- Area Economico-Statistica
- Corso di Laurea Triennale
- Economia e Amministrazione delle Imprese [E1802M]
- Insegnamenti
- A.A. 2021-2022
- 1° anno
- Matematica Generale I - 2
- Introduzione
Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Fornire allo studente gli strumenti matematici di base per la trattazione di semplici modelli matematici in economia: in particolare con questo corso si intende fornire allo studente i fondamenti del calcolo infinitesimale in una variabile, ivi compreso lo studio completo di funzioni, con cenni al calcolo in due variabili.
Contenuti sintetici
Funzioni reali di variabile reale e cenni alle funzioni reali di due variabili
Programma esteso
Numeri reali. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di sottoinsiemi di R. Il sistema ampliato dei numeri reali R*. Funzioni reali di una variabile reale. Generalità, dominio, codominio. Estremo superiore, inferiore, e massimo e minimo assoluto di una funzione. Funzioni iniettive, suriettive e biettive. Funzione composta e funzione inversa. Funzioni elementari. Grafici deducibili dal grafico delle funzioni elementari. Topologia di R. Definizione di limite. Limiti per eccesso e per difetto. Teorema di unicità del limite. Teorema di permanenza del segno. Teoremi di esistenza del limite: il teorema del confronto, il teorema di esistenza del limite per funzioni monotone. Continuità di una funzione. Punti di discontinuità. Proprietà delle funzioni continue su un insieme chiuso e limitato. Teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi (o di Darboux). Calcolo dei limiti. Forme di indecisione. Limiti notevoli e applicazioni. Infiniti, infinitesimi e loro confronto. Simboli di Landau: o (o piccolo), ~ (asintotico). Asintoti. Definizione di derivata. Significato geometrico della derivata ed equazione della retta tangente. Punti di non derivabilità. Relazione tra derivabilità e continuità. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione. Derivate di ordine superiore. Teorema di de l';Hôpital. Derivata di funzione composta, inversa. Condizione sufficiente per la derivabilità. Teorema di Fermat (condizione necessaria per l'esistenza di punto di estremo relativo interno di funzione derivabile). Teoremi di Rolle. Teorema di Lagrange. Conseguenze del teorema di Lagrange. Formula di Taylor e di Mc Laurin e applicazioni. Convessità, concavità e punti di flesso. Studio di funzioni. Funzioni reali di due variabili reali: dominio, segno, derivate parziali.
Prerequisiti
Algebra e geometria analitica elementari.
Metodi didattici
Tradizionali: lezioni frontali ed esercitazioni.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Scritto con 5 esercizi che coprono tutto il programma e almeno 2 domande di teoria e orale (facoltativo o a richiesta del docente). L'orale può contribuire sia in maniera positiva che in maniera negativa al voto finale. Per favorire l'apprendimento da parte degli studenti il docente si riserva di lasciare esercizi, anche sottoforma di quiz, da svolgere ed eventualmente consegnare sulla piattaforma e-learning durante il corso.
Testi di riferimento
A. Guerraggio, (2014): Matematica. Prentice Hall, second edition.
G. Monti, R. Pini: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
L. Scaglianti, M. Scovenna, A. Torriero: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni, CEDAM
M. Scovenna, R. Grassi, Esercizi di matematica. Esercitazioni e temi d’esame, CEDAM
Periodo di erogazione dell’insegnamento
Primo semestre, primo anno.
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course aims at giving to the student the basical mathematics tools in order to treat simple mathematical models in economics: after the course the student must have capability in infinitesimal calculus in one variable, with outlines to the calculus in two variables.
Contents
Real functions of real variables and outlines of real functions of two real variables.
Detailed program
Real
numbes. Supremum an infimum of subsets in R. The expanded System of real numbers R*
Real functions of one real variable. General
facts, domain, codomain. Supremum, infimum, absolute maximum and
minimum of a function. Injective, surjective and bijective functions. Composite function and inverse function. Elementary functions. Graphs of functions that can be deduced from graphs of elementary functions. Topology in R. Definition of limit. Excess limit and limit by default. Theorem on the uniqueness of the limit. Theorem of sign permanence. Theorems on the existence of the limit: comparison theorem, existence theorem for monotone functions. Continuity for a function. Discontinuity points. Properties of continuous functions in a bounded and closed interval. Weierstrass Theorem. Darboux Theorem. Evaluation of the limits. Indeterminate forms. Notable special limits and applications. Infinite, infinitesimal and their comparison. Landau symbols, asymptotic expansion. Asymptotes. Derivative: definition and geometric meanings, equation of the tangent line. Points of non differentiability. Relation between differentiability and continuity. Derivatives of the elementary functions. Derivation rules. Derivatives of higher order. De l'Hôpital theorem. Derivatives of composite and inverse functions. Sufficient condition for differentiability. Fermat Theorem( necessary condition for the existence of local extreme points inside the domain of a differentiable function). Rolle and Lagrange Theorems. Consequences of the Lagrange Theorem. Taylor and Mc Laurin formula and their applications. Concavity, convexity and inflections points. Study of functions. Real functions of two real variables: domain, sign and partial derivatioves.
Prerequisites
Algebra and analytic geometry at an elementary level
Teaching methods
Traditional: lectures and exercise classes.
Assessment methods
Written exam with 5 exercises and at least 2 theory questions and oral exam (optional or at the request of the teacher). The oral exam can contribute in a positive or negative way to the final evaluation. To encourage student learning, the teacher reserves the right to leave exercises, also in the form of quizzes, to be carried out and, if required, delivered on the elearning platform during the course.
Textbooks and Reading Materials
A. Guerraggio, (2014): Matematica. Prentice Hall, second edition.
G. Monti, R. Pini: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
L. Scaglianti, M. Scovenna, A. Torriero: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni, CEDAM
M. Scovenna, R. Grassi, Esercizi di matematica. Esercitazioni e temi d’esame, CEDAM
Semester
First semester, first year
Teaching language
Italian