Course Syllabus
Obiettivi
Il Corso si pone come obiettivo l’apprendimento di concetti, metodi e di modelli per la fisica dei solidi cristallini, perfetti ed infiniti. A tal fine, il Corso si compone di due parti. Nella prima parte vengono trattati fenomeni più semplicemente descrivibili in termini di particelle non interagenti (elettroni, o fononi), con particolare attenzione alle tecniche di calcolo delle grandezze macroscopiche sulla base di variabili microscopiche. La seconda parte include quei fenomeni legati agli elettroni nel reticolo cristallino, che determinano la struttura a bande e le proprietà di trasporto, e si basa anch'essa sulla combinazione tra ragionamento fisico e analisi matematica. Alla fine di ogni argomento verranno dedicate due ore di esercitazioni per rendere familiari i concetti e migliorare la comprensione attraverso una discussione con gli studenti. La complementazione di un Testo principale con il materiale caricato sul sito del Corso costituisce parte importante dell’insegnamento metodologico che questo Corso fonfamentale della Laurea Magistrale intende dispensare.
Contenuti sintetici
Parte 1
I. Strutture cristalline e diffrazione
II. Dinamica reticolare e teoria elastica dei solidi
III. Proprietà termiche dei solidi
IV. Gas di elettroni liberi
Parte 2
V. Bande elettroniche
VI. Trasporto elettronico di carica
VII. Trasporto elettronico di calore ed effetti termoelettrici
Programma esteso
PARTE 1
I. Strutture cristalline e diffrazione
- Reticoli di Bravais e strutture cristalline notevoli
- Teoria della diffrazione e tecniche sperimentali
- Costruzione di reticolo reciproco e zona di Brillouin, in particolare per strutture FCC, BCC e HCP
- Calcolo della distanze tra punti ad alta simmetria nella zona di Brillouin del Silicio.
II. Dinamica reticolare
- Elementi di dinamica reticolare: matrice delle costanti di forza e sue simmetrie, matrice dinamica ed equazioni di moto
- Relazioni di dispersione e spostamenti di una catena lineare biatomica
- Teoria della elasticità ed onde sonore
- Costruzione e diagonalizzazione matrice dinamica per fcc monoatomico: autovalori e displacement patterns
- Modi normali come modi collettivi
- Fononi e loro statistica.
- Scattering inelastico e misura della dispersione dei fononi tramite scattering neutronico
III. Proprietà termiche dei solidi
- Densità di stati vibrazionali
- Calore specifico di Debye e di Einstein
- Potenziali anarmonici e loro effetti: espansione termica e calore specifico di oscillatore 1-D
- Espansione termica e parametro di Gruneisen in 3-D
- Conducibilità termica tramite vibrazioni reticolari in 3-D
IV. Gas di elettroni liberi
- Modello degli elettroni liberi
- La statistica di Fermi-Dirac per gli elettroni
- Densità degli stati: definizione e calcolo per gas 3-D, 2-D e 1-D.
- Andamento del potenziale chimico con la temperatura
- Contributo elettronico al calore specifico e i fermioni pesanti
- Emissione termica di elettroni: fisica ed applicazioni
PARTE 2
V. Bande elettroniche
- Potenziale periodico, equazione centrale e stati di Bloch
- Costruzione dello schema a bande nel caso di reticolo-vuoto
- Bande nel modello di elettrone quasi-libero: apertura del gap al bordo della zona di Brillouin ed interpretazione
- Introduzione al modello Tight-Binding (TB)
- Calcolo di bande nel modello TB: ruolo dei vicini e della base di orbitali atomici e integrali di hopping
- Costruzione e diagonalizzazione della matrice tight binding a primi vicini per silicio
- Interpretazione di bande reali e loro densità di stati
- Misura della dispersione di bande per fotoemissione risolta in angolo
**VI. Trasporto elettronico di carica **
- Il modello semiclassico e moto degli elettroni in banda in presenza di un campo elettrico
- Il tensore di massa efficace e il concetto di buca positiva
- L'equazione di Boltzman: bilancio tra processi di drift e quelli di scattering
- L'approssimazione del tempo di rilassamento per i processi di scattering
- Meccanismi microscopici che presiedono allo scattering di cariche
- La conducibilità elettrica nei metalli
- Dipendenza della conducibilità elettrica dalla temperatura
- **VII. Trasporto elettronico di calore **
- Equazione di Boltzman generalizzata ai gradienti termici
- Trasporto di calore da elettroni e relazione di Wiederman-Franz
- Effetti termoelettrici (Peltier e Seebeck) e applicazioni
Prerequisiti
Struttura della materia, fisica quantistica di atomi e di molecole
Introduzione elementare alla fenomenologia dei materiali
Elementi di analisi complessa, funzioni speciali, serie e trasformate di Fourier
Modalità didattica
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Materiale didattico
TESTO PRINCIPALE
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
CAPITOLI AGGIUNTIVI PRESI DAI SEGUENTI TESTI, COME RESI DISPONIBILI SULLA PIATTAFORMA E-LEARNING O DISPONIBILI DALLA BIBLIOTECA DI ATENEO:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Primo semestre a diversa periodicità di lezioni. Le lezioni inizieranno con densità crescente nella seconda parte del primo semestre, per permettere al corso di analisi funzionale di impartire gran parte delle nozioni necessarie a seguire questo corso. Gli studenti sono invitati quindi a seguirlo con attenzione e costanza.
Modalità di verifica del profitto e valutazione
L'esame consiste in uno scritto, discusso e argomentato durante una sessione orale di correzione individuale. In particolare, l'esame consiste in una prova scritta con quattro domande aperte, inclusa la derivazione matematica di alcuni risultati fisici, seguita da un colloquio orale di discussione e approfondimento sullo scritto.Questa modalità vale per gli studenti di qualsiasi coorte, a partire dall' a.a. 2023/2024, che vogliano dare un esame unico nelle nove sessioni annuali previste durante le pause delle lezioni. Ovviamente, uno studente che segue le lezioni dell'anno accademico, può usare questa modalità solo nelle sessioni d'esame che seguono il termine delle lezioni.
Durante il periodo delle lezioni, tuttavia, gli studenti frequentati il corso avranno la possibilità di suddividere l'esame in due prove parziali, una relativa agli argomenti della Parte 1 del corso e l'altra relativa agli argomenti della Parte 2. Tali prove parziali consisteranno di una prova scritta con domande aperte, inclusa la derivazione matematica di alcuni risultati fisici, seguita da un breve colloquio orale di discussione sullo scritto. Dal momento che questo percorso assistito tramite prove parziali richiede che gli studenti studino in parallelo allo svolgimento delle lezioni, la partecipazione attiva alle lezioni è fortemente raccomandata. Per agevolare la preparazione, organizzare e spiegare le modalità d'esame e rispondere a qualsiasi domanda sugli argomenti delle lezioni, prima di ciascun esame parziale verrà organizzato un incontro con gli studenti iscritti, e aperto a tutti gli altri. Se uno studente fallisce il test sulla prima parte, avrà una (sola) ulteriore occasione di riprovarlo, prima che le lezioni della seconda parte del corso siano terminate; se fallisce il test sulla seconda parte,, avrà una (sola) ulteriore occasione di riprovarlo, entro il termine di inizio del secondo semestre.
Orario di ricevimento
Per appuntamento, scrivendo una e-mail a leo.miglio@unimib.it, oppure - per domande riguardati gli esami - a roberto.bergamaschini@unimib.it
Sustainable Development Goals
Aims
The Course is aimed to the understanding of concepts, methods and models for the physics of perfect and infinite crystalline solids. To this purpose topics are divided into two parts. A first part of the course is devoted to the treatment of simpler phenomena, as described in terms of non-interacting particles (electrons, or phonons), with peculiar attention in getting the skill of developing analytical models, which allow to solve complicated problems by ingenious simplifications. The second part includes the phenomena related to the electrons in the crystal lattice, returning the band structure and the transport properties, again exploiting the combination of physical reasoning and mathematical analysis. At the end of each subject two hours of exercises will be given, in order to getting familiar with the concepts and improving the comprehesion by a discussion with the students. The complementation of a main text with the material uploaded on the Course site is one important aspect of the teaching method that is to acquire the habit of consulting different sources and comparing them critically.
Contents
Part 1
I. Crystal structures and diffraction
II. Lattice dynamics and elastic properties of solids
III. Thermal properties of solids
IV. The free-electron gas
Part 2
V. Electronic bands
VI. Transport of charge by electrons
VII. Transport of heat by electrons and thermoelectric effects
Detailed program
PART 1
I. Crystal structures and diffraction
- Bravais lattices and relevant crystal structures
- Theory of diffraction and experimental techniques
- Construction of the reciprocal lattice and the Brillouin zones, in particular for FCC, BCC and HCP structures
- Calculation of the distances between high-symmetry points in the Brillouine zone of silicon.
II. Lattice dynamics
- Foundations of lattice dynamics: force constant matrix and its symmetries, dynamical matrix and the equations of motion
- Dispersion relations and displacement patterns of the diatomic linear chain
- Elasticity theory and sound waves
- Construction and diagonalization of the dynamic matrix for one fcc monatomic: eigenvalues and displacement patterns
- Normal modes as collective modes
- Phonons and their statistics
- Inelastic scattering and measurement of phonon dispersion by neutron scattering
III. Thermal properties of solids
- Density of vibrational states
- Specific heat in Debye and Einstein models
- Anharmonic potentials and their effects: thermal expansion and the heat capacity of 1-D oscillator
- Thermal expansion and the Gruneisen parameter in 3-D
- Thermal conductivity by lattice vibrations in 3-D
IV. The free-electron gas
- The free-electron gas model
- The Fermi-Dirac statistics of electrons
- Density of states: definition and calculation for 3-D, 2-D and 1-D electron gas.
- Trend of the chemical potential in temperature
- Electronic contribution to the specific heat and heavy fermions
- Thermal emission of electrons: physics and application
PART 2
V. Electronic bands
- Periodic potential, central equation and Bloch states
- Construction of the band diagram for the empty lattice
- Band structure in the nearly-free electron model: opening of the gap at the Brillouin zone borders and its interpretation
- Introduction to the Tight-Binding model (TB)
- Band calculation in the TB model: role of neighbors and atomic basis and hopping integrals
- Construction and diagonalization of the tight binding matrix to first neighbors for silicon
- Interpretation of real bands and their density of states
- Measurement of the dispersion of the bands by angle-resolved electron photoemission
VI. Transport of charge by electrons
- The semiclassical model and motion of electrons in bands due to an electric field
- The effective mass tensor and the concept of positive hole
- Boltzmann equation: balance between the process of drift and the one of scattering
- The relaxation time approximation for scattering processes
- Microscopic mechanisms that rule the scattering of electrons in bands
- The electrical conductivity in metals
- Dependence of electrical conductivity on the temperature
VII. Transport of heat by electrons
- Generalization of the Boltzman equation to thermal gradients
- Heat transport by electrons and the Wiedemann-Franz law
- Thermoelectric effects (Peltier and Seebeck) and applications
Prerequisites
Atomic and molecular quantum physics
Elementary introduction to Materials
Elements of calculus for complex variables, special functions, series and Fourier transforms
Teaching form
Lessons and practice lessons.
Textbook and teaching resource
MAIN TEXTBOOK:
H. IBACH AND H. LUTH, Solids State Physics, Springer Verlag
ADDITIONAL CHAPTERS ARE TAKEN FROM THE FOLLOWING BOOKS, STILL AVAILABLE IN ENGLISH IN THE E-LEARNING PLATFORM OR AVAILABLE FROM THE UNIVERSITY LIBRARY:
N.W ASHCROFT AND N.D. MERMIN, Solid State Physics, Saunders College Publishing
F. BASSANI E U. GRASSANO, Fisica dello Stato Solido, Casa Editrice Boringhieri
A.P. SUTTON, Electronic Structure of Materials, Oxford University Press
J.R. HOOK and H.E. Hall, Solid State Physics, John Wiley & Sons
Semester
First semester at different lesson periodicity. In particular, the lessons will increase in density with the second part of the first semester, so that the advanced course in calculus can provide most of the subjects necessary to follow this course. The students are therefore warmely invited to attend this course with attention and continuity.
Assessment method
The final examination consists in a written test, discussed and complemented during a following oral exam with individual correction. In particular, the written part is organized in four open questions, including the derivation of some physical results, as followed by an oral discussion/in-depth analysis of what has been written by the student. This modality applies to all the students, independetly on the court they pertain, starting from academic year 2023/2024, who are willing to take in one shot the exam in one of the nine exam sessions, which are organized during the yearly periods that lessons are not taking place. Obiously, the students attending the lessons of the course in one academic year cannot enrol to exam sessions that are taking place before the end of lessons that they are attending.
However, during the teaching time, students attending the course will have the possibility of subdividing the exam into two partials, one concerning the topics of the Part 1 of the course and the other concerning the topics of Part 2. These partial exams consist of a written test with open questions on the topics taught at lesson, including the mathematical derivation of some physical results, followed by a short oral for the discussion about the written test. To further ease the preparation, organize and explain the exam modality and answer any question on the course topics, before each partial exam a meeting with the enrolled students, open to all the others, will be scheduled.
If a student fails the partial test on the first part, she/he will have (only) one other opportunity to try again, within the end of the lessons for the second part of the course; if a student fails the partial test on the second part, she/he will have (only) one other oppurtunity to try again, before the beginning of the second semester..
Office hours
By appointment writing one e-mail to leo.miglio@unimib.it, or to roberto.bergamaschini@unimib.it for questions related to the exams
Sustainable Development Goals
Staff
-
Leonida Miglio
