Course Syllabus
Obiettivi
Coerentemente con gli obiettivi formativi del Corso di Studio, l'insegnamento si propone di fornire allo studente le conoscenze riguardanti le definizioni e i risultati fondamentali per un’approccio geometrico e topologico allo studio delle teorie classiche di campo, con particolare riferimento alla teoria della vorticità classica, della magnetoidrodinamica ideale e dell'idrodinamica quantistica. Verranno altresì fornite le competenze necessarie a comprendere e utilizzare le principali tecniche e i metodi dimostrativi connessi alla teoria, e le abilità utili ad applicarle per risolvere esercizi e affrontare problemi.
I risultati di apprendimento attesi comprendono:
- Conoscenze: la conoscenza e la comprensione delle definizioni e degli enunciati fondamentali, nonché delle strategie di dimostrazione basilari utilizzate in teorie di campo geometriche e topologiche; la conoscenza e la comprensione di alcuni esempi chiave in cui si esplica la teoria.
- Capacità: la capacità di riconoscere il ruolo dei concetti e delle tecniche geometriche e topologiche in diversi ambiti della matematica applicata (teoria della vorticità, magnetoidrodinamica ideale, fluidi quantistici) e nella modellizzazione di fenomeni fisici (dinamica del vortice, relazioni tra energia e complessità, formazione di difetti topologici, annodamenti e legami); la capacità di applicare tale bagaglio concettuale alla costruzione di esempi concreti e alla risoluzione di esercizi; la capacità di esporre, comunicare e argomentare in modo chiaro e preciso sia i contenuti teorici del corso, sia le loro applicazioni a situazioni specifiche, anche inerenti ad ambiti analoghi, ma differenti.
Contenuti sintetici
Il corso intende fornire gli elementi per l'applicazione di tecniche topologiche nello studio di problemi aperti nelle teorie classiche di campo.
I Parte. Richiami di teoria del potenziale di Green, flussi fluidi e diffeomorfismi, teoremi di conservazione, equazioni di Eulero, leggi di conservazione di Helmholtz, magnetoidrodinamica ideale, elicità magnetica, equazioni dissipative.
II Parte. Teoria del potenziale in domini molteplicemente connessi, elementi di teoria dei nodi, numero di legame e di autolegame, interpretazione topologica dell'elicità, decomposizione geometrica, rilassamento magnetico, equazione di Gross-Pitaevskii, difetti topologici in condensati, cambio di topologia mediante processi di riconnessione.
Programma esteso
Il programma si articola su una prima parte di carattere generale e su una seconda parte dedicata ad argomenti specifici di carattere più avanzato.
I Parte. Richiami di teoria del potenziale di Green, identità fondamentali, flussi fluidi e diffeomorfismi, teorema cinetico del trasporto, teoremi di conservazione, decomposizione del moto fluido, equazioni di Eulero, equazione del trasporto della vorticita', leggi di conservazione di Helmholtz, legge di Biot-Savart, equazioni di Maxwell, magnetoidrodinamica ideale, elicita' magnetica, analogie perfetta con i flussi di Eulero, equazioni di Navier-Stokes, dissipazione di energia.
II Parte. Correzione di Kelvin per domini moltiplicemente connessi, elementi di teoria dei nodi, interpretazione idrodinamica delle mosse di Reidemeister, configurazione inflessionale ed energia di torsione, numero di legame e autolegame, derivazione del numero di legame dall'elicita' magnetica, elicità di avvolgimento e contorsione, rilassamento di nodi magnetici, spettri di stati fondamentali d'energia, interpretazione idrodinamica dell'equazione di Gross-Pitaevskii, difetti topologici in condensati, cambio di topologia di tubi di flusso e superfici fisiche mediante processi di riconnessione, invarianti polinomiali di nodi, misure di complessità topologica.
Prerequisiti
Elementi di geometria differenziale delle curve e delle superfici nello spazio tridimensionale, elementi di meccanica dei sistemi continui, operatori differenziali della fisica matematica e leggi di bilancio in fisica.
Modalità didattica
Lezioni tenute in lingua inglese alla lavagna supportate da dispense (in inglese) distribuite dal docente.
Materiale didattico
Note del docente (in inglese) distribuite durante il corso.
Periodo di erogazione dell'insegnamento
II semestre.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
Esame orale (in italiano o inglese) con 4 domande estratte da una lista di domande resa nota agli studenti a fine corso. Le soluzioni devono riprodurre il materiale presentato durante il corso, incluse prove dettagliate dei teoremi e asserti dimostrati, completi di calcoli espliciti. Il voto finale è espresso in 30esimi.
Nella prova orale viene valutata la abilità operativa di risolvere i temi proposti utilizzando le conoscenze acquisite e le competenze necessarie a proporre gli argomenti svolti a lezione.
Orario di ricevimento
Su appuntamento da concordarsi col docente tramite contatto email: renzo.ricca@unimib.it.
Sustainable Development Goals
Aims
According to the educational objectives of the Course, the taught material aims to provide students with the basic notions regarding the definitions and the fundamental results for a geometric and topological approach to the study of classical field theory, with particular emphasis on classical vortex dynamics, ideal magnetohydrodynamics and quantum hydrodynamics. The course aims to provide also the necessary competences to understand and use standard techniques and the demonstration methods involved in the theory, as well as the capabilities to use them to solve exercises and tackle problems.
The expected outcomes include:
- the knowledge and understanding of the fundamental definitions and statements, as well as of the basic strategies of proof in classical geometric and topological field theory; the knowledge and understanding of some key examples where theory is fully applied;
- the ability to recognize the role that concepts and techniques from a geometric and topological approach play in various areas of mathematics (such as vortex theory, ideal magnetohydrodynamics, quantum fluids), and in the mathematical modelling of physical situations (vortex dynamics, relations between energy and complexity, topological defect production, knotting and linking); skills to apply the basic concepts to the elaboration of practical examples and to the solution of posed questions; the ability to communicate and explain in a clear and precise manner both the theoretical aspects of the course as well as their applications to specific situations, possibly in analogous but different contexts.
Contents
With this course we introduce techniques and topological methods to tackle open problems in classical field theory.
Part I. Fundamentals of Green's potential theory, fluid flows and diffeomorphisms, conservation theorems, Euler's equations, Helmholtz's conservation laws, ideal magnetohydrodynamics, magnetic helicity, dissipative equations.
Part II. Potential theory in multiply-connected domains, elements of knot theory, linking number and self-linking, topological interpretation of helicity, geometric decomposition, magnetic relaxation, Gross-Pitaevskii equation, topological defects in condensates, change of topology by reconnection processes.
Detailed program
The course is divided into two parts, the first being of introductory and general character, the second focused on more specific topics of current research.
Part I. Fundamentals of potential theory in terms of Green's identities, fluid flows and diffeoporphisms, kinematic transport theorem, conservation theorems, decomposition of fluid motion, Euler's equations, vorticity transport equation, Helmholtz's conservation laws, Biot-Savart law, Maxwell's equations, ideal magnetohydrodynamics, magnetic helicity, perfect and non-perfect analogous Euler's flows, Navier-Stokes equations, energy dissipation.
Part II. Kelvin's correction for multiply connected domains, elements of knot theory, fluid dynamic interpretation of Reidemeister moves, inflexional configuration and twist energy, linking number and self-linking, derivation of linking number from magnetic helicity, writhing and total torsion helicity, magnetic energy relaxation, groundstate energy spectra, hydrodynamics interpretation of Gross-Pitaevskii equation, topological defects in condensates, change of topology of flux tubes and physical surfaces due to reconnection processes, knot polynomial invariants, measures of topological complexity.
Prerequisites
Elements of differential geometry of curves and surfaces in three-dimensional space, elements of mechanics of continuum systems, differential operators in mathematical physics and balance laws in physics.
Teaching form
Standard lectures on blackborad taught in English and supported by lecture notes (in English) made available to the students.
Textbook and teaching resource
Lecture notes (in English) made available by the lecturer during the course.
Semester
II semester.
Assessment method
Oral exam (in Italian or English) based on 4 questions taken from a list of questions made available to the student at the end of the course. Specific solutions must reproduce the material presented during the course, including detailed proofs of theorems and statements, complete with explicit computations. The final mark is expressed in 30 units.
The written examination paper must show operational capability to tackle and solve the proposed questions by using the acquired knowledge and the necessary competence to reproduce the topics presented during the course.
Office hours
Upon appointment, to be arranged with the lecturer by email contact: renzo.ricca@unimib.it.
Sustainable Development Goals
Staff
-
Renzo Ricca
