Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso tratta dei metodi matematici utili per l'attività in campo economico e finanziario, e si compone di due parti principali: una parte di Matematica Generale II e una di Matematica finanziaria.
Nella prima parte vengono presentati alcuni strumenti matematici utili per lo studio di operazioni finanziarie e di modelli economici, soffermandosi sull’importanza dell’acquisizione di una capacità di ragionamento logico e cercando di stimolare lo studente al desiderio della piena comprensione degli argomenti che si trattano.
Nella seconda parte vengono presentati i principi di base della Matematica finanziaria tradizionale, sia da un punto di vista teorico che da un punto di vista applicativo. Gli argomenti vengono proposti seguendo un’impostazione fondamentalmente deduttiva della disciplina, intesa quale logica prosecuzione applicativa delle nozioni apprese nei corsi di Matematica Generale.
Sono quindi descritti argomenti di base di Matematica (Successioni e serie, Integrali, Algebra Lineare) e di Matematica finanziaria (Leggi di capitalizzazione e sconto, Rendite, Costituzione di un capitale, Rimborso di un prestito, Operazioni finanziarie, Titoli obbligazionari).
Risultati attesi:
- Acquisizione delle conoscenze relativa ai contenuti disciplinari.
- Acquisizione delle capacità di ragionamento logico deduttivo che consente, dato un problema matematico o finanziario, e noti gli strumenti matematici studiati, di elaborare una formula risolutiva.
- Capacità di analizzare un problema finanziario anche complesso e di utilizzare gli strumenti acquisiti appropriati per risolverlo.
Contenuti sintetici
Il corso presenta:
- nella prima parte alcune nozioni fondamentali della Matematica Generale:
Serie Numeriche, Integrali e Algebra Lineare;
- nella seconda parte le nozioni fondamentali di Matematica Finanziaria:
Capitalizzazione ed Attualizzazione, Rendite. Costituzione di capitale ed ammortamenti, Operazioni finanziarie e Criteri di scelta, Titoli obbligazionari.
Programma esteso
Successioni: studio del limite di una successione. Serie numeriche: carattere e somma di una serie. Serie telescopica. Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza*. Regolarità delle serie a termini di segno definitivamente costante*. Criterio del confronto, del confronto asintotico, della radice*, del rapporto*. Dimostrazione della divergenza della serie armonica. La serie armonica generalizzata. Serie a segno alternato. Convergenza semplice e assoluta. Teorema della convergenza assoluta*. Serie di potenze. Sviluppi in serie di Taylor/ Mac Laurin.
Teoria dell’integrazione: integrale definito di Riemann. Definizione di media integrale e relativo teorema*. Definizione di primitiva. Integrale indefinito. Teorema fondamentale del calcolo integrale* e corollario* del TFCI. Calcolo di primitive: integrazione per parti*, per sostituzione. Integrazione di alcune funzioni razionali fratte. Integrali generalizzati.
Algebra lineare. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante di una matrice quadrata e sue proprietà. I teorema di Laplace. II teorema di Laplace. Matrice inversa. Unicità della matrice inversa*. Condizione necessaria e sufficiente di invertibilità*. Rango. Sistemi di equazioni lineari; regola di Cramer; teorema di Rouché/Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari.
Leggi di capitalizzazione Operazioni finanziarie. Montante, interesse, sconto. Leggi di capitalizzazione e leggi di attualizzazione. Tassi di interesse e tassi di sconto. Tassi equivalenti. Forza d’interesse. Scindibilità.
Rendite e loro classificazione. Valore di una rendita in un istante t. Calcolo di valori attuali, montanti e quantità caratteristiche di particolari tipi di rendite. Scadenza, scadenza media aritmetica, Duration. Costituzione di un capitale. Rimborso di un prestito. Ammortamenti. Operazioni finanziarie in generale: investimenti / finanziamenti, in senso stretto, lato, generale, puri. Criteri di scelta per operazioni finanziarie: TIR, REA, tempo di recupero. Titoli obbligazionari e loro valutazione: Caratteristiche di un titolo obbligazionario e indicatori di redditività. La struttura per scadenza, tassi spot, tassi forward. Duration.
Prerequisiti
Sono ritenute prerequisito indispensabile la conoscenza e la padronanza degli argomenti tipici dei Precorsi di Matematica e del corso di Matematica Generale (Logica. Teoria degli insiemi. Insiemi numerici: interi naturali, interi relativi, razionali, reali. Relazioni d'ordine e di equivalenza. Calcolo combinatorio. Trigonometria. Equazioni e disequazioni. Funzioni reali di una o più variabili reali: limiti, continuità, calcolo differenziale, polinomio di Taylor MacLaurin).
Metodi didattici
Nel periodo di emergenza Covid le lezioni si svolgeranno da remoto in modalità sincrona.
Il corso prevede lezioni ed esercitazioni frontali. Le lezioni sono mirate all'approfondimento delle conoscenze teoriche dello studente sugli argomenti del corso. In questa sede viene dato ampio spazio alla formalizzazione e alla derivazione dei concetti matematici rilevanti per le tematiche considerate ma vengono anche presentate soluzioni di esercizi per illustrare i concetti presentati in astratto.
Le esercitazioni sono mirate esclusivamente a potenziare le capacità di problem solving dello studente. In questa sede è quindi dato spazio alla soluzione di problemi matematici e di modellizzazione di problemi di matematica finanziaria.
Sono previste della attività di tutorato volte a supportare lo studente nel risolvere problemi.
Nella pagina Elearning dedicata al corso vengono forniti materiali per esercitarsi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame consiste in una prova scritta e una prova orale: se il voto della prova scritta è minore di 18 la prova è insufficiente e l'esame deve essere ripetuto; se il voto della prova scritta è maggiore o uguale a 18 si può accedere alla prova orale.
Nella prova scritta lo studente deve mostrare di aver appreso gli argomenti del corso e i procedimenti per svolgere gli esercizi, motivando i risultati ottenuti negli esercizi con tutti i passaggi che lo hanno portato ad essi e argomentando le risposte alle eventuali domande di ragionamento.
La prova orale verifica, attraverso la richiesta dell'esposizione di definizioni, di teoremi e quesiti teorici ed esercizi, la capacità di ragionamento acquisita, la conoscenza degli argomenti trattati e la padronanza del linguaggio e del rigore scientifico.
Le prove orali si effettuano nel giorno che viene comunicato durante la prova scritta o contestualmente alla pubblicazione dei risultati dello scritto. Solo in casi eccezionali (problemi di salute o di lavoro) adeguatamente giustificati con certificati, e solo se l’impossibilità di presentarsi in quel giorno sarà comunicata prima della data stabilita, sarà possibile effettuare prove orali in altra data.
Non ci sono modalità o richieste diverse per frequentanti e non.
E' in corso di attuazione la delibera per l'istituzione del salto d'appello nei casi per i quali lo si ritiene opportuno (ripetute iscrizioni non seguite dalla presenza all'esame, comportamenti scorretti con uso di dispositivi vietati durante gli esami, prove gravemente insufficienti).
In periodi di emergenza Covid-19 gli esami saranno solo telematici. Verranno svolti utilizzando la piattaforma WebEx e nella pagina e-learning dell'insegnamento verrà riportato un link pubblico per l'accesso all'esame di possibili spettatori virtuali.
Le modalità d'esame verranno comunicate nella pagina del corso.
Testi di riferimento
Matematica Generale
Allevi-Bertocchi-Birolini-Carcano-Moreni, Manuale modulare di Metodi Matematici, Giappichelli. Editore, seconda edizione, 2003-2004. Modulo 5: Successioni, serie, integrali.
Per l’Algebra lineare uno dei seguenti testi:
· Marco Vignati, Annamaria Squillati. Appunti di Algebra Lineare con esercizi svolti, Datanova 1995
· Allevi-Bertocchi-Birolini-Carcano-Moreni, Manuale modulare di Metodi Matematici, Giappichelli. Editore, seconda edizione, 2003-2004. Modulo 4: Algebra lineare.
Per gli esercizi si segnalano le seguenti dispense:
· G. Carcano, Matematica Generale. Successioni, serie, integrali. Test ed esercizi, con richiami teorici, Datanova, Milano 2000.
· G. Carcano, Algebra lineare. Test, esercizi e temi d’esame, svolgimenti e richiami teorici, Datanova, Milano (2002).
· F. Brega, G.Messineo, Esercizi di Matematica Generale. Successioni e serie –Integrali – Algebra Lineare. Giappichelli, 2006.
Per gli argomenti tipici dei precorsi:
· R. D’Ercole, Matematica per i precorsi, Pearson Education, 2007.
Matematica Finanziaria
- S. Stefani -A. Torriero-G.M. Zambruno, “Elementi di matematica finanziaria e cenni di programmazione lineare”, Giappichelli, Torino, 2011 IV edizione
Per gli esercizi
- G. Bolamperti, G. Ceccarossi, Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di Programmazione Lineare, Esercizi, Giappichelli , Torino.
- G.Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d'esame, con svolgimenti e richiami teorici. Datanova, Milano, 2001.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
To explain the following mathematical tools and teach how to use them: sequences, explicitly or implicitly defined, series (numeric and power series), integrals (ordinary and generalized Riemann integrals); vector spaces (in particular, Euclidean vector spaces), matrices and simultaneous linear equations; economic applications.
Moreover, the scope of the course is to supply the theoretical elements needed for formalising and solving financial problems. The main mathematical instruments having significant application in financial theory and business practice will thus be presented and discussed.
Contents
Sequences, Series, Integration theory, Linear algebra.
Principles of financial calculus. Annuities. Amortization plans. Financial flows analysis. Investment appraisal. Bond pricing.
Detailed program
Sequences. Series: character and sum of a series; series with nonnegative terms; series with alternating signs; convergence tests; absolute and non-absolute convergence. Power series: Taylor/Mac Laurin power series expansions.
Integration theory: Riemann integral; indefinite integral, primitives; fundamental theorem of calculus; integration methods; generalized integral.
Linear algebra: Euclidean vector spaces; matrices and operations; determinant; inverse matrix; rank; simultaneous linear equations; Cramer rule; Rouché-Capelli theorem; solution procedure for simultaneous linear equations systems; applications to economics.
Principles of financial calculus.
Present and future value. Simple interest, discount and compound interest, trade discount. Equivalent and convertible rates. Force of interest. Separability condition.
Annuities and perpetuities. Annuities: definition, classification and evaluation. Amortization plans.
Financial flows analysis: Pay-back, N.P.V. and I.R.R. Investment appraisal. Bond pricing. Yields.
Spot rates. Forward rates. The term structure of interest rates.
Prerequisites
Calculus I
Teaching methods
Frontal lessons and exercises.
During the Covid-19 period of emergency lectures will be given in synchronous remote mode. The corresponding video recordings will subsequently remain available in the course’s website page for at least three exam dates.
Assessment methods
The exam consists of a written and an oral exam which are evaluated as follows:
- If the mark of the written test is less than 18, the exam has been failed and must be retaken;
- if the mark of the written test is greater than or equal to 18, it is possible to sustain the oral exam at the same exam event.
During the Covid-19 period of emergency exams will be given telematically. They will be performed using the WebEx platform, and in the course’s e-learning page will be given a public link for access to the exam by outside virtual visitors.
Textbooks and Reading Materials
Calculus
- Allevi-Bertocchi-Birolini-Carcano-Moreni, Manuale modulare di Metodi Matematici, Giappichelli. Editore, seconda edizione, 2003-2004. Modulo 5: Successioni, serie, integrali.
For Linear Algebra:
- Marco Vignati, Annamaria Squillati. Appunti di Algebra Lineare con esercizi svolti, Datanova 1995.
- Allevi-Bertocchi-Birolini-Carcano-Moreni, Manuale modulare di Metodi Matematici, Giappichelli. Editore, seconda edizione, 2003-2004. Modulo 4: Algebra lineare.
For exercises:
- G. Carcano, Matematica Generale. Successioni, serie, integrali. Test ed esercizi, con richiami teorici, Datanova, Milano 2000.
- G. Carcano, Algebra lineare. Test, esercizi e temi d’esame, svolgimenti e richiami teorici, Datanova, Milano (2002).
- F. Brega, G.Messineo, Esercizi di Matematica Generale. Successioni e serie –Integrali – Algebra Lineare. Giappichelli, 2006.
For the arguments of the pre-session course:
- R. D’Ercole, Matematica per i precorsi, Pearson Education, 2007.
Financial calculus
-
S. Stefani -A. Torriero-G.M. Zambruno, “Elementi di matematica finanziaria e cenni di programmazione lineare”, Giappichelli, Torino, 2011 IV edizione
-
G. Bolamperti, G. Ceccarossi, Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di Programmazione Lineare, Esercizi, Giappichelli , Torino.
-
G.Carcano, Matematica finanziaria. Test, esercizi e temi d'esame, con svolgimenti e richiami teorici. Datanova, Milano, 2001.
Semester
Second semester
Teaching language
Italian
