Syllabus del corso
Obiettivi formativi
Il Corso intende fornire agli studenti un’adeguata padronanza delle nozioni fondamentali sulle serie numeriche, gli integrali definiti e indefeniti, nozioni fondamentali di algebra lineare e funzioni di più variabili reali.
Alla fine del corso, lo studente è in grado di 1) analizzare il comportamento di serie numeriche, calcolare integrali definiti ed indefiniti ed utilizzare le nozioni fondamentali di algebra lineare e poter manipolare matrici e risolvere sistemi di equazioni lineari. Lavorare con funzioni di più variabili reali.
Contenuti sintetici
Il corso presenta le nozioni fondamentali riguardanti Serie Numeriche, Integrali e Algebra Lineare (Matrici e Sistemi di Equazioni). Funzioni di più variabili reali.
Programma esteso
Serie. Definizione di serie. Carattere e somma di una serie. Serie telescopiche. Serie geometrica. Condizione necessaria per al convergenza. Regolarita della serie a termini di segno definitivamnte costante. La serie armonica generalizzata. Criterio del confronto, del confronto asintotico, della radice e del rapporto. Convergenza semplice e assoluta.
Integrali. Definizione di integrale di Riemann. Codizioni sufficienti per integrabilita. Proprieta dell’integrale definito. Teorema della media integrale. Teorema Fondamentale del calcolo integrale. Definizione di primitive e conseguenze del teorema fondamentale per il calcolo dell’integrale definito. Calcolo di primitive: integrazione per parti. Integrali generalizzati (impropri). Criteri sufficienti per la convergenza.
Algebra Lineare. Spazi vettoriali su R. Prodotto scalare (interno) tra vettori. Matrici. Operazioni tra matrici. Determinante e sue proprieta. Matrice inverse: teorema di unicita, condizone necessaria e sufficiente per invertibilita. Sistemi di equazioni lineari. Teorema di Cramer. Rango di una matrice. Teorema di Rouche-Capelli. Risoluzione dei sistemi lineari. Trasformazioni Lineari. Forme quadratiche.
Funzioni di più variabili. Funzioni continue di n varaibili. Nozione di derivate parziale. Funzioni differenziabili. Derivate e differenziali di ordine superiori. Massimi e Minimi liberi. Massimi e minimi vincolati. Introduzione alla programmazione lineare.
Prerequisiti
Matematica Generale, Statistica I
Metodi didattici
Il corso è erogato in italiano e prevede lezioni frontali ed esercitazioni in aula.
Le lezioni sono mirate all'approfondimento delle conoscenze teoriche dello studente sugli argomenti del corso. In questa sede viene dato ampio spazio alla formalizzazione e alla derivazione dei concetti matematici rilevanti per le tematiche considerate ma vengono anche presentate soluzioni di esercizi per illustrare i concetti presentati in astratto.
Le esercitazioni sono mirate esclusivamente a potenziare le capacità di problem solving dello studente. In questa sede è quindi dato spazio alla soluzione di problemi matematici.
Sono infine previste della attività di tutorato volte a supportare lo studente nel risolvere problemi.
Modalità di verifica dell'apprendimento
La modalità di verifica si basa su una prova scritta.
In alternativa alla prova scritta, lo studente può sostenere due prove scritte in itinere che avranno luogo una sola volta nell’anno.
La prova scritta (sia in itinere che complessiva) è mirata ad accertare le capacità di problem solving dello studente. Sarà quindi costituita da esercizi del tipo presentati nei libri di testo consigliati. In sede di valutazione viene considerata la capacità dello studente di identificare le procedure idonee alla sua soluzione e discutere in modo critico le procedure utilizzate e i risultati conseguiti.
Nel caso di superamento della prova scritta e' possibile sostenere un esame orale facoltativo.
Nel caso in cui la prova scritta sia sostituita dalle due prove in itinere, il voto della parte scritta sarà determinato dalla media dei voti ottenuti nelle singole prove in itinere. Tale media contribuirà poi al voto finale come esposto in precedenza.
Testi di riferimento
Angelo Guerraggio MATEMATICA (Seconda Edizione) Pearson Education Italia
Periodo di erogazione dell'insegnamento
Secondo Semestre
Lingua di insegnamento
Italiano
Learning objectives
This class aims to give the student a solid foundation for the mastering of the fundamental concepts related to Numerical Series, Integrals, Linear Algebra.
At completion, the student will be able 1) to study numerical series, compute integrals and use the fundamental notions of linear algebra, manipulate matrices and solve linear systems. Funtions of several real variables.
Contents
This class introduces the student to the fundamental notions related to Numerical Series, Integrals and Linear Algebra (Matrices and Linear Systems). Funcions of several real variables.
Detailed program
Series. Definition of numerical Series and its sum. Telescoping Series. Geometric series. Necessary Condition for Convergence of a Series. Series with terms with eventually constant signs. Generalized Harmonic Series. The Ratio Test, the Comparison Test, the Asymptotic Test, and the Root Test. Absolute and Simple Convergence of Series.
Integrals. Definition of the Riemann Integral. Sufficient Conditions for Integrability. Main Properties of the Integral. Lagrange Theorem. The Fundamental Theorem of Calculus. Definition of Antiderivative and its use in the computation of the Riemann Integral. Integration by parts and Integration by change of variable. Improper Integral. Sufficient Conditions for the existence of Improper Integrals.
Linear Algebra. Vector Spaces on R. Inner product. Matrices. Operations with Matrices. Determinants and main Properties. Laplace Theorem. Inverse Matrix: Uniqueness of the Inverse Matrix and Necessary and Sufficient Condition for its existence. Linear Systems. Cramer’s Theorem. Rank of a Matrix. Rouche-Capelli Theorem. Linear functions. Quadratic forms.
Functions of several variables. Continuos funtions of several real variables. Partial derivatives. Differentials of funtions of several variables. Partial derivatives and differentials oh higher order. Local maxima and local minima. Constrained optimization and Lagrange multipliers. Introduction to linear programming.
Prerequisites
Matematica Generale (General Mathematics), (Statistica I)Statistics I
Teaching methods
There will be lectures and practice sessions as well as tutorials and they will all be delivered in Lecture theatres. The class is taught in Italian.
The lectures aim to present the theoretical results related to the class’s material. In the lectures we will focus on presenting the theorems and mathematical results listed above. In addition, the lectures will also cover and discuss problems and exercises to illustrate the theoretical results.
In the practice sessions the focus is on helping the student in solving problems. Therefore the focus will be only on presenting the solutions of exercises and problems.
Finally, there will be a tutor who will assist the students.
Assessment methods
A written exam.
The student can substitute the final exam with two mid-term exams.
The aim of the written exams is to establish if the student has developed a reasonable level of problem solving ability. Therefore there will be exercises similar to the ones presented in the suggested textbooks.
In the case the students opt to take the mid-term exams then the final grade will be the average of the two grades
Textbooks and Reading Materials
Angelo Guerraggio MATEMATICA (Seconda Edizione) Pearson Education Italia
Semester
Second Semester
Teaching language
Italian