Syllabus del corso
Obiettivi
Obiettivo dell’insegnamento è fornire allo studente un secondo corso di Matematica di base. Gli studenti oltre a comprendere la teoria dovranno essere in grado di illustrarla attraverso esempi significativi e di risolvere un'ampia gamma di esercizi ad essa collegati.
Contenuti sintetici
Calcolo differenziale e integrale per funzioni di più variabili.
Programma esteso
Elementi di algebra lineare. Vettori e geometria dello spazio Euclideo. Rette e piani nello spazio. Matrici. Determinanti. Sistemi lineari. Forme quadratiche.
Funzioni di più variabili. Limiti e continuità. Derivate parziali. Differenziabilità, piano tangente e approssimazione lineare. Derivata direzionale e gradiente. Curve regolari. Derivata di funzioni composte. Curve e superfici di livello. La formula di Taylor. Massimi, minimi e punti sella. Vincoli e moltiplicatori di Lagrange. Il teorema della funzione implicita (cenno).
Calcolo integrale per funzioni di più variabili. La misura di Jordan. Integrali multipli. Integrali iterati. Riduzione di integrali tripli. Integrazione per strati e per fili. Cambiamento di variabili negli integrali multipli.
Analisi vettoriale. Lunghezza di una curva e integrali di linea di I specie. Campi vettoriali e integrali di linea di II specie. Area di una superficie curva e integrali di superficie di I e II specie. La formula di Green. Campi vettoriali conservativi. Il rotore. Campi vettoriali solenoidali. I teoremi di Stokes e Gauss-Ostrogradski.
Prerequisiti
Matematica I
Modalità didattica
-
Lezione frontale (in italiano), 6 CFU
-
Esercitazione (in italiano), 2 CFU
Materiale didattico
1. Appunti forniti dal docente.
- James Stewart: Calcolo vol II - Funzioni di più variabili, (Apogeo, Milano).
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta ed una orale. Tipicamente la prova scritta consiste nello svolgimento di cinque esercizi:
due esercizi di calcolo differenziale e tre esercizi di calcolo integrale. L'ammissione all'orale richiede un voto complessivo nella prova scritta non inferiore a 15/30. La prova orale deve essere sostenuta nella stessa sessione d'esame in cui è stata sostenuta la prova scritta o in quella successiva. Durante lo svolgimento del corso sono previste due prove parziali. Il superamento di queste prove equivale al superamento della prova scritta con un voto pari alla media delle due prove che dovranno comunque essere superate con un voto non inferiore a 15/30. Chi supera le prove parziali dovrà sostenere la prova orale entro l'appello di settembre.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The aim of this course is to provide a second course in Mathematical Analysis. In addition to understanding the theory, students should be able to illustrate it through meaningful examples and to solve a wide range of related exercises.
Contents
Differential and integral calculus for functions of several variables.
Detailed program
Elements of linear algebra. Vectors and geometry in the Euclidean space. Lines and planes. Matrices. Determinant. Linear systems: Cramer’s rule. Quadratic forms.
Functions of several variables. Limits and continuity. Partial derivatives. Differentiability, tangent planes and linear approximations. Directional derivatives and gradient. Regular curves. The chain rule. Surfaces and level curves. Taylor’s formula. Maxima, minima, and saddle points. Constraints and Lagrange multipliers. The implicit function theorem.
Integral calculus for functions of severable variables. Jordan measure. Multiple integrals. Iterated integrals. Reduction of multiple integrals: cross section and shadow methods. Change of variables in multiple integrals.
Vector Analysis. Lenght of a curve and line integrals of first kind. Vector fields and line integrals of second kind. Surface area and surface integrals of first and second kind. Green's formula. Conservative vector fields. Curl. Solenoidal vector fields. Stokes and Gauss-Ostrogradski theorems.
Prerequisites
The course of Mathematics I
Teaching form
-
Lessons (in italian), 6 credits
-
Classes (in italian), 2 credits
Textbook and teaching resource
1. Lecture notes.
- James Stewart: Multivariable Calcululs.
Semester
Second semester
Assessment method
Written and oral examination. Usually the written examination consists in the solution of 5 problems: two problems of differential calculus and three problems of integral calculus. The minimum grade to pass to the oral part is 15/30.
The oral examination can be performed in the same session of the written part, as well as in the subsequent session.
During the course there will be two partial written exams. Passing these tests is equivalent to passing the written exam with a grade equal to the average of the grades (at least 15/30 for each test). Those who pass the partial exams should take the oral exam within the September session.
Office hours
By appointment.
