Syllabus del corso
Obiettivi formativi
1) Conoscere i tipi di fondamentali di strumenti derivati e comprendere i loro utilizzi e il loro significato finanziario
2) Comprendere il concetto di modello matematico di mercato finanziario e il suo utilizzo nella valutazione di uno strumento derivato
3) Conoscere nel dettaglio i modelli studiati e le derivazioni delle relative formule
4) Saper applicare i modelli studiati alla valutazione e alla copertura di un generico strumento derivato
5) Saper accedere al terminale Bloomberg e comprendere il significato delle principali funzioni legate agli equity derivatives: OMON, OV, OSA, SKEW.
Contenuti sintetici
- Concetti base sulle opzioni
- Modello binomiale multiperiodale
- Modelli uniperiodali
- Modelli in tempo continuo
- Modello di Black-Scholes
- Modello di Vasicek
- Modello di Merton
- Il metodo Montecarlo
- L'indice VIX
- Le principali funzioni Bloomberg sulle opzioni: OMON, OV, OSA, SKEW.
Programma esteso
Concetti base sulle opzioni
Richiami sugli strumenti derivati: contratti forward, contratti futures, opzioni call e put ed esempi di applicazioni. Concetto di payoff e di replicazione; prezzo forward e parità spot-forward. Put-call parity. Combinazioni di opzioni (spread, butterfly, strangle, straddle). Convessità del prezzo della call in funzione dello strike. Superreplicazione e subreplicazione. Vincoli di Merton. Opzioni americane e ottimalità dell'esercizio anticipato. Discussione qualitativa dei fattori che influenzano i prezzi delle opzioni.
Modello binomiale multiperiodale
Il modello binomiale uniperiodale: derivazione della formula per il prezzo di un generico payoff.
Il modello binomiale biperiodale e il suo utilizzo per la valutazione delle opzioni americane.
Il modello binomiale multiperiodale: formula di valutazione di un generico payoff e derivazione della formula per la call europea. Scelta dei parametri u e d e volatilità storica.
Modelli uniperiodali
Modelli uniperiodali con un numero arbitrario di titoli e di stati del mondo. Matrice dei payoff.
Replicabilità, completezza del mercato, caratterizzazione della completezza.
Definizione di opportunità di arbitraggio. Definizione del vettore dei prezzi degli stati e primo teorema fondamentale di valutazione. Secondo teorema fondamentale di valutazione.
Superreplicazione e subreplicazione come problema di programmazione lineare.
Modelli in tempo continuo
Definizione e prime proprietà del moto browniano
Processi di Ito: definizione ed esempi (moto browniano con drift, moto browniano geometrico)
Formula di Ito: drift e volatilità di un processo trasformato
Moto browniano geometrico, richiami sulla distribuzione lognormale.
Il modello di Black-Scholes
Ipotesi del modello. Derivazione della equazione differenziale di Black - Scholes. Soluzioni particolari, principio di sovrapposizione. Derivazione della formula di BS come valore atteso attualizzato del payoff. Prime proprietà della formula di BS. Dipendenza dai parametri e calcolo delle greeks. Approssimazione per opzioni ATMF a breve scadenza. Prime estensioni del modelo di BS: presenza di flussi indotti. Verifiche empiriche del modello di BS. La volatilità implicita e lo smile.
Il modello di Vasicek
Dinamica dello short rate. Cenni sull integrale stocastico rispetto a un moto browniano e derivazione della distribuzione dello short rate. Derivazione della struttura per scadenza dei tassi di interesse. Esempio di calibrazione.
Il modello di Merton
Generalità sul rischio di credito. Il modello di Merton. Calcolo della probabilità neutrale al rischio di default. Derivazione analitica della curva dei tassi spread.
Il metodo Montecarlo
Simulazione di numeri casuali. Calcolo del prezzo di uno strumento derivato con il metodo Montecarlo.
Calcolo delle greeks con il metodo Montecarlo.
L'indice VIX
Le principali funzioni Bloomberg sulle opzioni: OMON, OV, OSA, SKEW.
Prerequisiti
Le conoscenze di Matematica, Statistica e Finanza richieste per l'accesso alla laurea magistrale di Economia e Finanza.
Metodi didattici
Spiegazioni basate su slides messe a disposizione degli studenti, assegnazione di esercizi di compito il cui svolgimento autonomo da parte degli studenti costituisce parte integrante del corso, discussione in aula dello svolgimento degli esercizi assegnati, utilizzo di un forum per eventuali richieste ulteriori di chiarimento.
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto con orale facoltativo. Agli studenti che parteciperanno a una classe sul Bloomberg Terminal creata dai docenti e basata su materiali Bloomberg for Education saranno assegnati punti aggiuntivi, con modalità definite all'inizio del corso.
Testi di riferimento
- Materiali forniti dal docente
- J. Hull "Opzioni e futures"
- J. Cox, M. Rubinstein "Option markets"
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
1) Knowing the simplest types of derivatives instruments and understanding their meaning and financial uses
2) Understanding the concept of model of a financial market and its use in valuing derivative instruments
3) Knowning in full details the various models studied and the derivations of the various pricing formulas
4) Being able to apply the various models to the pricing of a generic contingent claim
5) Using Bloomberg Terminal and understanding the basic equity derivatives functions OMON, OV, OSA, SKEW.
Contents
- Preliminaries on options
- Multiperiod Binomial model
- General one-period model
- Continuous time models
- Black Scholes model
- Vasicek model
- Merton model
- Monte Carlo method
- The VIX Index
- The most important Bloomberg functions for equity derivatives: OMON, OV, OSA, SKEW.
Detailed program
Introduction to derivatives
Forward, futures, options. Payoffs and replication of the forward contract. Forward price and spot-forward parity. Put-call parity. Payoffs of combinations (spread, butterfly, strangle, straddle), convexity of the call price as a function of the strike. Superreplication and subreplication. Merton bounds. American options and value of early exercise. Qualitative discussion of the factors affecting option prices.
Binomial models
Pricing a generic payoff in the one-period binomial model. Two-period binomial models and american options. Multiperiod binomial models: valuation of a generic payoff and formula for a call option. Choice of the parameters u and d and historical volatility matching.
One period models
One period models. Payoff matrix. Replicability, completeness, sufficient condition for completeness. Definition of arbitrage opportunity. State price vectors and first fundamental theorem of valuation. Second fundamental theorem of valuation. Superreplication and subreplication as linear programming problems. Dual formulation.
Continuous-time models
Brownian motion: definition and first properties. Ito processes: definition and examples. Ito formula: drift and volatility of a transformed process. Geometric Brownian motion, lognormal distribution.
Black-Scholes model
Derivation of the Black-Scholes differential equation. Elementary solutions, linearity and superposition principle. Derivation of the Black-Scholes formula as the risk neutral discounted expected value of the payoff. First properties of the BS formula; sensitivities with respect to the parameters and computation of the greeks. First extensions of the BS model; dividends. Approximation of the BS formula for ATM short maturity options. Empirical fit of the BS formula. Implied volatility and volatility smile.
Vasicek model
Short rate dynamics. Stochastic integral of a deterministic function with respect to the Brownian motion. Derivation of the distribution of the short rate. Derivation of the yield curve and example of calibration.
Merton model
Credit risk. Merton model: equity as a call option on the asset value. Determination of the risk neutral probability of default. Determination of the spread curve for a defaultable bond.
Montecarlo method
Random number generation. Simulating stochastic processes. Pricing a derivative and computing his greeks with the Montecarlo method.
The VIX Index.
The most important Bloomberg functions for equity derivatives: OMON, OV, OSA, SKEW.
Prerequisites
The basic notions of Mathematics, Statistics and Finance required for the access to ECOFIN.
Teaching methods
Spiegazioni basate su slides messe a disposizione degli studenti, assegnazione di esercizi di compito il cui svolgimento autonomo da parte degli studenti costituisce parte integrante del corso, discussione in aula dello svolgimento degli esercizi assegnati, utilizzo di un forum per eventuali richieste ulteriori di chiarimento.
Assessment methods
Written exam with oral integration. Bonus points will be attributed to students attending a class on Bloomberg Terminal based on Bloomberg for Education materials. Further information will be delivered at the beginning of the course.
Textbooks and Reading Materials
- Lectures notes and slides
- J. Hull "Opzioni e futures"
- J. Cox, M. Rubinstein "Option markets"
Semester
First Semester
Teaching language
Italian