Syllabus del corso
Obiettivi
Questo corso “Matematica per l’insegnamento - Geometria” ed il suo gemello “Matematica per l’insegnamento - Algebra” si rivolgono principalmente a futuri insegnanti di matematica e scienze. I due corsi sono completamente indipendenti. Chi insegna dovrebbe aver ben chiare le fondamenta di quanto insegna, e sarebbe anche auspicabile che sapesse un po’ di più di quanto deve insegnare. Per chiarire il problema, facciamo dei semplici esempi.
1 - Il quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo ha la stessa area dei due quadrati costruiti sui cateti (Pitagora).
2 - La diagonale di un quadrato non è commensurabile con i lati (Pitagora).
3 - Il perimetro di un cerchio di raggio R è 2πR e l’area è πR2. Il volume di una sfera di raggio R è 4/3πR3 e l’area è 4πR2 (Archimede).
4 - π = 3,14… (Archimede).
Tutte queste affermazioni sono ben note, ma quanti ne sanno una giustificazione? Questi corsi si propongono di rivisitare in modo rigoroso e con dimostrazioni la matematica delle scuole elementari e medie inferiori e superiori, con attenzione agli aspetti storici e didattici, ed ai collegamenti con altre scienze. Al termine dell'insegnamento lo studente dovrà avere acquisito i principi del ragionamento logico deduttivo, ed una capacità di esprimersi e comunicare in modo preciso e non ambiguo.
Contenuti sintetici
1 - Gli “Elementi” di Euclide.
2 - Perimetro, area, volume, baricentro.
3 - Trigonometria.
4 - Geometria analitica.
5 - Geometria e astronomia.
6 - Matematica ricreativa.
Programma esteso
1 - “Elementi” di Euclide, Libro I e Libro VI. Assiomi e postulate. Teoremi di Pitagoga e Talete. Teoria delle proporzioni e metodo di esaustione di Eudosso, e definizione di Dedekind di numero reale. Poliedri platonici e archimedei. Lunule di Ippocrate e Leonardo da Vinci.
2 - Definizione assiomatica di misura. Principio di Cavalieri. Perimetro, area, volume di figure elementari. Parallelogrammi, triangoli, cerchi, prismi, cilindri, coni, sfere. Problema isoperimetrico: Perchè le bolle di sapone sono rotonde? Baricentro. Corpi galleggianti.
3 – Trigonometria. Teoremi di Pitagora e Talete. Misura di angoli in radianti. Seno, coseno, tangente. Misura di triangoli. Misura del cerchio di Archimede: 3+10/71<π<3+1/7.
4 - Geometria analitica. Coordinate geografiche. Coordinate polari e cartesiane. Teorema di Talete ed equazione della retta. Teorema di Pitagora ed equazione del cerchio. Il piano cartesiano verifica i postulati di Euclide. Geometrie non euclidee. Luoghi geometrici: insieme dei punti con determinate proprietà. Parabola, iperbole, ellisse. Folium di Cartesio: x3+y3-3xy=0.
5 - Geometria e astronomia. Un po' di storia. Misura della Terra e del Cosmo. Dimensioni e distanze di Terra, Sole, Luna, e pianeti. Calendario. Leggi di Keplero.
6 - Matematica ricreativa. Curiosità, rompicapo, giochi matematici. La matematica ricreativa può avere contenuti matematici di rilievo, anche senza richiedere particolari conoscenze avanzate, e può avere una notevole ricaduta didattica.
Prerequisiti
La matematica di base oggetto dell’insegnamento della scuola primaria e secondaria. Nessuna propedeuticità.
Modalità didattica
Lezioni ed esercitazioni. Attività di riflessione e approfondimento autonoma e di gruppo.
Materiale didattico
R.Courant, H.Robbins “Che cos’è la matematica?”.
C.B.Boyer “Storia della matematica”.
Euclide “Elementi”.
E.Moise “Elementary geometry from an advanced standpoint”.
G.Polya "How to solve it".
G.Polya "Mathematics and plausible reasoning".
G.Polya "Mathematical discovery".
H.Steinhaus “Matematica per istantanee”.
H.Steinhaus “Matematica per istantanee”.
Wikipedia.
Per gli argomenti trattati a lezione saranno disponibili delle note dettagliate del docente.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale. Il voto viene espresso in trentesimi. Lo studente dovrà dimostrare di essere in grado di esporre con chiarezza e proprietà di linguaggio le conoscenze acquisite, dimostrando la loro completa comprensione.
Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Aims
This course “Matematica per l’insegnamento - Geometria” and his twin “Matematica per l’insegnamento - Algebra” are aimed at future teachers of mathematics an sciences. The two courses are completely independent. The aim of these courses is to revisit in a rigorous way with proofs the mathematics of the elementary and secondary schools, with emphasis on the historical and didactical aspects, and connections with other sciences.
Contents
1 - Euclid “Elements”.
2 - Perimeter, area, volume, barycenter.
3 - Trigonometry.
4 - Analytical geometry.
5 - Geometry and astronomy.
5 - Recreational mathematics.
Detailed program
1 - Euclid “Elements”, Book I and Book VI. Axioms and postulates. Theorems of Pythagoras and Thales. Eudoxus’ theory of ratio and proportion and exhaustion, and Dedekind’s definition of real numbers. Platonic and Archimedean polyhedra. Lunulae of Ippocrathes and Leonardo da Vinci.
2 - Axiomatic definition of measure. Cavalieri principle. Perimeter, area, volume of elementary figures. Parallelograms, triangles, circles, prisms, cylinders, cones, spheres. Isoperimetric problem. Barycenter. Floating bodies.
3 – Trigonometry. Theorems of Pythagoras and Thales. Measure of angles in radians. Sine, cosine, tangent. Measure of triangles. Measure of the circle of Archimedes: 3+10/71<π<3+1/7. Measure of the cosmos.
4 - Analytical geometry. Geographical coordinates. Polar and Cartesian coordinates. Theorem of Thales and equation of a straight line. Theorem of Pythagoras and equation of a circle. The Cartesian plane satisfies the Euclidean postulates. Non Euclidean geometries. Geometrical loci. Parabola, hyperbola, ellipse. Folium of Descartes: x3+y3-3xy=0.
5 - Geometry and astronomy. Sizes and distances of the Earth, Sun, Moon, planets. Calendar. Kepler laws.
6 - Recreational mathematics. Mathematical games and puzzles.
Prerequisites
Background: Basic mathematics of the elementary and secondary schools. Prerequisites: None.
Teaching form
Classroom lectures. Individual and group study.
Textbook and teaching resource
R.Courant, H.Robbins “What is mathematics? An elementary approach to ideas and methods”.
C.B.Boyer “A history of mathematics”.
Euclid “Elements”.
E.Moise “Elementary geometry from an advanced standpoint”.
G.Polya "How to solve it".
G.Polya "Mathematics and plausible reasoning".
G.Polya "Mathematical discovery".
H.Steinhaus "Mathematical Snapshots".
H.Steinhaus “Mathematical snapshots”.
Wikipedia.
Notes of the lecturer.Semester
Second semester.
Assessment method
Oral examination. Mark out of thirty, the exam is passed if the evaluation is at least 18/30. The student shall demonstrate to be skilled in connections among the topics of the course, in scientific vocabulary, comprehension and communication.
Office hours
On appointment.
Scheda del corso
Staff
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Leonardo Colzani