problemi;
- la discussione in dettaglio di alcuni modelli presentati nel corso;
- l'esposizione di alcuni argomenti della teoria e la loro applicazione in casi specifici.
Nello svolgimento di una prova d'esame saranno valutati la capacità di analisi e di classificazione di un problema proposto, la capacità di scelta ed applicazione delle metodologie di risoluzione prospettate nella teoria, la precisione e completezza espositiva nella discussione di modelli e dell'apparato teorico svolto nel corso.
Il docente del corso rende anche disponibile materiale per la simulazione di una prova d'esame.
Testi di riferimento
Appunti delle lezioni e materiale per le esercitazioni a cura del docente del corso.
Letture consigliate per integrare le lezioni:
- A. Guerraggio - S. Salsa, Metodi matematici per l'economia e le scienze sociali, G. Giappichelli Editore, Torino, 1997.
- K. Sydsæter - P. Hammond - A. Seierstad - A. Strøm, Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, Harlow, 2008.
Le videolezioni registrate saranno messe a disposizione, ad uso degli studenti, sulla pagina in E-learning dedicata al corso.
Periodo di erogazione dell’insegnamento
Secondo semestre, secondo ciclo.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Contents
The contents consist of three parts:
In the First Part, basic elements of the theory of ordinary differential equation systems are provided.
In the Second Part, an approach to (continuous time) optimal control problems is presented, along with
a solution existence result.
In the Third Part, basic elements of the measure theory and of the integration theory are provided. As a special case, the Lebesgue integral is considered and convergence theorems are discussed.
Detailed program
Part I (ODE):
- Differential equations in mathematical economics, Cauchy problems and related solution notion.
- Reduction to first order ODE of higher order ODE.
- Solving explicitly classes of differential
equations: separable equations, linear equations, Bernoulli's equation.
- Application to specific models (market price dynamics, Solow model of economic growth).
- Global and local solution existence and uniqueness for a Cauchy problem.
- Equilibria and their stability (in the Lyapunov sense, local and global asymptotic).
- Linear ODE systems: solution methods and stability.
Part II (Optimal control):
- Problem statement.
- The Pontryagin maximum principle (the linear dynamics case and beyond).
- Sufficient optimality conditions (Mangasarian condition and Arrow condition).
- Appllications to economical models (optimal selling strategies, selling maximization).
- The simplest problem of the calculus of variations as a special optimal control problem and its application (optimal consumption model).
- A glimpse of sensitivity and shadow prices.
- Existence of an optimal control (Fillipov's theorem).
Part III (Selected topics in measure theory):
- Algebra and σ-algebra, generated σ-algebra.
- Measures and their properties.
- The Lebesgue measure on Rn.
- Measurable functions and their properties.
- Integral over a measure space and its properties.
- Integral functions and absolutely continuous functions.
- Convergence theorems (Lebesgue's dominated convergence theorem and monotone convergence theorem).
- Riemann vs Lebesgue integral.
Prerequisites
No prerequisite. A refreshement concerning the following topics in Mathematics
is strongly advised:
- Basic notions about complex numbers;
- Multivariable calculus;
- Matrix calculus with basic elements of linear algebra;
- Eigenvalues and matrix diagonalization methods;
- Quadratic forms;
- Convexity for sets and functions.
Teaching methods
Class lectures.
During the teaching period, some exercise sessions are organized.
Assessment methods
Students are supposed to pass a written exminaton. There are no interim assessment.
A written examination consists of the following kind of questions:
- problem solving;
- discussion in details of models contained in the examination program;
- discussion of some theoretical topics and application of them to specific cases.
Material for exam simulations is also provided.
Textbooks and Reading Materials
Lecture notes and exercises are provided during the course.
Some further reading:
A. Guerraggio - S. Salsa, Metodi matematici per l'economia e le scienze sociali, G. Giappichelli Editore, Torino, 1997.
K. Sydsæter - P. Hammond - A. Seierstad - A. Strøm, Further Mathematics for Economic Analysis, Prentice Hall, Harlow, 2008.
Semester
The course is scheduled in the second half of the second semester.
Teaching language
Italian.
Scheda del corso
Staff
-
Amos Uderzo