Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Lo scopo di questo insegnamento è fornire una preparazione di base sui numeri complessi, sulle serie di Fourier e sul calcolo differenziale ed integrale in n variabili, con un particolare accento sui problemi in molte variabili.
Conoscenza e comprensione
Questo insegnamento fornisce conoscenze e capacità di comprensione relativamente a:
Problemi nei quali l'analisi di Fourier ha un ruolo significativo
Regolarità delle funzioni di più variabili e studio delle loro principali proprietà e applicazioni
Natura e proprietà degli integrali di più variabili rilevanti in statistica
Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Alla fine dell'insegnamento e del loro lavoro personale le studentesse / gli studenti saranno in grado di:
- Usare il calcolo differenziale in più variabili per studiare problemi di massimo e minimo, ad esempio la retta di regressione
- Usare il calcolo integrale in più variabili per studiare problemi di media
- Capire la peculiarità che alcuni problemi di carattere geometrico o probabilistico mostrano quando la dimensione dello spazio è molto grande
L'insegnamento consente alle studentesse / agli studenti di acquisire solide basi nell'uso delle serie di Fourier e del calcolo differenziale e integrale in più variabili, necessarie in qualsiasi contesto lavorativo e che rappresentano una base imprescindibile per il prosieguo del percorso universitario.
Contenuti sintetici
Numeri complessi e serie di Fourier.
Calcolo differenziale in R^n.
Integrazione in R^n.
Programma esteso
Numeri complessi.
Serie di Fourier.
Calcolo differenziale in più variabili. Derivate parziali, differenziabilità, gradiente e piano tangente.
Massimi e minimi liberi. Derivate successive, polinomi di Taylor, matrice Hessiana. Retta di regressione.
Massimi e minimi vincolati e metodo dei moltiplicatori di Lagrange.
Funzioni convesse.
Integrazione in R^n. Cambi di variabili.
Integrali generalizzati. Integrazione di funzioni radiali su R^n.
Prerequisiti
Analisi Matematica I e Algebra Lineare
Metodi didattici
Lezioni in presenza
Modalità di verifica dell'apprendimento
Esame scritto ed esame orale obbligatorio.
Non ci sono prove intermedie.
La prova scritta consiste di esercizi relativi al programma dell'insegnamento e ha come punteggio massimo 34/34.
La prova consiste di 3 esercizi aperti sugli argomenti del corso.
Un esito inferiore a 15/34 della prova scritta preclude l'ammissione alla prova orale corrispondente.
Scopo della prova scritta è verificare la capacità di svolgere in forma corretta e completa esercizi di analisi di Fourier ed esercizi di calcolo in più variabili, evidenziando sia la capacità di calcolo sia la capacità di ragionamento e di utilizzo autonomo di strumenti acquisiti seguendo l'insegnamento. Durante la prova scritta non è possibile consultare libri o appunti e non è consentito utilizzare alcun tipo di calcolatrice. Ogni studente può portare con sè un foglio A4 sul quale sono annotate le cose che lui ritiene indispensabili: è essenziale che il foglio sia scritto a mano dallo studente stesso. La prova orale permette di capire meglio il livello di comprensione e padronanza della materia acquisito dalle studentesse / dagli studenti. Durante la prova orale, che in parte consiste in risposte scritte ad alcune domande relative alla teoria, si richiede la conoscenza e la comprensione delle dimostrazioni dei teoremi svolte durante le lezioni, e la capacità di esporre e discutere le definizioni e le tecniche di calcolo introdotte. In relazione all'esito della prova scritta, durante la prova orale può essere richiesto anche lo svolgimento di esercizi.
Testi di riferimento
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.
M. Bramanti, Esercizi di Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Seconda Edizione, Progetto Leonardo, Esculapio.
S.Salsa, A.Squellati: Esercizi di Analisi Matematica II, Zanichelli
Testi di consultazione:
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2 Bollati Boringhieri
A. Bacciotti; F. Ricci: Lezioni di Analisi Matematica 2 Ed. Levrotto & Bella /Torino
C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 2 Ed. Zanichelli
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 1, Zanichelli.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre. Primo ciclo (da ottobre a novembre).
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
This course mainly aims at providing a rigorous introduction to Fourier series and to the differential and integral calculus of functions of d variables, with an emphasis on the case of very large n.
Knowledge and understanding
This course provides knowledge and understanding of:
Problems where Fourier Analysis plays a role
Regularity of functions of several variables: properties and applications
Nature and properties of multiple integrals which are relevant in Statistics
Ability to apply knowledge and understanding
At the end of the course and of their personal work the students will be able to:
Apply differential calculus in several variables to maxima/minima problems, e.g. linear regression
Use integral calculus in several variables to study mean value problems.
Understand the peculiarity of several geometric and probabilistic problems when the dimension of the space is very large
The course provides a solid background of Fourier series and differential and integral calculus in several variables, needed in every working environment. Moreover such a background is absolutely necessary for the completion of statistical studies.
Contents
Complex numbers and Fourier series.
Differential calculus on R^n.
Integral calculus on R^n.
Detailed program
Complex numbers. Fourier series
Differential calculus on R^n.
Partial derivatives and differentiability.
Maxima and minima (with or without constraint), Lagrange multipliers.
Taylor expansion, Hessian matrix. Linear regression.
Convex functions
Integral calculus on R^n.
Changes of variables.
Improper integrals.
Integration of radial functions on R^n.
Prerequisites
Differential and integral calculus in one variable. Linear Algebra.
Teaching methods
Face-to-face lessons
Assessment methods
Written and (compulsory) oral exam.
No midterm exam.
The maximum grade for the written exam is 34.
The written exam consists of 3 math exercises concerning the content of the course.
The result of the written exam below grade 15 precludes the admission to the corresponding oral exam.
The aim of the written exam is to check the ability to solve calculus problems in a correct and detailed way, and to show math skills and ability of reasoning and applying the tools provided during the course. The students are not allowed to consult books or personal notes during the written exam and they are not allowed to use calculators. The student can bring with him an A4 sheet where the things he considers important are noted. It is essential that the paper is handwritten by the student himself.
The oral exam gives a definitely better understanding of how the students master the topics of the course. The oral exam consists partly of a written test concerning the theory of the course, checks knowledge and understanding of the proofs of the theorems presented during the course, as well as the ability to introduce and discuss definitions and computational techniques. The solutions of few exercises can be part of the oral exam, depending on the outcome of the written exam.
Textbooks and Reading Materials
Textbooks:
M. Bramanti, C. Pagani, S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli.
M. Bramanti, Esercizi di Calcolo Infinitesimale e Algebra Lineare, Seconda Edizione, Progetto Leonardo, Esculapio.
S.Salsa, A.Squellati: Esercizi di Analisi Matematica II, Zanichelli
Reading Materials
Enrico Giusti: Analisi Matematica 2 Bollati Boringhieri
A. Bacciotti; F. Ricci: Lezioni di Analisi Matematica 2 Ed. Levrotto & Bella /Torino
C.Pagani; S.Salsa: Analisi Matematica 2 Ed. Zanichelli
Semester
First semester (from October to November).
Teaching language
Italian
Sustainable Development Goals
Staff
-
Maria Gabriella Kuhn
-
Barbara Veronesi
