Syllabus del corso
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire un'introduzione all'algebra lineare con applicazioni alla geometria, indispensabili per preparare lo studente alla comprensione della matematica che verrà impartita negli altri insegnamenti.
I risultati di apprendimento attesi comprendono la conoscenza delle nozioni fondamentali relative a spazi vettoriali, diagonalizzazione di endomorfismi e prodotti scalari. Ci si aspetta che lo studente acquisisca la capacità di analizzare e riproporre le dimostrazioni presentate durante le lezioni, di risolvere alcuni facili problemi facendo uso delle tecniche apprese, e di approfondire, anche in maniera autonoma, alcuni dei risultati presentati durante il corso.
Contenuti sintetici
Spazi vettoriali; studio dei sistemi lineari, e geometria affine. Applicazioni lineari, matrici; diagonalizzazione di endomorfismi. Prodotti scalari.
Programma esteso
- Calcolo matriciale.
- Sistemi di equazioni lineari.
- Sottospazi affini di Rⁿ e loro rappresentazioni cartesiane e parametriche. Distanza e perpendicolarità in Rⁿ
- Spazi vettoriali.
- Applicazioni lineari e matrice associata.
- Determinante.
- Autovalori, autovettori, polinomio caratteristico, diagonalizzabilità.
- Spazio duale.
- Prodotti scalari e cenni ai prodotti hermitiani; teorema di Sylvester.
- Operatori autoaggiunti, ortogonali, cenni agli operatori unitari.
- Teorema spettrale.
Prerequisiti
Una buona conoscenza della matematica della scuola superiore.
Modalità didattica
L'insegnamento prevede Lezioni frontali (48 ore, 6 CFU) ed Esercitazioni (24 ore, 2CFU). Nelle lezioni vengono presentati definizioni, risultati e teoremi rilevanti e si forniscono esempi e analisi di problemi dove vengono utilizzate le nozioni introdotte. Nelle esercitazioni vengono proposti e risolti esercizi relativi alle tematiche presentate a lezione.
Per stimolare la partecipazione, saranno proposti regolarmente esercizi la cui risoluzione è lasciata agli studenti.
E' previsto un progetto di tutorato a supporto dell'attività didattica, principalmente per fornire aiuto nella risoluzione degli esercizi proposti attraverso la piattaforma e-learning.
Le attività didattiche si svolgeranno in presenza o da remoto a seconda dell'evoluzione della situazione sanitaria.
Materiale didattico
Testi consigliati:
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
- E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017
Alla pagina e-learning del corso saranno rese disponibili dispense su alcuni argomenti.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
La verifica del profitto si articola in due prove, una scritta ed una orale, valutate sulla base della correttezza, della completezza, del rigore e della chiarezza delle risposte fornite.
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Prova scritta. Della durata di 120 minuti, consiste in:
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alcuni esercizi a risposta aperta, simili a quelli proposti nelle esercitazioni, utili a valutare la capacità di applicare i risultati teorici nella risoluzione di problemi;
- un quesito di tipo teorico, articolato in più punti, in cui è richiesto di fornire definizioni ed enunciati di teoremi o discutere esempi e aspetti di argomenti trattati nel corso.
Il punteggio massimo è di 33 punti, di cui fino a 27 per la risoluzione degli esercizi e fino a 6 per il quesito teorico. Questa prova si intende superata ottenendo un punteggio complessivo non inferiore a 15.
- Prova orale. L'ammissione a questa prova è subordinata al superamento della prova scritta. La prova consiste in una prima parte in cui viene discussa la prova scritta e in una seconda parte utile a valutare la conoscenza e la padronanza di definizioni, teoremi e dimostrazioni discussi durante il corso. Il voto proposto al termine della prova tiene conto di entrambe le parti, della prova scritta e dell'eventuale bonus maturato. Tale voto costituisce il voto finale dell'esame.
L'esame è superato se il voto finale è pari a 18 o superiore.
Con cadenza regolare durante il corso sono assegnati esercizi; le consegne saranno valutate e danno diritto ad un bonus che concorre al raggiungimento della soglia per l'ammissione alla prova orale e alla valutazione finale. Tale bonus decade dopo i primi due appelli.
È previsto l'esonero dalla prova orale per chi ottiene almeno 21 punti nella prova scritta. In tal caso, detto S il punteggio ottenuto nella prova scritta incrementato dell'eventuale bonus maturato, sarà possibile verbalizzare direttamente il voto minimo tra S e 25. Si noti che l'eventuale bonus maturato non concorre al conseguimento dell'esonero dalla prova orale. Si noti altresì che per verbalizzare un voto maggiore di 25 è necessario sostenere la prova orale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
In line with the educational objectives of the Degree in Mathematics, the course aims to provide an introduction to linear algebra with applications to geometry, essential to prepare the student to understand the mathematics that will be taught in other courses.
Students are expected to gain knowledge of fundamental notions on vector spaces, diagonalization of endomorphisms and scalar products. They are also expected to gain the ability to reproduce the proofs presented in the course, to solve easy problems using the techniques they have learned, and to delve further, with or without guidance, into some of the results presented during the course.
Contents
Vector spaces; systems of linear equations and affine geometry. Linear maps, matrices; diagonalization of an endomorphism. Scalar products.
Detailed program
- Matrix calculus.
- Systems of linear equations.
- Affine subspaces of Rⁿ and their representations. Distance and orthogonality in Rⁿ
- Vector spaces.
- Linear maps and matrices.
- Determinants.
- Eigenvalues, eigenvectors, characteristic polynomial, diagonalization.
- Dual space.
- Scalar and Hermitian products; Sylvester Theorem.
- Self-adjoint, orthogonal, unitary operators.
- Spectral Theorem.
Prerequisites
Good knowledge of high school mathematics.
Teaching form
The course is organized in Lectures (48 hours, 6 CFU) and Exercise classes (24hours, 2CFU). Definitions, results, and relevant theorems will be discussed in Lectures, providing examples and problems making use of the notions introduced. Exercises on the subject matters covered in the lectures are presented and solved during Exercise classes.
Some exercise sets will be made available regularly on the e-learning website to encourage participation.
A tutor will provide students with support in solving the exercises published on the e-learning website.
Teaching activies will be held in presence or remotely according to how the health situation evolves.
Textbook and teaching resource
Reference books:
- M. Abate, Geometria, McGraw Hill, 2002.
- S. Lang, Algebra Lineare, Boringhieri, III edizione.
- E. Schlesinger, Algebra lineare e geometria, Zanichelli 2017
Lecture notes on the e-learning webpage.
Semester
First semester.
Assessment method
Written and oral exams, evaluated on the basis of correctness, completeness, precision, and clarity of the answers.
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Written exam. It consists of two parts:
- exercises (with open-ended questions) for evaluating the ability to apply the theoretical results in solving problems;
- a theoretical question where the student is asked to answer by giving definitions, statements of theorems, and provide examples and motivations.
The examination lasts two hours. The maximum score is 33 points: up to 27 for the exercises, and up to 6 for the theoretical question. The passing score of the written exam is 15 points.
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Oral exam. Having passed the written exam is required to attain the oral exam. It consists of two parts: in the first part the written exam is discussed, in the second part is required to answer questions to evaluate knowledge of definitions, theorems, and proofs. Together with the score of the written part, both parts are taken into account in forming the final score.
During the course, exercises will be assigned; their evaluation will give right to a bonus that concurs both to reaching the threshold for admission to the oral exam and to the final evaluation. This bonus expires after the first two exam calls.
The exam is passed if the final score is at least 18 points.
Scoring at least 21 in the written exam yields the exemption from the oral exam. In this case, the final score will be the minimum between S and 25, being S the score of the written part increased by the score gained with homework.
Office hours
By appointment.
Sustainable Development Goals
Staff
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Sonia Brivio
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Francesca Dalla Volta
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Michele Rossi
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Gianluca Faraco
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Andrea Galasso
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Samuele Mongodi
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Federico Clerici
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Simone Gallivanone
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Gianluca Ponzoni
