Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il corso vuole fornire allo studente un'adeguata conoscenza delle basi matematiche utili a comprendere i modelli che descrivono i fenomeni economici. In particolare, si intende dotare gli studenti degli strumenti matematici che, a partire dall’espressione analitica di una funzione, permettono di tracciarne un grafico qualitativo.
Contenuti sintetici
Studio delle funzioni di una variabile reale e cenni alle funzioni di due variabili reali.
Programma esteso
Generalità sulle funzioni.
Funzioni di una variabile reale: dominio, immagine, grafico. Funzioni elementari. Monotonia, massimi e minimi. Funzione inversa.
Limiti e teoremi relativi.
Funzioni continue: teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi. Punti di discontinuità.
Forme di indecisione e loro risoluzione. Simboli di Landau.
Calcolo differenziale: definizione di derivata e significato geometrico. Punti di non derivabilità. Legame tra continuità e derivabilità. Teoremi di Rolle, Lagrange, Fermat.
Teoremi di De l'Hopital. Formula di Taylor.
Convessità e concavità: definizione e caratterizzazione del secondo ordine.
Cenni alle successioni.
Funzioni di due variabili reali: dominio, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari.
Prerequisiti
Algebra elementare, equazioni e disequazioni, nozioni di base di geometria analitica.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni in aula.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame si compone di una prova finale scritta e di una prova orale obbligatoria, a cui è possibile accedere solo se l'esito della prova scritta è non inferiore ai 18/30.
Non sono previste prove intermedie.
La prova scritta è composta da esercizi da risolvere e da domande teoriche aperte. In queste ultime, viene richiesta la conoscenza degli enunciati dei teoremi e delle relative dimostrazioni viste a lezione, oltre che delle definizioni di alcuni concetti importanti.
Nella correzione della prova scritta, oltre alla correttezza dei risultati, viene valutata la capacità di motivare i singoli passaggi.
La prova orale consiste in un colloquio che inizia con una discussione della prova scritta e che prosegue con domande sugli argomenti presenti nel programma d'esame.
Testi di riferimento
A. Guerreggio, "Matematica", seconda o terza edizione. Pearson Prentice Hall
In alternativa:
M. Scovenna, L. Scaglianti, A. Torriero, "Manuale di Matematica - Metodi e applicazioni". Edizioni CEDAM
G. Monti, R. Pini, "Lezioni di Matematica Generale: Funzioni Reali di Variabile Reale". L.E.D. Edizioni Universitarie
(da integrare sulle funzioni a due variabili, non trattate)
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre.
Lingua di insegnamento
Italiano.
Learning objectives
The course aims at providing students with the mathematical knowledge of the topics useful to understand models describing economic phenomena. In particular, students will learn how to use the mathematical tools which, starting from the function analytic formulation, allow to draw a qualitative graph of the function.
Contents
Analysis of functions of one variable and introduction to the study of functions of two variables.
Detailed program
Introduction to functions.
Functions of one real variable: domain, image set, graph of a function. Elementary functions. Monotonicity, maxima and minima. Inverse function.
Limits and related theorems.
Continuous functions: Weierstrass theorem, Bolzano theorem, intermediate value theorem. Discontinuities.
Indeterminate forms in the computation of limits. Landau symbols.
Differential calculus: definition of the derivative and geometric interpretation. Points of non-differentiability. Relationship between continuity and differentiability. Rolle, Lagrange and Fermat theorems.
L'Hopital's rule. Taylor's theorem.
Convexity and concavity of a function: definition and characterization based on the second order derivative.
An introduction to sequences.
Functions of two real variables: domain, level curves, partial derivatives, critical points.
Prerequisites
Elementary tools from algebra, equations and inequalities, basic knowledge of analytic geometry.
Teaching methods
Theoretical lectures and practical excercise sessions.
Assessment methods
Written exam and compulsory oral exam, to which students are admitted only if the grade of the written exam is at least 18/30.
There are no midterm tests.
The written exam consists of practical exercises and of open theoretical questions, that are meant to test the knowledge of the statements of the theorems and of the proofs discussed during the lectures.
In grading the written exam, in addition to the correctness of the results, the ability in explaining the various steps will be considered as well.
The oral exam starts with a discussion of the written exam, followed by some questions regarding the topics of the course.
Textbooks and Reading Materials
A. Guerreggio, "Matematica", second or third edition. Pearson Prentice Hall
Alternatively:
M. Scovenna, L. Scaglianti, A. Torriero, "Manuale di Matematica - Metodi e applicazioni". Edizioni CEDAM
G. Monti, R. Pini, "Lezioni di Matematica Generale: Funzioni Reali di Variabile Reale". L.E.D. Edizioni Universitarie
(the functions of two variables are not included in the text)
Semester
First semester.
Teaching language
Italian.