Syllabus del corso
Obiettivi formativi
L’obiettivo di questo corso è di fornire agli studenti strumenti per la descrizione e l’analisi di relazioni tra variabili statistiche, strumenti per la modellizzazione di fenomeni aleatori nonché alcune nozioni di inferenza statistica.
Gli argomenti trattati in questo corso saranno accompagnati da esempi e applicazioni che ne illustrano la rilevanza in ambito economico e finanziario.
Contenuti sintetici
La prima parte del corso è dedicata alla descrizione e all’analisi di relazioni tra variabili statistiche. In questa parte del corso viene introdotto il concetto di interpolazione ai minimi quadrati e vengono fornite le definizioni di alcuni indici statistici che vengono spesso utilizzati nelle analisi di regressione.
La seconda parte del corso è dedicata alla modellizzazione di fenomeni aleatori. In questa parte del corso viene introdotto il concetto di modello probabilistico seguendo l’impostazione assiomatica di Kolmogorov e vengono dedotte le principali leggi del calcolo delle probabilità. Partendo dalla descrizione di alcuni esperimenti casuali di riferimento vengono inoltre dedotte le più importanti distribuzioni discrete e continue.
La terza e ultima parte del corso è invece dedicata all’inferenza statistica. Questa parte è limitata alla definizione di alcuni concetti fondamentali come per esempio i concetti di campione casuale, stimatore, stima puntuale e stima intervallare, e all’applicazione di tali concetti al fine di stimare ignoti valori di medie e proporzioni.
Programma esteso
Prima parte:
- Funzioni interpolanti e metodi per l’interpolazione
- Il metodo dei minimi quadrati e la retta ai minimi quadrati
- Le proprietà dei residui della retta ai minimi quadrati
- La scomposizione della devianza
- L’indice di determinazione
- Il coefficiente di correlazione lineare
- Funzioni interpolanti log-lineari
- Il piano ai minimi quadrati
- Le proprietà dei residui del piano ai minimi quadrati
- La scomposizione della devianza per il piano ai minimi quadrati
- L’indice di determinazione del piano ai minimi quadrati
- Il coefficiente di correlazione multiplo
- Coefficienti di correlazione parziali
- Funzioni interpolanti log-lineari con due variabili esplicative (il modello di Cobb-Douglas)
- Iperpiani interpolanti e estensioni al caso di più di due variabili esplicative
Seconda parte:
- La definizione di modello probabilistico secondo l’impostazione assiomatica di Kolmogorov
- Classi di eventi, algebre e sigma-algebre
- Gli assiomi di Kolmogorov
- Le principali leggi del calcolo delle probabilità
- Metodi per l’assegnazione delle probabilità: il metodo classico, il metodo frequentista e il metodo soggettivo
- Alcune nozioni di calcolo combinatorio utili per il calcolo delle probabilità
- Probabilità condizionata, eventi (globalmente) indipendenti, la formula della probabilità totale e la formula di Bayes
- Variabili casuali, funzioni di ripartizione, funzioni di probabilità discrete, funzioni di densità e quantili
- Funzioni di ripartizione congiunte, variabili casuali (globalmente) indipendenti, funzioni di probabilità congiunte, funzioni di probabilità condizionate e funzioni di densità congiunte
- Il valore atteso, la varianza e i momenti
- La funzione generatrice dei momenti
- Distribuzioni notevoli discrete: la distribuzione di una variabile casuale indicatrice, la distribuzione binomiale, la distribuzione trinomiale, la distribuzione geometrica, la distribuzione binomiale negativa, la distribuzione di Poisson e la distribuzione ipergeometrica
- Distribuzioni notevoli continue: la distribuzione esponenziale, la distribuzione gamma, la distribuzione normale, la distribuzione lognormale e la distribuzione di Pareto
Terza parte:
- Problemi di stima, variabili casuali campionarie, stimatori
- L’errore quadratico medio, la correttezza, l’efficienza, la consistenza
- La media campionaria, la frequenza relativa campionaria e la varianza campionaria (corretta)
- Intervalli di confidenza per medie (valori attesi) e proporzioni (probabilità)
- Introduzione alle verifiche d’ipotesi
Prerequisiti
Concetti base della matematica e della statistica.
Metodi didattici
Il corso prevede lezioni frontali ed esercitazioni pratiche.
Modalità di verifica dell'apprendimento
L'esame è costituito da una prova scritta e una prova orale che si terrà qualche giorno dopo la prova scritta. Entrambe le prove hanno lo stesso peso sulla valutazione finale.
La prova scritta consiste in due domande aperte e in quattro esercizi. Nelle domande aperte viene messa alla prova la capacità degli studenti di comunicare e spiegare l'utilità dei concetti trattati durante il corso. Attraverso gli esercizi viene invece messa alla prova la capacità degli studenti di applicare i concetti acquisiti durante il corso per risolvere problemi concreti. La prova orale consiste in una discussione degli argomenti svolti a lezione.
E' prevista la possibilità di dividere la prova scritta in due parti sostenendo una prima prova parziale scritta a fine aprile/inizio maggio e una seconda prova parziale scritta in concomitanza con gli appelli d'esame di giugno o luglio. Entrambe le prove parziali consistono in una domanda orale e in due esercizi. Gli studenti che decidono di sostenere la prova scritta mediante le due prove parziali dovranno sostenere un'unica prova orale che si terrà dopo la seconda prova parziale scritta.
Testi di riferimento
M. Zenga “Metodi statistici per l’Economia e l’Impresa”, Ed. Giappichelli; 1994
M. Zenga “Modello probabilistico e variabili casuali”, Ed. Giappichelli, 1995;
M. ZENGA, Elementi di Inferenza, Vita e Pensiero;
S.M. ROSS, Introduzione alla Statistica, Apogeo 2008, (solo capitolo 9)
M. CAZZARO, F. GRESELIN, Modelli statistici per l'analisi di problemi economici e finanziari
Pearson, 2017
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo semestre.
Lingua di insegnamento
Italiano
Sustainable Development Goals
Learning objectives
This course aims at giving students the means to describe and analyze relationships among statistical variables, the means to model stochastic phenomena as well as an introduction to statistical inference.
The topics covered in this course will be supplemented with examples and applications which illustrate their relevance economics and finance.
Contents
The first part of this course deals with description and analysis of relationships among statistical variables. This part introduces the concept of least squares interpolation and provides the definitions of several descriptive statistics which are often used in regression analyses.
The second part of this course deals with modeling of stochastic phenomena. In this part of the course the concept of probabilistic model according to Kolmogorov’s axiomatic approach will be introduced and the most relevant laws of probability theory will be derived. Moreover, based on the descriptions of some random experiments the most relevant discrete and continuous distributions will be derived.
The third and final part of this course deals with statistical inference. Some basic concepts as that of random sample, estimator, point estimate and confidence interval will be introduced, and applications with the aim of estimating unknown values of means and proportions will be considered.
Detailed program
First part:
- Interpolation and interpolation methods
- The least squares method and least squares line fitting
- Properties of the residuals of the least squares interpolation line
- The deviance decomposition
- The coefficient of determination
- The linear correlation coefficient
- Log-linear interpolation functions
- Least squares plane fitting
- Properties of the residuals of the least squares interpolation plane
- The deviance decomposition for the least squares interpolation plane
- The coefficient of determination of the least squares interpolation plane
- The coefficient of multiple correlation
- Partial correlation coefficients
- Log-linear interpolation functions with two independent variables (the Cobb-Douglas model)
- Interpolation hyperplanes and extensions for the case of more than two independent variables
Second part:
- The definition of probabilistic model according to Kolmogorov’s axiomatic approach
- Classes of events, fields and sigma-fields
- Kolmogorov’s axioms
- The most relevant laws of probability theory
- Methods for assigning probabilities to events: the classical method, the frequentist method and the subjective method
- Some combinatorial methods for probability theory
- Conditional probability, (global) independence, the total probability law and Bayes’ theorem
- Random variables, distribution functions, discrete probability functions, density functions and quantiles
- Joint distribution functions, (globally) independent random variables, joint discrete probability functions, conditional discrete probability functions, joint density functions
- Expected value, variance and moments
- Relevant discrete distributions: the distribution of an indicator random variable, the binomial distribution, the trinomial distribution, the geometric distribution, the negative binomial distribution, the Poisson distribution and the hypergeometric distribution
- Relevant continuous distributions: the exponential distribution, the gamma distribution, the normal distribution, the lognormal distribution and the Pareto distribution
Third part:
- Estimation problems, sample random variables, estimators
- Mean square error, unbiasedness, efficiency and consistency
- The sample mean, the sample proportion and the sample variance
- Confidence intervals for mean values and proportions
- Introduction to statistical hypothesis testing
Prerequisites
Basic knowledge of mathematics and statistics.
Teaching methods
Lectures and exercise sessions.
Assessment methods
The exam consists of a written test and an oral test which will be held a few days after the written test. Both tests have the same weight on the final evaluation.
In the written part of the exam, students are required to answer two open questions and to solve four exercises. The open questions test students' ability to explain the relevance of the course contents, while the four exercises test students' ability to apply those contents in order to solve practical problems. The oral part of the exam is an open conversation about the topics treated during the course.
Students can choose to split the written part of the exam into two parts by taking the first part of the written exam at the end of April/the beginning of May and the second part of the written exam concomitantly with the regular exam sessions of June or July. Both parts of the written exam are made up of one open question and two exercises. Student who choose to split the written part of the exam into two parts are required to take the oral part of the exam after having completed both written parts.
Textbooks and Reading Materials
M. Zenga “Metodi statistici per l’Economia e l’Impresa”, Ed. Giappichelli; 1994
M. Zenga “Modello probabilistico e variabili casuali”, Ed. Giappichelli, 1995;
M. ZENGA, Elementi di Inferenza, Vita e Pensiero;
S.M. ROSS, Introduzione alla Statistica, Apogeo 2008, (solo capitolo 9)
M. CAZZARO, F. GRESELIN, Modelli statistici per l'analisi di problemi economici e finanziari
Pearson, 2017
Semester
Second semester.
Teaching language
Italian
