Syllabus del corso
Obiettivi
Fornire allo studente nozioni di base dell'analisi matematica al fine di acquisire le competenze necessarie per lo studio e l'interpretazione di fenomeni fisici ed ambientali.
Sviluppare capacità logiche e analitiche per affrontare la risoluzione di problemi ed esercizi.
Acquisire autonomia di giudizio nella applicazione delle metodologie apprese.
Essere in grado di esporre in modo preciso ed esaustivo sia le conoscenze teoriche acquisite che le soluzioni, sviluppate in autonomia, di esercizi e problemi.
Contenuti sintetici
Numeri reali. Disequazioni. Calcolo Combinatorio. Funzioni reali di variabile reale.
Limiti. Continuità. Derivata. Formula di Taylor. Studio di funzione. Integrale.
Programma esteso
Calcolo Combinatorio: disposizioni semplici e con ripetizione, combinazioni semplici, permutazioni semplici, formula del binomio di Newton.
Insiemi: sottoinsiemi, relazioni e operazioni fra insiemi; insiemi limitati e illimitati. Numeri razionali. Numeri reali. Estremo superiore e inferiore, massimo e minimo di insiemi. L'insieme dei numeri reali e la sua non numerabilità.
Disequazioni
Funzioni: definizione, diagramma, funzione composta e funzione inversa; monotonia; convessità. Funzioni elementari: potenze, esponenziale e logaritmo, seno, coseno, tangente, loro proprietà e diagrammi; funzioni inverse di seno, coseno e tangente loro proprietà e diagrammi.
Limiti: definizione, teoremi di: unicità del limite, della permanenza del segno, di esistenza del limite per funzioni monotone, del confronto; calcolo dei limiti. Infiniti, infinitesimi, loro confronto e teoremi fondamentali.
Continuità: definizione, punti di discontinuità, continuità uniforme; teoremi di Weierstrass, di Heine-Cantor, degli zeri e di Darboux. Limiti notevoli e limiti da questi dedotti.
Derivabilità: definizione, significato geometrico. Implicazione di continuità; derivata delle funzioni elementari; regole di derivazione: somma, prodotto, reciproco, quoziente; derivata della funzione composta e dell'inversa. Differenziale e suo significato geometrico. Teoremi di Rolle, Lagrange e suoi corollari.
Formula di Taylor e di Mac Laurin.
Studio di funzione: crescere e decrescere e legame con la derivata prima. Condizioni per l'esistenza di massimi e minimi relativi; teorema di riconoscimento di massimi e minimi relativi per funzioni n volte derivabili, verso della concavità, asintoti.
Integrabilità: definizione, proprietà dell'integrale definito, condizioni sufficienti di integrabilità. Teoremi del valor medio e di Torricelli-Barrow, fondamentale del calcolo integrale. Funzioni primitive; integrale indefinito. Regole di integrazione per scomposizione, per sostituzione, per parti. Integrale in senso generalizzato.
Prerequisiti
Algebra elementare: monomi, polinomi e operazioni fra polinomi. Trigonometria: definizione di seno, coseno e tangente; loro proprietà e relazioni. Geometria analitica: equazioni di retta, circonferenza, ellisse, parabola, iperbole; intersezioni di figure piane. Funzioni esponenziali e logaritmi.
Modalità didattica
Lezioni teoriche in cui si fornisce la conoscenza di definizioni, teoremi ed esempi rilevanti ed esercitazioni in cui si tentano di fornire competenze e abilità necessarie per utilizzare tali nozioni nella risoluzione di esercizi.
Materiale didattico
A. Guerraggio: Matematica Generale, nuova edizione, Bollati Boringhieri
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame scritto con orale obbligatorio.
Esame scritto: l'esame scritto consiste in domande aperte e/o chiuse. Si richiede uno studio di funzione ed esercizi analoghi a quelli svolti in classe sul programma svolto. Sono previste due prove parziali svolte durante il corso che possono sotituire lo scritto finale.
Ammissione prova orale: si accede all'esame orale con un punteggio maggiore o uguale 18 nello scritto. Con le prove parziali si accede all'orale con una media maggiore o uguale 18 e con voto maggiore o uguale a 16 in ciascuna prova, in caso contrario si deve rifare lo scritto intero.
La prova orale può essere sostenuta nello stesso appello o all'appello successivo.
Esame orale: L'esame orale consiste in una discussione dello scritto e in domande sulle definizioni e su enunciati e dimostrazioni dei teoremi in programma. Con la prova orale possono essere aggiunti o sottratti punti al voto dello scritto per ottenere l'esito finale.
Orario di ricevimento
Per appuntamento
Sustainable Development Goals
Aims
Provide the student with basic notions of mathematical analysis in order to acquire the skills necessary for the study of physical and environmental phenomena.
Develop logical and analytical skills to solve problems and exercises.
Acquire autonomy of judgment in the application of the methods learned.
Being able to express in a precise and exhaustive way both the theoretical knowledge acquired and the solutions, developed independently, of exercises and problems.
Contents
Real numbers. Inequalities. Combinatorics. Limits. Continuity. Derivatives. Functions and their graph. . Taylor's formulas. Integrability.
Detailed program
Sets: subsets, operations and relations between sets; interior, exterior, boundary, isolated and limit points. Open and closed sets. Bounded and unbounded sets. Countable sets. Supremum, infimum, maximum and minimum. The set of real numbers. The real number are uncountable.
Inequalities
Combinatorics: sequences with and without repetitions. Permutations. Combinations. Newton's binomial formula.
Functions: definition, graph, composite function and inverse function, monotonicity, convexity. Elementary functions: polynomials, exponentials, logarithms, sine, cosine and tanget, their properites and graphs; inverse functions of sine, cosine and tangent, their properties and graphs.
Limits: definition, theorems: uniqueness of the limit, permanence of the sign, existence of the limit for monotone functions, comparison theorem, calculus of limits. Comparison between infinite and infinitesimal functions and fundamental theorems.
Continuity: definition, discontinuity and continuity points, uniform continuity. The Weierstrass, Heine-Cantor, zeros and Darboux theorems. Common limits.
Derivatives: definition, geometric meaning. Implication of continuity, derivatives of elementary functions, calculus of derivatives: sum, product, reciprocal, quotient, derivative of the composite and inverse functions. The differential and its geometric meaning. Rolle theorem, Lagrange theorem and its corollaries. Taylor's and Mac Laurin's formulas.
Functions and their graph: increasing and decreasing functions and relation with their derivatives. Conditions for the existence of local maximum and minimum; Maxima and minima for n times differentiable functions. Convexity and asymptotes.
Integrability: definition, properties of the definite integral, sufficient conditions for integrability. Mean value and Torricelli-Barrow theorems, the fundamental theorem of calculus. Primitive functions, indefinite integrals. Integration rules: decomposition, substitution and by parts. Improper integrals.
Prerequisites
Elementary algebra: monomials, polynomials and operations with polynomials. Trigonometry: definition of sine, cosine and tangent, their properties and relations. Analytical geometry: equations of line, circle, ellipse, parabola, hyperbola; intersections of plane figures. Exponential functions and logarithms.
Teaching form
Theoretical lessons in which we provide knowledge of definitions, theorems and relevant examples and calculus lessons in which we try to provide the necessary skills and abilities to use these notions in the resolution of exercises.
Textbook and teaching resource
A. Guerraggio: Matematica Generale, nuova edizione, Bollati Boringhieri
Semester
First semester
Assessment method
Written Exam with Mandatory Oral Component.
Written Exam: The written exam consists of closed and/or open-ended questions. It requires a study of functions and exercises similar to those covered in class based on the completed syllabus. Two partial exams are scheduled during the course.
Admission to Oral Test: Access to the oral exam is granted with a score of 18 or higher in the written exam. With the partial exams, admission to the oral exam is granted with an average score of 18 or higher and a score of 16 or higher in each individual partial exam. The oral exam can be taken in the same session or in the following session.
Oral Exam: The oral exam consists of a discussion of the written exam and questions about the definitions, statements, and proofs of the theorems covered in the syllabus. The oral exam may add or subtract points to the written exam score to determine the final outcome.
Office hours
By appointment
