Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Questo corso vuole fornire allo studente un’adeguata conoscenza delle basi matematiche per poter comprendere i modelli che descrivono i fenomeni economici. In particolare, si vogliono fornire agli studenti gli strumenti matematici che, a partire dall'espressione analitica di una funzione, permettono di analizzarne proprietà quali monotonia, convessità, massimi e minimi, e che consentono di tracciarne un grafico qualitativo. Si forniranno strumenti propedeutici alla modellizzazione di problemi di finanza matematica come serie ed integrali.
Gli studenti devono saper applicare i concetti teorici utilizzati a semplici esercizi, simili a quelli svolti a lezione.
Contenuti sintetici
• Funzioni a una variabile
• Cenni a funzioni a due variabili
• Serie
• Integrali
Programma esteso
Unità 1: Generalità sulle funzioni.
Dominio, immagine, grafico. Funzioni elementari. Monotonia, massimi e minimi. Funzione inversa. Trasformazioni di grafici.
Unità 2: Limiti
Definizione di limite e teoremi relativi. Calcolo di limiti, forme di indecisione e loro risoluzione. Simboli di Landau.
Unità 3: Successioni e serie
Definizione di serie (carattere e somma), condizione necessaria per la convergenza, serie geometrica, serie telescopica, serie armonica, serie a termini nonnegativi (criteri di convergenza), serie a termini di segno alterno (criterio di Leibniz).
Unità 4: Continuità
Definizione di funzione continua, teoremi di Weierstrass, degli zeri, dei valori intermedi. Punti di discontinuità.
Unità 5: Derivate
Calcolo differenziale: definizione di derivata e significato geometrico. Punti di non derivabilità. Legame tra continuità e derivabilità. Teoremi di Rolle, Lagrange, Fermat. Teorema di de l’Hospital. Formula di Taylor. Convessità e concavità: definizione e caratterizzazione del secondo ordine. Funzioni a due variabili: dominio, curve di livello, derivate parziali, punti stazionari.
Unità 6: Integrali
Integrali indefiniti, proprietà e tecniche di calcolo (integrazione per parti, per sostituzione, integrazione di funzioni razionali). Definizione di integrale di Riemann e prime proprietà, teoremi sugli integrali, integrali impropri, criteri di convergenza di integrali impropri.
Prerequisiti
Elementi di algebra, equazioni e disequazioni, nozioni di base di geometria analitica.
Metodi didattici
Lezioni di teoria ed esercitazioni in presenza.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame prevede una prova finale scritta e una prova orale (facoltativa).
Sono previste prove intermedie.
La prova scritta (durata 2 ore) contiene 5 esercizi e 2 domande di teoria (viene richiesta la conoscenza dei teoremi e relative dimostrazioni e delle definizioni di alcuni concetti importanti).
Lo schema degli esercizi è il seguente:
Esercizio 1: Trasformazioni di grafici di funzioni elementari;
Esercizio 2: a) Limiti b) Serie (con limiti)
Esercizio 3: a) Vario b) Funzioni a due variabili
Esercizio 4: Integrali
Esercizio 5: Studio di una funzione
L’eventuale prova orale consiste in un colloquio sugli argomenti svolti a lezione e può contribuire sia in maniera positiva sia in maniera negativa al voto finale.
Testi di riferimento
Slide del corso e materiale didattico fornito sulla piattaforma di elearning
Libri di testo suggeriti:
Bianchi M., Messineo G., Miglierina E., Vassallo S. “Note di Matematica”, Giappichelli
Scaglianti, L., Torriero, A., Scovenna, M. "Manuale di Matematica- Metodi e applicazioni" Edizioni CEDAM
Pini. R, Monti, G. "Lezione di Matematica Generale" LED Edizioni Universitarie
Guerraggio, A. "Matematica", seconda o terza edizione. Pearson Prentice Hall
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
The course aims to give to the student the basic mathematical tools in order to treat simple economic phenomena. In particular, the course provides mathematical tools that allow the students, starting from the analytic formula of the function, to study properties such as monotonicity, convexity, maximum and minimum, in order to sketch a qualitative plot of the function.
Students should be able to apply theory to solve problems. Moreover, the course will provide tools for describing mathematical finance problems, in particular series and integrals
Contents
• Study of functions with one variable
• An introduction to functions with more than one variable.
• Series
• Integrals
Detailed program
Unit 1 - Real functions of a real variable:
Definition and image set, graph of a function. Elementary functions. Monotonicity, maximum and minimum. Inverse function. Transformations of graphs.
Unit 2 - Limits:
Definition of limit and related theorems. Computing limits, indeterminate forms.
Unit 3 - Sequences and Series
Definition (types and summation), necessary condition for convergence, geometric series, telescopic series, harmonic series, series with non-negative terms (convergence criteria), alternating series (Leibniz criterion).
Unit 4 – Continuous functions
Definition. Weierstrass theorem, Zero's theorem, theorem of Intermediate values. Discontinuity.
Unit 5 – Differential calculus
Definition of the derivative and geometric interpretation. Non differentiability. Link between continuity and differentiability. Theorems for differentiable functions: Rolle, Lagrange and Fermat. L’Hospital's rule. Taylor's formula. Convexity of a function: definition and characterization based on the second order derivative. Functions with more than one variable: definition set, level curves, partial derivatives, critical points.
Unit 6 – Integral calculus
Indefinite integral, definition and main properties, antiderivative computation (integration by parts, by substitution, integration of rational functions), Riemann integral, theorems on integrals, improper integrals, convergences criteria for improper integrals.
Prerequisites
Algebra, equations and inequalities, basic knowledge of geometry.
Teaching methods
Theoretical lectures and practical sessions in presence.
Assessment methods
Final written exam and (subsequent optional) oral exam.
In the written part the students have to solve 5 exercises and to answer to 2 open questions (it is required to formulate and prove theorems and to provide definitions presented during the course).
The structure of the exercises is the following:
Exercise 1: Transformations of graphs for basic functions:
Exercise 2: a) Limits b) Series (with limits)
Exercise 3: a) Various b) Functions of two variables
Exercise 4: Integrals
Exercise 5: Study of a function
In the oral part should be able to discuss all the topics presented in the course and the optional oral examination can contribute both positively and negatively to the final grade.
Textbooks and Reading Materials
Slides and teaching material at disposal on the couse site
Textbooks
Bianchi M., Messineo G., Miglierina E., Vassallo S. “Note di Matematica”, Giappichelli
Torriero, A., Scovenna M., Scaglianti, L.: Manuale di matematica. Metodi e applicazioni. CEDAM
Scovenna, M., Grassi, R.: Matematica – Esercizi e temi d’esame. CEDAM.
Additiona textbooks
Guerraggio, A. (2009): Matematica. Prentice Hall, seconda edizione.
Monti, G., Pini, R.: Lezioni di matematica generale: funzioni reali di variabile reale, L.E.D.
Semester
First semester
Teaching language
Italian