Course Syllabus
Obiettivi
L'obiettivo di questo corso è di insegnare alcuni metodi di analisi matematica, in particolare analisi complessa e di Fourier, utili per lo studio delle equazioni differenziali della fisica classica e della meccanica quantistica.
I risultati di apprendimento attesi includono:
- la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché degli argomenti in alcune dimostrazioni; la conoscenza e la comprensione di alcune classi di esempi fondamentali a cui si applica la teoria;
- la capacità di risolvere esercizi e problemi semplici e di interpretarne i risultati; la capacità di applicare i risultati teorici a esempi e situazioni specifiche; la capacità di comunicare e spiegare in modo chiaro e preciso sia gli aspetti teorici del corso sia le loro applicazioni a determinati contesti.
Contenuti sintetici
Analisi complessa. Serie di Fourier. Trasformata di Fourier. Distribuzioni temperate e delta di Dirac.
Programma esteso
Serie di Fourier
Coefficienti e serie di Fourier in forma reale e complessa. Teorema di Dirichlet. Formula di Parseval.
Analisi complessa
Funzioni complesse. Funzioni olomorfe e funzioni armoniche. Teorema di Cauchy. Serie di Laurent. Teorema dei residui. Lemma di Jordan. Calcolo di integrali usando il teorema dei residui.
Trasformata di Fourier I.
Trasformata di Fourier classica e antitrasformata. Proprietà della trasformata di Fourier. Formula di Parseval. Funzioni Gaussiane. Calcolo di trasformate di Fourier usando il teorema dei residui.
Distribuzioni.
Spazio di Schwartz. Distribuzioni temperate. Operazioni sulle distribuzioni e derivata di una distribuzione. Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Delta di Dirac.
Trasformata di Fourier II.
Trasformata di Fourier di distribuzioni temperate. Convoluzione. Applicazione alla risoluzione di alcune equazioni alle derivate parziali.
Prerequisiti
Analisi matematica di base: trigonometria, numeri complessi, calcolo differenziale per funzioni in una o più variabili, calcolo integrale (molto importante), equazioni differenziali ordinarie, successioni e serie di funzioni.
Qualora uno studente pensi di avere delle lacune su uno dei prerequisiti indicati, è pregato di segnalarlo al docente il prima possibile (idealmente prima dell'inizio del corso).
Modalità didattica
Lezioni frontali alla lavagna e esercitazioni. Il corso si svolgerà in inglese.
Materiale didattico
Delle dispense scritte dall'insegnante saranno rese disponibili sull'e-learning.
Queste dispense possono essere integrate da altri testi, quali ad esempio:
- Advanced engineering mathematics / Erwin Kreyszig. Wiley 10. ed. 2011 (disponibile su Internet Archive all'indirizzo )
- Methods of Applied Mathematics with a MATLAB Overview / John H. Davis. Birkhauser (ebook disponibile connettendosi Biblioteca della Bicocca)
- Applied Mathematics / Gerald Dennis Mahan. Kluwer 2002 (ebook disponibile connettendosi Biblioteca della Bicocca)
- K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence. Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press
(disponibile alla Biblioteca della Bicocca solamente in forma cartacea)- Advanced engineering mathematics / K.A. Stroud. Palgrave Macmillan. 6. ed. 2020. 978-1352010251
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Prima metà del primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Un esame scritto, formato da domande aperte volte alla risoluzione di esercizi, problemi e domande teoriche. Voto in trentesimi.
L'esame orale in generale non è obbligatorio, ma può esser richiesto sia dallo studente che dall'insegnante con lo scopo di confermare o modificare il punteggio ottenuto all'esame scritto. L'esame orale consiste in: discussione dell'esame scritto; domande su definizioni, enunciati e qualche dimostrazione dei teoremi; potrebbe essere richiesta la risoluzione di ulteriori esercizi.
L'esame serve a verificare il livello delle conoscenze, l’autonomia di analisi e giudizio e le capacità espositive acquisite dallo studente.
Non sono previste prove parziali in itinere.
Orario di ricevimento
Su appuntamento, mandando una mail a giona.veronelli@unimib.it.
Aims
The aim of the course is to provide some basic tools of Mathematical Analysis, notably of Fourier analysis and complex analysis, which reveal useful in the study of the differential equations of Classical Physics and Quantum Mechanics.
The expected learning outcomes include:
- the knowledge and the understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the arguments in some proofs; the knowledge and the understanding of some classes of fundamental examples to which the theory applies.
- the ability to solve exercises and simple problems and to interpret the results; the ability to apply the theoretical results to specific examples and settings; the ability to communicate and explain in a clear and precise manner both the theoretical aspects of the course and their applications to specific situations.
Contents
Complex analysis. Fourier series. Fourier transform. Tempered distributions and Dirac delta.
Detailed program
Fourier series
Fourier coefficients and series in real and complex form. Dirichlet theorem. Parseval formula.
Complex Analysis
Complex functions. Holomorphic functions and harmonic functions. Cauchy's theorem. Laurent series. Residue theorem. Jordan Lemma. Calculation of integrals by means of residue theorem.
Fourier transform I
Classical Fourier tranform and antitransform. Properties of the Fourier transform. Parseval formula. Gaussian functions. Calculation of some Fourier transforms with the residue theorem.
Distributions
Schwartz space. Tempered distributions. Operations and derivatives of distributions. Dirac delta distribution.
Fourier transform II
Fourier transform of tempered distributions. Convolution. Applications to the resolution of some partial differential equations.
Prerequisites
Basic mathematical analysis: trigonometry, complex numbers, differential calculus for functions of one or several variables, ordinary differential equations, integral calculus (very important), sequences and series of functions.
If ever a student thinks he has gaps on one of the prerequisites above, he is warmly invited to point it out to the teacher as soon as possible (ideally before the beginning of the course).
Teaching form
Lectures with blackboard and exercises sessions. The course will be taught in English.
Textbook and teaching resource
Some lecture notes prepared by the teacher will be made available in the e-learning.
These notes can be supplemented by textbooks, as for instance:
- Advanced engineering mathematics / Erwin Kreyszig. Wiley 10. ed. 2011 (available on Internet Archive at )
- Methods of Applied Mathematics with a MATLAB Overview / John H. Davis. Birkhauser (available as an ebook at Bicocca Library)
- Applied Mathematics / Gerald Dennis Mahan. Kluwer 2002 (available as an ebook at Bicocca Library)
- K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence. Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press (available only in paper form at Bicocca Library)
- Advanced engineering mathematics / K.A. Stroud. Palgrave Macmillan. 6. ed. 2020. 978-1352010251
Semester
First half of the 1st Semester 2022-2023.
Assessment method
A written exam, which consists in open questions about solution of exercises, problems or the theory of the course. Marks out of 30.
The oral exam in general is not mandatory. However it can be requested either by the student or by the teacher in order to confirm or modify the score obtained at the written exam. Oral exams consist in: discussion of the written exam; questions on definitions, statements and (selected) proofs of theorems; solution of further exercises can be required.
The exams aim at verifying the level of knowledge, the student's independence in making judgements, as well as his/her communication skills.
There are no ongoing partial test.
Office hours
By appointment, sending an e-mail to giona.veronelli@unimib.it.
Staff
-
Giona Veronelli