Course Syllabus
Obiettivi
L'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze di base per lo studio di problemi di analisi matematica avanzata. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere le tecniche dimostrative per risolvere esercizi e affrontare problemi di analisi matematica.
Contenuti sintetici
Spazi di Banach. Spazi Lp. Spazi di Hilbert. Serie di Fourier. Convoluzione. Trasformata di Fourier. Teorema di Baire. Teorema della Mappa Aperta. Teorema di Banach-Steinhaus. Spazio duale. Convergenza debole.
Programma esteso
Definizione ed esempi di spazi di Banach. Definizione di L^p (X, μ). Disuguaglianze di Holder e di Minkowski. Completezza di L^p (X, μ). Inclusioni di spazi L^p (X, μ), μ finita. Inclusioni di spazi L^p(Z). Relazioni tra convergenze in norma p, in misura e puntuale. Convoluzione. Identità approssimata. Densità di Cc (Rn ) e dello spazio di Schwartz in L^p (Rn ). Operatori lineari tra spazi vettoriali normati. Spazio Duale. Enunciato del teorema di Hahn Banach. Dualità degli spazi Lp (solo enunciato). Definizione degli spazi di Sobolev.
Definizione di prodotto interno. Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. Definizione di spazio di Hilbert. Punti di minima distanza da un chiuso convesso. Teorema delle proiezioni. Disuguaglianza di Bessel. Sistemi ortonormali completi. Formula di Parseval. Ortogonalizzazione di GramSchmidt. Serie di Fourier per funzioni in L^1(T), T toro. Nucleo di Dirichlet. Nucleo di Fejer. Convergenza in L2, uniforme e puntuale delle serie di Fourier.
Teorema di Baire. Teorema di Banach-Steinhaus e applicazioni. Teorema della mappa aperta e del grafico chiuso. Divergenza delle serie di Fourier. Non suriettivita' della trasformata di Fourier da L1(T) in c_0(Z).
Definizione e prime proprietà della trasformata di Fourier. Cenni alla teoria delle distribuzioni.
Prerequisiti
Topologia elementare. Algebra lineare. Calcolo differenziale in una e piu' variabili. Calcolo integrale. Teoria della misura. Numeri complessi.
Modalità didattica
Lezioni frontali in aula in lingua italiana alla lavagna.
Materiale didattico
G.B. Folland "Real Analysis"
L. Grafakos "Classical Fourier Analysis"
W. Rudin "Real and Complex Analysis"
W. Rudin "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Fourier Analysis"
Note del docente
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in una prova scritta ed una prova orale. Durante il corso si assegnano degli esercizi da consegnare e la cui valutazione consente di accumulare fino ad un massimo di 8 punti da sommare al voto dello scritto, qualora questo sia maggiore di 12.
Prova scritta.
La prova scritta consiste in esercizi volti a verificare la comprensione dei contenuti del corso, l'abilità di applicare alla risoluzione di problemi le tecniche dimostrative apprese , la chiarezza espositiva. A ogni esercizio verrà attribuito un punteggio parziale massimo, in ragione della sua difficoltà e lunghezza; nella valutazione dello studente verrà assegnato un punteggio in ragione dell'esattezza, della completezza, del rigore, della chiarezza e dell'organicità dello svolgimento. Il punteggio massimo per lo scritto è 33.
Gli esercizi proposti sono in linea con quelli svolti durante le lezioni.
L'ammissione alla prova orale avviene con una valutazione dello scritto maggiore o uguale a 16.
La durata della prova scritta è generalmente di due ore.
Prova orale
L'esame orale consiste in una discussione dello scritto e in domande di carattere teorico (definizioni e teoremi con dimostrazione) sugli argomenti trattati a lezione. Nella prova orale verranno valutate la conoscenza e la comprensione del contenuto del corso, nonché la capacità di organizzare in modo lucido, efficace e ben strutturato un'esposizione coerente e puntuale.
Il voto finale è dato dal punteggio della prova scritta a cui vengono sommati o sottratti punti in sede di orale.
Orario di ricevimento
Per appuntamento.
Sustainable Development Goals
Aims
The course aims at providing the knowledge about the fundamental concepts and statements of advanced mathematical analysis. It will also build the skills needed to understand and use the most important proving arguments and techniques in the theory and the ability to solve exercises and deal with problems exploiting them.
Contents
Banach Spaces. Lp spaces. Hilbert spaces. Fourier series. Convolution. Fourier transform. Baire's Theorem. Open mapping Theorem. Banach Steinhaus Theorem. Dual space. weak convergence.
Detailed program
Definition of Banach space. Examples.
Definition of L ^ p (X, μ), μ positive measure.
Holder and Minkowski inequalities.
Completeness of L ^ p (X, μ).
Inclusions of spaces L ^ p (X, μ), finite μ.
Inclusions of spaces L ^ p (Z).
Relations between pointwise convergence, convergence in Lp, and in measure.
Density of Cc (Rn), Coo (Rn) and of the Schwartz space in L p (Rn).
Duality of Lp spaces (only statement).
Hilbert spaces.
Inner product.
Cauchy-Schwarz Inequality.
Hilbert space.
Points of minimum distance from a closed convex.
Projection theorem.
Bessel inequality.
Complete orthonormal systems.
Parseval formula.
Gramschmidt process.
Fourier series for functions on the thorus
Dirichlet kernel.
Convergence in L2.
Pointwise convergence.
Linear operators between normed vector spaces.
Dual space.
Baire's theorem.
The Banach-Steinhaus Theorem.
Divergence of the Fourier series.
Open Mapping Theorem.
Closed Graph Theorem.
Non surjectivity of the Fourier transform from L 1 (T) into c_0 (Z).
Weak convergence.
Fourier transform in Rn.
Fou
Prerequisites
Topology. Linear algebra. Differential calculus. Integral calculus. Measure theory. Complex numbers.
Teaching form
Lectures in the classroom using the blackboard. The Language used is italian.
Textbook and teaching resource
G.B. Folland "Real Analysis"
L. Grafakos "Classical Fourier Analysis"
W. Rudin "Real and Complex Analysis"
W. Rudin "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Functional Analysis"
E.M. Stein R. Shakarchi "Fourier Analysis"
Notes
Semester
Second semester
Assessment method
The exam consists of a written test and an oral test. During the written test, exercises are assigned to be completed and their evaluation allows for a maximum of 8 points to be added to the written score if it is higher than 12.
Written Test:
The written test consists of exercises aimed at verifying the understanding of the course content, the ability to apply the learned demonstrative techniques to problem-solving, and the clarity of exposition. Each exercise will be assigned a maximum partial score based on its difficulty and length. The student's evaluation will be based on the accuracy, completeness, rigor, clarity, and organization of the solutions. The maximum score for the written test is 33.
The proposed exercises are in line with those covered during the lessons.
Admission to the oral test is granted with a written evaluation equal to or greater than 16.
The duration of the written test is generally two hours.
Oral Test:
The oral exam consists of a discussion of the written test and theoretical questions (definitions and theorems with proofs) on the topics covered in the lectures. The oral test will assess the knowledge and understanding of the course content, as well as the ability to organize a coherent and precise exposition in a clear, effective, and well-structured manner.
Office hours
By appointment.
