Syllabus del corso
Obiettivi formativi
L’insegnamento si propone di fornire i fondamenti del calcolo delle probabilità, che sono necessari sia in ogni contesto lavorativo sia come base per il prosieguo del percorso universitario. Nello specifico, allo studente verranno forniti gli strumenti per affrontare semplici problemi decisionali in condizioni di incertezza e le basi necessarie al successivo studio dell'analisi inferenziale dei dati.
Questo insegnamento fornirà conoscenze e capacità di comprensione relativamente a:
- come misurare l’incertezza che emerge nei processi decisionali
- quali sono le regole matematiche sottostanti ad un sistema coerente di misurazione dell’incertezza
- quali sono le proprietà e i limiti dei modelli probabilistici di uso più frequente
Alla fine dell’insegnamento gli studenti saranno in grado di:
- individuare gli elementi essenziali di un processo aleatorio
- costruire un modello probabilistico adeguato ad un determinato contesto
- utilizzare il modello probabilistico scelto per fornire indicatori di supporto alle decisioni
- comprendere l’utilizzo del calcolo delle probabilità nei modelli statistici per l’analisi dei dati
Contenuti sintetici
Probabilità di eventi e sue regole. Variabili aleatorie. Distribuzioni notevoli. Vettori aleatori. Teoremi limite.
Programma esteso
Calcolo combinatorio. Eventi e loro algebra. Misure di probabilità. Regole del calcolo delle probabilità. Assegnazione di una misura di probabilità. Probabilità condizionate. Teorema di Bayes. Indipendenza di eventi. Variabili aleatorie. Funzione di ripartizione, funzione di probabilità e funzione di densità. Sintesi di una variabile aleatoria: valore atteso, varianza, percentili, momenti. Funzione generatrice dei momenti. Distribuzione di funzioni di variabili aleatorie. Particolari leggi di distribuzione discrete: bernoulliana, binomiale, Poisson, geometrica, binomiale negativa, ipergeometrica. Particolari leggi di distribuzione continue (uniforme, normale, esponenziale negativa, gamma, chi-quadrato). Variabili aleatorie bidimensionali e multidimensionali (cenni). Funzioni di vettori aleatori. Teoremi limite del calcolo delle probabilità: legge dei grandi numeri e teorema centrale del limite.
Prerequisiti
L’esame non ha propedeuticità, tuttavia è vivamente consigliata la conoscenza degli argomenti trattati nei corsi di Analisi Matematica I e di Statistica I. Nello specifico, lo studente deve avere familiarità con i limiti, le serie numeriche, il calcolo integrale, le principali sintesi grafiche e numeriche di un insieme di dati.
Metodi didattici
Il corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni. Sono previste inoltre attività di tutoraggio, sia durante il corso, sia in prossimità degli esami.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L’esame prevede una prova scritta, comprendente esercizi e domande di teoria, e una prova orale. Accedono all'orale gli studenti che abbiano riportato almeno 18 trentesimi nella prova scritta.
Le domande di teoria consentono di verificare la conoscenza e la comprensione delle regole del calcolo delle probabilità e dei principali modelli probabilistici. Gli esercizi consentono di verificare la capacità di analizzare un processo aleatorio, la capacità di scegliere un adeguato modello probabilistico e la capacità di dedurre indicatori sintetici dal modello scelto. Inoltre, sia le domande di teoria sia gli esercizi consentono di verificare la capacità di esprimersi con un linguaggio tecnico adeguato.
Testi di riferimento
Il libro di testo è:
Ross, S. M. “Calcolo delle probabilità (terza edizione italiana)”, Maggioli, 2016.
Il riferimento al libro di testo è essenziale per seguire lezioni ed esercitazioni. Ulteriore materiale di supporto viene fornito tramite la piattaforma e-learning.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre (III e IV ciclo)
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course aims at introducing the basics of probability, which are needed both in many working activities and in the following courses of the undergraduate program. Specifically, students will be provided with the main tools to solve simple decisional problems under uncertainty and with the fundamentals needed to study inferential analysis of data.
This course aims at providing knowledge and understanding related to:
- how to measure the uncertainty arising in decision making
- the rules underlying a coherent system of measurement of the uncertainty
- the properties and the limitations of commonly used probabilistic models
At the end of the course, students will be able:
- to locate the essential elements of a random process
- to build a suitable probabilistic model for a given framework
- to derive indicators supporting decision making from the chosen model
- to understand the use of probability in common statistical models for the analysis of data
Contents
Probability and its rules. Random variables. Main distributions. Random vectors. Limit theorems.
Detailed program
Combinatorics. Events and their algebra. Probability measures. Rules of probability. Assignment of a probability measure. Conditional probabilities. Bayes theorem. Independent events. Random variables. Cumulative distribution function, probability function, density function. Summary of a random variable: expected value, variance, percentiles, moments. Moment generating function. Distribution of functions of a random variable. Relevant discrete distributions: Bernoulli, binomial, Poisson, geometric, negative binomial, hypergeometric. relevant continuous distributions: uniform, normal, negative exponential, gamma, chi-squared. Bivariate and multivariate random variables. Functions of random vectors. Limit theorem of probability theory: law of large numbers, central limit theorem,
Prerequisites
There are no propaedeutic exams; however, familiarity with the subjects of the courses of Analisi Matematica I and Statistica I is highly recommended. Specifically, students must be familiar with limits, series, integrals and the main summaries (both numerical and graphical) of datasets.
Teaching methods
The course is taught by frontal lessons and practical sessions (exercises). Tutoring is also provided, both during the course and in preparation to exams.
Assessment methods
The exam consists of a written test, containing both exercises and questions about theory, and of an oral test. Only students with a grade of at least 18/30 can take the oral test.
Questions about theory aim at testing knowledge and understanding of the rules of probability and of the main probabilistic models. Exercises aim at testing the ability to analyze a random process, the ability to choose a suitable probabilistic model and the ability to derive synthetic indicators from the model. Moreover, both questions about theory and exercises aim at testing the ability to report results in a suitable technical language.
Textbooks and Reading Materials
The textbook is :
Ross, S. M. “Calcolo delle probabilità (terza edizione italiana)”, Maggioli, 2016.
Reference to the textbook is crucial to attend lessons and practical sessions. Additional materials are provided by the e-learning website.
Semester
II semester (III and IV cycle)
Teaching language
Italian
Staff
-
Claudio Giovanni Borroni