Syllabus del corso
Obiettivi
Fornire gli strumenti e i concetti di base del calcolo delle probabilità, arricchiti da una selezione di modelli e applicazioni.
Al termine del presente insegnamento, lo studente avrà acquisito le seguenti:
- conoscenze: linguaggio, definizioni e risultati fondamentali della teoria della probabilità;
- competenze: comprensione operativa delle principali tecniche di dimostrazione;
- abilità: capacità di applicare le nozioni teoriche per la risoluzione di esercizi e l'analisi di problemi.
Contenuti sintetici
Nella prima parte viene presentata la teoria matematica del calcolo delle probabilità per descrivere fenomeni casuali mediante spazi di probabilità, secondo gli assiomi di N. Kolmogorov basati sulla teoria della misura. Vengono quindi studiate in dettaglio le variabili aleatorie, che costituiscono il "linguaggio operativo" del calcolo delle probabilità.
La seconda parte si apre con lo studio delle diverse nozioni di convergenza per successioni di variabili aleatorie. Vengono quindi presentati i teoremi limite fondamentali del calcolo delle probabilità: la legge dei grandi numeri e il teorema limite centrale. L'insegnamento si conclude con un'introduzione alle catene di Markov, una delle classi più semplici e allo stesso tempo importanti di processi stocastici.
Lungo tutto lo svolgimento dell'insegnamento, la presentazione della teoria è accompagnata dalla discussione di numerosi modelli e applicazioni.
Programma esteso
1. Spazi di probabilità
- Introduzione alla probabilità
- Assiomi della probabilità
- Proprietà di base della probabilità
- Calcolo combinatorio e spazi uniformi
- Probabilità condizionale
- Indipendenza di eventi
2. Variabili aleatorie
- Richiami di teoria della misura
- Distribuzioni notevoli discrete e assolutamente continue
- Variabili aleatorie
- Leggi marginali e legge congiunta
- Indipendenza di variabili aleatorie
- Trasformazioni di variabili aleatorie
- Valore medio, momenti, varianza e covarianza
- Spazi Lᵖ e disuguaglianze
- Correlazione e regressione lineare (cenni)
3. Convergenza e teoremi limite
- Richiami sui teoremi di convergenza
- Lemma di Borel-Cantelli
- Legge debole e forte dei grandi numeri
- Nozioni di convergenza per variabili aleatorie
- Convergenza debole di probabilità
- Legge dei piccoli numeri
- Teorema limite centrale e approssimazione normale
- Legge 0-1 di Kolmogorov
4. Catene di Markov
- Introduzione ai processi stocastici
- Catene di Markov e proprietà di base
- Stati ricorrenti e transitori
- Misure invarianti e reversibili
- Teoremi di convergenza (cenni)
- Probabilità di assorbimento (cenni)
- Passeggiate aleatorie su grafi (cenni)
5. Modelli e applicazioni (presentati in parallelo alla teoria)
- Paradossi classici (compleanni, Monty-Hall, Borel, Bertrand)
- Permutazioni aleatorie e punti fissi
- Concentrazione del volume in alte dimensioni
- Il teorema di approssimazione di Weierstrass
- Simulazione di variabili aleatorie
- Passeggiata aleatoria semplice
- Rovina del giocatore
- L'algoritmo PageRank
Prerequisiti
Le conoscenze, competenze e abilità impartite negli insegnamenti dei primi due anni, in particolare Algebra Lineare, Analisi 1 e 2, Teoria della Misura.
Modalità didattica
L'insegnamento si articola in lezioni ed esercitazioni frontali:
- nelle lezioni teoriche (10 cfu) si fornisce la conoscenza di definizioni, risultati ed esempi rilevanti, in parallelo alle competenze relative alla loro comprensione;
- nelle esercitazioni (2 cfu) si forniscono abilità necessarie per applicare le conoscenze e competenze teoriche alla risoluzione di esercizi.
L'insegnamento è erogato in lingua italiana.
Materiale didattico
Libri di riferimento
- F. Caravenna, P. Dai Pra. Probabilità. Un'introduzione attraverso modelli e applicazioni. Seconda Edizione (2021), Springer-Verlag Italia.
- D. F. Anderson, T. Seppäläinen, B. Valkó. Introduction to Probability. Cambridge University Press (2018).
- J. Jacod, P. Protter. Probability Essentials. 2nd Edition, Springer (2003).
Altro materiale didattico (disponibile sulla pagina e-learning)
- Dispense del docente su argomenti specifici
- Fogli di esercizi settimanali (con soluzioni dettagliate)
- Testi delle prove scritte degli anni passati (con soluzioni dettagliate)
- Elenco delle dimostrazioni per la prova orale
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Terzo anno, primo semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Prova scritta - o prove parziali - e prova orale, con le modalità descritte qui sotto. Gli aspetti valutati in ciascuna prova sono l'esattezza delle risposte, la creatività, la precisione, la chiarezza espositiva.
- La prova scritta ha una durata di tre ore e riceve una valutazione in trentesimi. Nella prova vengono valutate sia conoscenze e competenze teoriche (definizioni, esempi e controesempi) sia abilità pratiche (soluzione di esercizi). La prova scritta risulta superata col punteggio minimo di 15/30 e permette di accedere alla prova orale.
- A metà e alla fine dell'insegnamento sono previste due prove parziali, con struttura analoga alla prova scritta, della durata di un'ora e mezza ciascuna, valutate in trentesimi. Il superamento di entrambe le prove parziali col punteggio minimo di 15/30 equivale al superamento della prova scritta (con la media dei punteggi ottenuti) e permette di accedere alla prova orale.
- La prova orale ha una durata di 30-45 minuti e riceve una valutazione in trentesimi. Può essere sostenuta in un appello qualsiasi dell'anno accademico (dopo avere superato la prova scritta). Nella prova viene valutata la conoscenza di una selezione di dimostrazioni e la conoscenza operativa delle nozioni presentate. La prova orale risulta superata col punteggio minimo di 15/30.
- La valutazione finale risulta dalla media delle valutazioni della prova scritta e della prova orale. L'esame risulta superato col punteggio minimo di 18/30.
Esonero dalla prova orale. Chi supera la prova scritta con un punteggio compreso tra 20/30 e 27/30 può rinunciare a sostenere la prova orale, registrando il voto ottenuto nella prova scritta; con un punteggio superiore a 27/30 è ancora possibile rinunciare a sostenere la prova orale, ma in questo caso il voto registrato sarà di 27/30; infine, con un punteggio inferiore a 20/30, è necessario sostenere la prova orale.
Orario di ricevimento
Su appuntamento.
Aims
To provide the basic concepts and tools of probability theory, enriched with a selection of models and applications.
At the end of the course, students will have acquired the following:
- knowledge: language, definitions and fundamental results in probability theory;
- competence: operational understanding of the main proof techniques;
- skills: ability to apply theoretical notions to the solution of exercises and the analysis of problems.
Contents
The first part of the course presents the mathematical theory of probability, in order to describe random phenomena by means of probability spaces, following N. Kolmogorov's axioms based on measure theory. A great deal of attention is given to random variabels, which form the "operational language" of probability theory.
The second part of the course starts discussing the various notions of convergence of random variables. The fundamental limit theorems in the theory of probability are prsented, namely the law of large numbers and the central limit theorem. The course is concluded with an introduction to Markov chains, one of the simplest yet most important classes of stochastic processes.
Along the whole course, the presentation of the theory is enriched by the discussion of several models and applications.
Detailed program
1. Probability spaces
- Introduction to probability
- Axioms of probability
- Basic properties of probability
- Combinatorics and uniform spaces
- Conditional probability
- Independence of events
2. Random variables
- Reminders of measure theory
- Important distributions, discrete and absolutely continuous
- Random variables
- Marginal laws and joint law
- Independence of random variables
- Transformations of random variables
- Expected value, moments, variance and covariance
- Lᵖ spaces and inequalities
- Correlation and linear regression (hints)
3. Convergence and limit theorems
- Reminder on convergence theorems
- Borel-Cantelli lemma
- Weak and strong law of large numbers
- Notions of convergence for random variables
- Weak convergence of probabilities
- Law of small numers
- Central limit theorem and normal approximation
- Kolmogorov's 0-1 law
4. Markov chains
- Introduction to stochastic processes
- Markov chains and basic properties
- Recurrent and transient states
- Invariant and reversible measures
- Convergence theorem (hints)
- Absorption probabilities (hints)
- Random walks on graphs (hints)
5. Models and Applications (presented alongside the theory)
- Classical paradoxes (birthdays, Monty-Hall, Borel, Bertrand)
- Random permutation and fixed points
- Concentration of volume in high dimensions
- Weierstrass' approximation theorem
- Simulation of random variables
- Simple random walk
- Gambler's ruin
- The PageRank algorithm
Prerequisites
The knowledge, competences and skills taught in the courses of the first two years, in particular Linear Algebra, Analysis 1 and 2 (= calculus in one and more variables), Measure Theory.
Teaching form
The course is composed by lectures and recitations in the classroom:
- theoretical lectures (10 ects) are focused on the knoledge of definitions, results and relevant examples, as well as the competences linked to their comprehension;
- recitations (2 ects) are focused on the skills necessary to apply the theoretical knoledge and competencies to the solution of exercises.
The course is given in Italian.
Textbook and teaching resource
Reference textbooks
- F. Caravenna, P. Dai Pra. Probabilità. Un'introduzione attraverso modelli e applicazioni. Seconda Edizione (2021), Springer-Verlag Italia.
- D. F. Anderson, T. Seppäläinen, B. Valkó. Introduction to Probability. Cambridge University Press (2018).
- J. Jacod, P. Protter. Probability Essentials. 2nd Edition, Springer (2003).
Other dydactical material (available on the e-learning page of the course)
- Notes by the teacher on specific arguments
- Weekly exercise sheets (with detailed solutions)
- Written exams from previous years (with detailed solutions)
- List of proofs for the oral examination
Semester
Third year, First (Fall) Semester.
Assessment method
Written examination (or midterms) and oral examination, with the rules described in the sequel. The aspects that will be evaluated are the correctness of the answers, the creativity, the precision, the clarity of exposition.
- The written examination lasts 3 hours and gets a mark out of 30. This examination tests both theotetical knoledge and competencies (definitions, examples and counter-examples) and practical skills (solving exercises). The written examination is passed with a minimal mark of 15/30 and allows to be admitted to the oral examination.
- In the middle and at the end of the course there will be two midterm exams, structured in analogy with the written examination, which last 1.5 hours each and get a mark out of 30. Passing both midterms with a minimal mark of 15/30 is equivalent to passing the written examination (with the average of the marks) and allows one to be admitted to the oral examination.
- The oral examination lasts 30-45 minutes and gets a mark out of 30. It can be given in any exam session of the academic year (after passing the written examination). The oral examination tests the knowledge of a selection of proofs as well as a working knowledge of the notions of the course. The oral examinations is passed with a minimal mark of 15/30.
- The final mark results from the average between the marks of the written and oral examinations. The exam is passed with a minimal mark of 18/30.
Exemption from the oral examination. Students who pass the written examination with a mark in the range 20-27/30 are allowed to be exempted from the oral examination, the final mark being equal to the mark obtained in the written examination; with a mark greater than 27/30, it is still possible to be exempted from the oral examination, however the final mark in this case will be 27/30; finally, with a mark smaller than 20/30 it is compulsory to take the oral examination.
Office hours
Upon appointment.
Staff
-
Francesco Caravenna
-
Tal Orenshtein
-
Matteo Trabattoni