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Percorso della pagina
  1. Area di Scienze
  2. Corso di Laurea Magistrale
  3. Matematica [F4002Q - F4001Q]
  4. Insegnamenti
  5. A.A. 2023-2024
  6. 1° anno
  1. Metodi Numerici per Equazioni alle Derivate Parziali
  2. Introduzione
Insegnamento Titolo del corso
Metodi Numerici per Equazioni alle Derivate Parziali
Codice identificativo del corso
2324-1-F4001Q103
Descrizione del corso SYLLABUS

Syllabus del corso

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Obiettivi

In coerenza con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, in questo insegnamento vengono fornite agli studenti le conoscenze riguardanti la teoria matematica rigorosa del Metodo degli Elementi Finiti per l'approssimazione delle equazioni differenziali ellittiche del secondo ordine.

Verranno inoltre sviluppate le competenze per affrontare, in corsi successivi più avanzati o con uno studio autonomo, lo studio del metodo degli elementi finiti per equazioni alle derivate parziali più generali.

L'implementazione del metodo avverrà utilizzando l'ambiente di calcolo MATLAB, fornito dall'Ateneo con licenza individuale per tutti gli studenti. Alla fine del corso, con i codici sviluppati lo studente avrà acquisito l'abilità risolvere vari problemi di tipo modellistico legati all'approssimazione di equazioni alle derivate parziali.

Contenuti sintetici

  • Richiami sugli spazi di Sobolev
  • Lemma di Lax-Milgram
  • Metodo di Galerkin
  • Lemma di Cea
  • Elementi Finiti lineari
  • Elementi Finiti di Lagrange di ordine k
  • Stime dell'errore in norma energia
  • Lemma di Bramble-Hilbert
  • Argomento di dualità di Aubin-Nitsche per la stima dell'errore in norma L2
  • Crimini variazionali e lemmi di Strang
  • il problema di Helmholtz
  • stabilizzazione di tipo SUPG
  • algoritmi adattativi e stimatore dell'errore residuale
  • cenni su elasticitá lineare: il locking della griglia
  • cenni su metodi DG

Programma esteso

  • Concetti di base. Presentazione nel caso semplice monodimensionale delle idee e delle tecniche che verranno sviluppate nel corso.
  • Spazi di Sobolev. Sono l'ambiente funzionale naturale per studiare matematicamente il metodo degli elementi finiti.
  • Formulazione variazionale di problemi ai limiti ellittici. Inquadramento funzionale astratto delle equazioni alle derivate parziali che saranno studiate nel corso.
  • Costruzione di spazi di elementi finiti. Saranno presentati gli elementi finiti piu' importanti.
  • Teoria dell'approssimazione polinomiale negli spazi di Sobolev. Questa è la parte centrale del corso, dove si studia come gli elementi finiti (che sono essenzialmente funzioni continue e polinomiali a tratti) approssimano le funzioni degli spazi di Sobolev.
  • Analisi del Metodo agli Elementi Finiti. Analisi di diversi tipi di Elementi Finiti (DG, non conformi, H^1 conformi, H^2 conformi) per l'approssimazione di soluzioni a equazioni differenziali alle derivate parziali di vario tipo (problema di Helmholtz, problemi di diffusione-trasporto-reazione, ...).

Prerequisiti

Gli insegnamenti di matematica di base del corso di Laurea Triennale in Matematica. E' consigliabile aver seguito il corso Analisi Superiore del 1° semestre della Laurea Magistrale.

Modalità didattica

Lezioni (6 CFU), esercitazioni alla lavagna e al calcolatore (2 CFU).

Materiale didattico

Il testo di riferimento è S. C. Brenner e L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer 2008. Saranno inoltre disponibili note a cure del docente su argomenti specifici.

Periodo di erogazione dell'insegnamento

2° semestre

Modalità di verifica del profitto e valutazione

L'esame è diviso in due parti:

  • scrittura e presentazione di un progetto;
  • esame orale.

Il voto è in trentesimi. L'esame si considera superato solo in entrambe le parti viene conseguita la sufficienza (18/30); le due parti concorrono in egual misura alla votazione finale.

Il progetto valuta l'abilità dello studente a risolvere problemi utilizzando gli strumenti teorici e i codici sviluppati durante il corso. Il progetto consiste nell'implementare l'approssimazione di un problema legato alle equazioni alle derivate parziali. Viene incoraggiato il lavoro di gruppo (max 3 studenti) e premiata la qualità dell'esposizione.

Nella prova orale (individuale) viene valutata la conoscenza delle definizioni, dei risultati e delle dimostrazioni presentati in aula, con particolare rilievo riguardo al rigore delle argomentazioni. Verranno inoltre valutate la competenza e la padronanza della materia richiedendo di individuare gli aspetti essenziali degli argomenti esposti.

Sono previsti 5 appelli d'esame (giugno, luglio, settembre, gennaio, febbraio).

Orario di ricevimento

Su appuntamento.

Esporta

Aims

In line with the educational objectives of the Master Degree in Mathematics, the course aims to providing the knowledge of the rigorous mathematical theory of the Finite Element Method for the approximation of linear elliptic second-order partial differential equations.

At the end of the course the students will have the skills needed to understand more advanced aspects of the method, both with individual work and with other courses.

The method will be implemented in MATLAB, and with the developed codes the students will have the ability to solve simple real-life problems connected with the approximation of partial differential equations.

Contents

  • Sobolev Spaces
  • Lax-Milgram Lemma
  • Galerkin methods
  • Cea's Lemma
  • Linear Finite Elements
  • Lagrange Finite Elements of order k
  • Error estimates in the energy norm
  • Bramble-Hilbert Lemma
  • Aubin-Nitsche duality argument for L2 error estimates
  • Variational crimes and Strang's Lemmas
  • the Helmholtz problem
  • the SUPG stabilization
  • adaptive algorithms and residual error estimators
  • hints on linear elasticity: the mesh locking
  • hints on DG methods

Detailed program

  • Basic concepts. Presentation in the one-dimensional case of the techniques and the ideas which will be studied in the rest of the course.
  • Sobolev Spaces. The natural functional environment for the mathematical analysis of the finite element method.
  • Variational Formulation of Elliptic Boundary Value Problems. Abstract setting for the partial differential equations which will be studied in the course.
  • The Construction of a Finite Element Space. How to build a finite element.
  • Polynomial Approximation Theory in Sobolev Spaces. The core of the course. We will study how finite elements (in essence, continuous, piecewise smooth functions) approximate functions in Sobolev Spaces.
  • Analysis of Finite Element Methods. Analysis of different types of finite elements (DG, nonconforming, H^1 conforming, H^2 conforming) for the approximation of solutions to various types of partial differential equations (Helmholtz problem, diffusion-convection-reaction problems, ...).

Prerequisites

Courses of the Laurea Triennale. It is recommended the course Analisi Superiore of the 1ˢᵗ semester.

Teaching form

Lessons (6 CFU), exercise classes with blackboard and computer (2 CFU).

Textbook and teaching resource

The reference text is S. C. Brenner e L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods, Springer 2008. Teacher's notes on specific topics will also be available.

Semester

2ⁿᵈ semester

Assessment method

The final examination is split into two parts:

  • writing and presenting a project;
  • oral examination.

Mark is out of thirty. The student need to reach at least 18/30 in both parts to pass the exam. the final mark is the average of the two partial marks.

The project consists in implementing the approximation of a problem related to partial differential equations, using the codes developed during the course. The aim is to test the ability to use the developed instruments. Group working is encouraged (max 3 students) and the quality of the exposition will be part of the mark.

The oral examination will evaluate the knowledge of the definitions, results and rigorous proofs developed in the course; the capacity to understand what are the key points of the theory will also be checked.

There will be 5 exam sessions (in June, July, September, January, February).

Office hours

Upon appointment.

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Scheda del corso

Settore disciplinare
MAT/08
CFU
8
Periodo
Secondo Semestre
Tipo di attività
Obbligatorio a scelta
Ore
66
Tipologia CdS
Laurea Magistrale
Lingua
Italiano

Staff

    Docente

  • Lorenzo Mascotto
    Lorenzo Mascotto
  • Cristina Tablino Possio
    Cristina Tablino Possio

Opinione studenti

Vedi valutazione del precedente anno accademico

Bibliografia

Trova i libri per questo corso nella Biblioteca di Ateneo

Metodi di iscrizione

Iscrizione manuale
Iscrizione spontanea (Studente)

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